Problème III. Surjectivité de l’application exponentielle de M

SESSION 2015

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

EXERCICE I

I.1. 21=16+4+1=2⁴+2²+1et donc21=10101₂. I.2. Tableau complété.

k 1 2 3

ck 6 5 2

t_k [6] [6 5] [6 5 2]

n_k 25 2 0

I.3. Soitn > 0.

I.3.a. Dans la boucle whiledemystère(n, 10), on obtient successivement les différents chiffres de nen base10. Puisque na un nombre fini de chiffres en base10, la bouclewhilese termine.

I.3.b. Montrons par récurrence que pour toutk∈J0, pK,nk6 n 10^k.

• n₀=n6 n

10⁰ et l’inégalité est vraie quandk=0.

• Soitk∈J0, p−1K. Supposons quenk6 n

10^k. Alors nk+1=Enk

10

6 nk

10 6 n 10^k+1. Le résultat est démontré par récurrence.

Par définition dep,np−1> 0et np=0. Puisquenp=Enp−1

10

, on a donc16np−169puis16np−16 n 10^p−1 puis 10^p−16net donc

p61+log(n).

I.4. Fonctionsomme_chiffres.

def somme_chiffres(n)

" " "Données :n > 0

Résultat :somme des chiffres denen base10" " "

s=0 whilen > 0:

c=n%10 s=s+c n=n // 10 returns

I.5. Version recursive.

def somme_rec(n)

" " "Données :n>0un entier

Résultat :somme des chiffres denen base10" " "

if n > 0:

return(n%10)+somme_rec(n // 10) else:

return0

EXERCICE II

II.1.^tAA^′ =

a c b d

a^′ b^′ c^′ d^′

=

a^′+bb^′ ab^′+cd^′ ba^′+dc^′ cc^′+dd^′

et donc (A|A^′) =aa^′+bb^′+cc^′+dd^′.

II.2.(|)est donc le produit scalaire canonique. Par suite, la base canonique(E1,1, E1,2, E2,1, E2,2)deM₂(R)est une base orthonormée.

T est le sous-espace deM₂(R)de base(E_1,1, E_1,2, E_2,2). D’après ce qui précède,(E_1,1, E_1,2, E_2,2)est une base orthonormée deT et (E_2,1)est une base orthonormée deT^⊥.

II.3.On sait que

PT(A) = (A|E_1,1)E_1,1+ (A|E_1,2)E_1,2+ (A|E_2,2)E_2,2

=E_1,1+2E_1,2+4E_2,2=

1 2 0 4

,

puis

d(A,T) =kA−PT(A)k=k3E2,1k=3.

Problème III. Surjectivité de l’application exponentielle de M

( C ) vers GL

( R )

Partie préliminaire III.1. Soit(A, B)∈(M_n(C))². Pour(i, j)∈J1, nK²,

Xn

k=1

a_i,kb_k,j

6 Xn

k=1

|a_i,k| |b_k,j|6 Xn

k=1

kAk^∞kBk^∞=nkAk^∞kBk^∞,

et donckABk^∞6nkAk^∞kBk^∞puisnkABk^∞6nkAk^∞nkBk^∞ou encorekABk6kAkkBk. On a montré quek kest une norme d’algèbre.

III.2. M_n(C)est un C-espace vectoriel de dimension finie. On sait alors que toute série absolument convergente d’élé- ments deM_n(C)est convergente.

III.3. SoitM∈M_n(C). Puisquek kest multiplicative, pour tout entier naturelk, 06

1 k!M^k

= 1 k!

M^k

6 kMk^k k! .

La série numérique de terme général kMk^k

k! , k∈ N, converge (et a pour somme e^kMk). On en déduit que la numérique de terme général

1 k!M^k

,k∈N, converge ou encore que la série de matrices de terme général 1

k!M^k, k∈N, converge absolument. D’après la question précédente, la série de matrices de terme général 1

k!M^k,k∈N, converge.

Première partie

III.4. SoitM∈M_n(C). Posons SpC(M) = (λ₁, . . . , λ_n).

On sait que tout élément de M_n(C) est trigonalisable dans C. Donc il existe T ∈ T_n(C) et P ∈ GLn(C) telles que M=PTP⁻¹. Pour tout entierp, on a alors

P Xp

k=0

T^k

! P⁻¹=

Xp

k=0

PT^kP⁻¹= Xp

k=0

PTP⁻¹k

(∗).

