On calcule le discriminant

LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2016–2017 Devoir maison n^o08 – mathématiques

Correction Exercice 1

1. On calcule le discriminant :∆ = · · ·= 5² >0.

L’expression a donc deux racines X₁ =· · ·= 1 etX₂ =· · ·=−3 2. Alors la forme factorisée de l’expression 2X²+X−3 est2(X−1)

X+3

2

. 2. On calcule tout d’abord : f⁰(x) = 2 e^2x+ e^x−3.

D’après la question précédente, en posant X = e^x, comme e^2x = (e^x)² =X², on a : f⁰(x) = 2 (e^x−1)

e^x+3

2

Or une exponentielle est strictement positive, donc e^x+3

2 >0 et f⁰(x) est du signe de e^x−1.

On résout :

e^x−1>0⇔e^x>1⇔e^x>e⁰ ⇔x >0 Par conséquent on obtient le tableau de variations suivant :

x

Signe de f⁰(x) variations

de f

−∞ 0 +∞

− 0 +

2 2

Exercice 2

1. L’algorithme est le suivant :

n prend la valeur 1 u prend la valeur1,5 Tant que n <9 Faire

u prend la valeur n×u+ 1 2(n+ 1) n prend la valeurn+ 1 FinTant

Afficher u

2. L’algorithme avec une boucle Pour est le suivant :

u prend la valeur1,5

Pour n allant de 1à 8 Faire u prend la valeur n×u+ 1

2(n+ 1) FinPour

Afficher u 3. (a) On exprime :

v_n+1 vn

= (n+ 1)u_n+1−1 nun−1

= 1

2(nu_n+ 1)−1 n_un−1

= 1

2(nu_n−1) nu_n−1

= 1

2 constante Ainsiv est géométrique de raison q= 1

2.

(b) D’après la question précédente on peut écrire que v_n=v₁×qⁿ⁻¹. Or v₁ = 1u₁−1 = 1,5−1 = 0,5 = 1

2. Alorsvn= 1

2×

1

2

n−1

=

1

2

n

= 0,5ⁿ.

Par suite, comme vn=nun−1, on obtient un= 1 +vn

n = 1 + 0,5ⁿ

n .

(c) Comme−1<0,5<1, on a lim

n→+∞0,5ⁿ= 0.

Par suite, lim

n→+∞1 + 0,5ⁿ= 1.

De plus, lim

n→+∞n = +∞.

Donc lim

n→+∞u_n= 0.