Surjectivité de l’exponentielle complexe matricielle

Surjectivité de l’exponentielle complexe matricielle

L’objectif de cette séance est de démontrer le résultat qui suit.

Pour tout A∈GLn(C), il existe une matriceB ∈ M_n(C) telle queA=e^B. Théorème 1

Démonstration.

Étape N^o1 : On prouve le résultat lorsqueA=In+N avec N une matrice nilpotente.

On pose B =N− ^N₂² +^N₃³ +· · ·+ (−1)^n+1N_nⁿ. Montrons que e^B =A.

Pour 06t61, on pose B(t) =tN −t^2N₂² +t^3N₃³ +· · ·+ (−1)ⁿ⁺¹t^{n N}_nⁿ. En dérivant, nous obtenons

∀06t61, B⁰(t) =N −tN +t²N³+· · ·(−1)ⁿ⁺¹tⁿ⁻¹Nⁿ. Ainsi, pour tout06t61,

(In+tN)B⁰(t) =N −tN²+t²N³+· · ·(−1)ⁿ⁺¹tⁿ⁻¹Nⁿ

= (N −tN²+t²N²+· · ·(−1)ⁿ⁺¹tⁿ⁻¹Nⁿ) + (tN²−t²N³+t³N⁴+· · ·(−1)ⁿ⁺¹tⁿNⁿ⁺¹)

=N puisque Nⁿ⁺¹ = 0.

On pose, pour 06t61,S(t) =e^B(t). Comme B(t) etB⁰(t)commutent alors pour tout 06t61, (In+tN)S⁰(t) = (In+tN)B⁰(t)e^B(t)=N S(t).

En dérivant à nouveau, on obtient pour tout06t61,

N S⁰(t) + (I_n+tN)S⁰⁰(t) =N S⁰(t).

On en déduit que pour tout 06t61,(I_n+tN)S⁰⁰(t) = 0. CommeI_n+tN est inversible (puisqueN est nilpotente), on obtient que pour tout06t61,S⁰⁰(t) = 0.

Comme S(0) =InetS⁰(0) =N, on en déduit que pour tout 06t61,S(t) =tN +In. En évaluant ent= 1, on obtientS(1) =N +I_n, c’est-à-diree^B =I_n+N =A.

Étape N^o2 : On prouve le résultat lorsqueA=λIn+N avec N une matrice nilpotente etλ∈C^?. Soitµ∈C tel queλ=e^µ.

Siµ= 0 alorsλ= 1 et le résultat résulte de l’étape N^o1.

Sinon, on écrit A = λ In+^N_λ

. D’après l’étape N^o1, il existe B⁰ ∈ M_n(C) telle queIn+ ^N_λ = e^B0. Par conséquent,

λ

In+N λ

=e^µ×e^B0 =e^µIn+B0. B =µI_n+B⁰ convient.

Étape N^o3 : On prouve le résultat dans le cas général. En trigonalisantA, il existeP ∈GLn(C) tel que

A=P⁻¹











A1 O · · · O

O A2 O

... . .. ... O O · · · A_m









 P,

1

où les matrices Ai sont de la forme λiIni +Ni avec Ni une matrice nilpotente et λi ∈ C^?. D’après l’étape précédente, il existe B_i tel que e^Bi =A_i.

La matrice

B =P⁻¹











B₁ O · · · O

O B₂ O

... . .. ... O O · · · B_m









 P

convient puisquee^P−1XP =P⁻¹e^XP.

Il n’y a pas unicité de la matrice B puisque si B convient alors B+ 2iπkIn, pour k ∈ Z, convient aussi.

Remarque I

Ce résultat ne fonctionne pas surR(il est déjà faux pourn= 1...) cardet(e^B) =e^tr(B) >0alors qu’il existe des matrices inversibles de déterminants négatifs.

Remarque II

SoientA∈GL_n(C) etp∈Z non nul.

Il existe une matriceC∈GLn(C) telle que C^p =A.

Corollaire 2

Démonstration. Par le résultat précédent, il existe B∈GL_n(C) telle que A=e^B=

e^Bp

p

. Ainsi, C= ^B_p ∈GLn(C) convient.

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