Quandptend vers+∞, le membre de droite de cette égalité tend vers exp PTP⁻¹

=exp(M). D’autre part, l’application A7→PAP⁻¹est un endomorphisme de l’espace de dimension finieM_n(C). On sait alors que l’applicationA7→PAP⁻¹est continue surM_n(C).

Par continuité de l’application A 7→ PAP⁻¹, le membre de gauche de l’égalité (∗) tend vers P×exp(T)×P⁻¹. Ainsi, exp(M) =P×exp(T)×P⁻¹et en particulier, exp(M)est semblable à exp(T). Donc,

det(exp(M)) =det(exp(T)) =e^λ1×. . . e^λn =e^λ1+...+λn =e^Tr(M). III.5. En développant suivant la première colonne, on obtient

det(A) =3(−63+55) + (42−30) = −24+12= −12 < 0.

S’il existe une matriceBà coefficients réels telle queB²=A, alors det(A) = (det(B))²>0 (car det(B)est un réel) ce qui n’est pas. Donc, il n’existe pas une matriceBà coefficients réels telle queB²=A.

S’il existe une matriceMà coefficients réels telle que exp(M) = A, alors det(A) =exp(Tr(M))> 0(car Tr(M)est un réel) ce qui n’est pas. Donc, il n’existe pas une matriceMà coefficients réels telle que exp(M) =A.

Deuxième partie III.6.

III.6.a. Pour toutx∈R, posonsf(x) =α3^xe^iπx+βx²2^x. Alors,fest un élément deF et pour tout entier natureln, f(n) =α3ⁿe^iπn+βn²2ⁿ=α(−3)ⁿ+βn²2ⁿ.

III.6.b. Soit x0 ∈ R. Soit (k, ρ, θ) ∈ {0, 1, 2}×]0,+∞[×]0, 2π]. Pour tout réel x, posons fk,ρ,θ(x) = x^kρ^xe^iθx puis gk,ρ,θ(x) =fk,ρ,θ(x+x0).

g0,ρ,θ=ρ^x0e^iθx0f0,ρ,θ∈F,g1,ρ,θ=ρ^x0e^iθx0f1,ρ,θ+x0ρ^x0e^iθx0f0,ρ,θ∈Fetg2,ρ,θ=ρ^x0e^iθx0f2,ρ,θ+2x0ρ^x0e^iθx0f1,ρ,θ+ x²₀ρ^x0e^iθx0f1,ρ,θ∈F.

Ainsi, sifest l’un desfk,ρ,θ, alors la fonctionx7→f((x+x0)est un élément deF. Il en est de même de toute combinaison linéaire desfk,ρ,θ et donc sif est un élément deF, la fonctionx7→f((x+x0)est un élément deF.

III.7.

III.7.a. Pour tout entier natureln,

n² 2

3 n

e^iθn

=n² 2

3 n

.n² 2

3 n

tend vers0 quandntend vers+∞d’après un théorème de croissances comparées et doncn²

2 3

n

e^iθn tend vers0 quandntend vers+∞.

III.7.b. •Supposons0 < ρ1< ρ2. Après division des deux membres de l’égalité de l’énoncé parn^k2ρⁿ₂e^iθ2n, on obtient pour tout entier natureln,

β+αn^k1−k2e^{i(θ1−θ2)n} ρ1

ρ2

n

=0.

Quandntend vers+∞, on obtientβ=0. Quandn=1, on obtientαρ1e^iθ1 =0et doncα=0.

• Supposons que ρ₁ = ρ₂. Si par exemple k₁< k₂, alors un raisonnement analogue au raisonnement précédent montre queβ=0 puisα=0. Sik₁=k₂, on obtient après simplification

∀n∈N^∗, αe^iθ1n+βe^iθ2n=0.

n = 1 et n = 2 fournissent

αe^iθ1+βe^iθ2 =0

αe^2iθ1+βe^2iθ2 =0 (S). Le déterminant de (S) vaut e^i(θ1+θ2) e^iθ2−e^iθ1

. Puisque (θ₁, θ₂) ∈]0, 2π]² et queθ₁6= θ₂, on a det(S)6= 0. (S) est donc un système deCramer homogène.(S) admet l’unique solutionα=β=0.

III.7.c. Soient f et g deux éléments de F. Si pour tout n ∈ N, f(n) = g(n), alors pour tout n ∈ N, (f−g)(n) = 0.

Puisquef−g est un élément deF, on en déduit quef−g=0et donc quef=g.

III.8. La division euclidienne deXⁿparχ_Aqui est de degré3et le théorème deCayley-Hamiltonmontrent que pour tout entier natureln, il existe trois nombres complexes a_n,b_n et c_n tels que

Aⁿ=a_nA²+b_nA+c_nI₃.

QueχA admettent trois racines simples, une racine double et une racine simple ou une racine triple,an, bn et cn sont solutions d’un système linéaire de trois équations à trois inconnues à coefficients constants dont le second membre est du type



 f1(n) f₂(n) f₃(n)



où f1, f2 et f3 sont trois éléments deF. Les formules de Cramer montrent alors qu’il existe trois élémentsg₁,g₂et g₃ deF tels que pour tout entier natureln,a_n=g₁(n),b_n=g₂(n)et c_n=g₃(n). On en déduit que les9 coefficients deAⁿ sont du typeω_i,j(n)où lesω_i,j sont des éléments deF.

III.9.

III.9.a. γ(0) =I₃et γ(1) =A.

III.9.b. Soient(m, n)∈N².γ(n+m) =A^n+m =AⁿA^m =γ(n)γ(m).

III.9.c. gest un élément deFetf est un élément deF d’après III.6.b. Pour tout entier natureln,f(n)est le coefficient lignei, colonnej, de γ(n+m) etg(n)est le coefficient lignei, colonne j, de γ(n)γ(m). D’après la question précédente, ces deux coefficients sont égaux.

fetgsont deux éléments deFvérifiant pour tout entier natureln,f(n) =g(n). D’après la question III.7.c), on en déduit quef=g. Mais alors, pour(i, j)∈J1, 3K², les coefficients lignei, colonnej, deγ(x+m)etγ(x)γ(m)sont les mêmes. Ceci montre que pour tout entier naturelmet tout réelx, γ(x+m) =γ(x)γ(m).

III.9.d. Mais alors les applications f : y 7→ ωi,j(x+y) et g : y 7→

X3

k=1

ωi,k(x)ω_k,j(y) sont deux éléments de F vérifiant ∀m ∈ N, f(m) = g(m). On en déduit que f = g et donc que pour (i, j) ∈ J1, 3K² et pour (x, y) ∈ R², ωi,j(x+y) =

X3

k=1

ωi,k(x)ωk,j(y).

Ceci montre que pour tout(x, y)∈R²,γ(x+y) =γ(x)γ(y).

III.10. γ(−1)×A=γ(−1)×γ(1) =γ(0) =I₃. Donc,γ(−1) =A⁻¹. Pourp∈N,

γ

1 p

p

=γ 1

p+. . .1 p

=γ(1) =A.

III.11. Chaque application ω_i,j est dérivable surRet donc γ est dérivable sur R. Pour tout (x, y) ∈R², γ(x+y) = γ(x)γ(y). En dérivant les deux membres de cette égalité àyfixé, on obtient

∀(x, y)∈R², γ^′(x+y) =γ^′(x)γ(y).

Quandy=0, on obtient en particulier ∀x∈R,γ^′(x) =γ^′(0)γ(x). De plus,γ(0) =I3. La fonctionu : t7→exp(tγ^′(0)) vérifieu(0) =exp(0) =I3 et pour tout réelt,u^′(t) =γ^′(0)u(t). Par unicité de la solution au problème deCauchy, on en déduit que

∀t∈R, γ(t) =exp(tγ^′(0)). En particulier, pourt=1,

Troisième partie III.12. En développant suivant la deuxième colonne, on obtient

χ_A=det(XI₃−A) =

X−3 0 −1

−1 X+1 2

1 0 X−1

= (X−1)(X²−4X+4) = (X+1)(X−2)².

La matriceAest diagonalisable dansCsi et seulement si dim(Ker(A−2I3)) =2ou encore si et seulement si rg(A−2I3) =1.

Or,A−2I3=





1 0 1

1 −3 −2

−1 0 −1



. Les deux premières colonnes ne sont pas colinéaires et doncA−2I3n’est pas de rang 1.An’est pas diagonalisable dansC.

III.13. Soitn∈ N. La division euclidienne de Xⁿ par χA s’écrit Xⁿ = Q×χA+anX²+bnX+cn. On évalue en−1 puis en2 directement et après avoir dérivé. On obtient





an−bn+cn= (−1)ⁿ 4an+2bn+cn=2ⁿ 4an+bn=n2ⁿ⁻¹

⇒





bn = −4a_n+n2ⁿ⁻¹ an− −4a_n+n2ⁿ⁻¹

+cn= (−1)ⁿ 4an+2 −4a_n+n2ⁿ⁻¹

+cn =2ⁿ

⇒









bn= −4a_n+n 22ⁿ 5a_n+c_n= n

22ⁿ+ (−1)ⁿ

−4a_n+cn = (−n+1)2ⁿ

⇒

















an= 1 9

3n 2 −1

2ⁿ+ (−1)ⁿ

bn = −4 9

3n 2 −1

2ⁿ+ (−1)ⁿ

+ n 22ⁿ cn= 4

9 3n

2 −1

2ⁿ+ (−1)ⁿ

+ (−n+1)2ⁿ

⇒















a_n= 1 9

3n 2 −1

2ⁿ+ (−1)ⁿ

b_n = 1 9

−3n 2 +4

2ⁿ−4(−1)ⁿ

cn= 1

9((−3n+5)2ⁿ+4(−1)ⁿ)

Mais alors, d’après le théorème deCayley-Hamilton,Aⁿ=Q(A)χ_A(A) +a_nA²+b_nA+c_nI₃=a_nA²+b_nA+c_nI₃ et donc

∀n∈N, Aⁿ= 1 9

3n 2 −1

2ⁿ+ (−1)ⁿ

A²+

−3n 2 +4

2ⁿ−4(−1)ⁿ

A+ ((−3n+5)2ⁿ+4(−1)ⁿ)I₃

.

Plus précisément, puisqueA²=





3 0 1

1 −1 −2

−1 0 1









3 0 1

1 −1 −2

−1 0 1



=





8 0 4 4 1 1

−4 0 0



, pour toutn∈N,

9Aⁿ= 3n

2 −1

2ⁿ+ (−1)ⁿ





8 0 4 4 1 1

−4 0 0



+

−3n 2 +4

2ⁿ−4(−1)ⁿ





3 0 1

1 −1 −2

−1 0 1





+ ((−3n+5)2ⁿ+4(−1)ⁿ)





1 0 0 0 1 0 0 0 1





=















 9n

2 +9

2ⁿ 0

9n 2

2ⁿ 9n

2

2ⁿ 9(−1)ⁿ 9n

2 −9

2ⁿ+9(−1)ⁿ

−9n 2

2ⁿ 0

−9n 2 +9

2ⁿ















 .

Ensuite, on pose pour tout réelt,γ(t) =















 t

2+1

2^t 0

t 2

2^t t

2

2^t e^iπt t

2 −1

2^t+e^iπt

−t 2

2^t 0

−t 2+1

2^t















 .

III.13.a. 0 n’est pas valeur propre deAet doncAest inversible. De plus, d’après la question III.10

A⁻¹=γ(−1) =

















−1 2+1

2⁻¹ 0

−1 2

2⁻¹

−1 2

2⁻¹ e^−iπ

−1 2−1

2⁻¹+e^−iπ 1

2

2⁻¹ 0

1 2 +1

2⁻¹

















= 1 4





1 0 −1

−1 −4 −7

1 0 3



.

III.13.b. D’après la question III.10, siB=γ 1

2

, alorsB²=Aavec

γ 1

2

=













 5√

2

4 0

√2

√ 4 2

4 i −3√ 2 4 +i

√2

4 0 3√

2 4













 .

III.13.c. D’après la question III.11, siM=γ^′(0), alors exp(M) =Aavec

γ^′(0) =











 1

2 +ln2 0 1 1 2

2 iπ 1

2 −ln2+iπ

−1

2 0 −1

2 +ln2











 .