Surjectivité de l’exponentielle matricielle.
2013 – 2014
Théorème.
La fonctionexp :Mn(C)−→GLn(C) est surjective.
Lemme.
SoitGun groupe topologique et H un sous-groupe de Gcontenant un voisinage de e. Alors H est ouvert et fermé, en particulier H contient la composante connexe dee.
Démonstration. SoitV un voisinage deedansH, alors pourh∈H,hV est un voisinage dehdansH et doncH est ouvert. On a d’autre part
Hc= [
g /∈H
gH
doncHc est ouvert en tant qu’union d’ouverts, doncH est fermé.
Démonstration du théorème. SoitM ∈ Mn(C). AlorsC[M] est un sous-espace vectoriel deMn(C) de dimension finie donc est fermé. Or pour toutN ∈Net pour toutX ∈C[M],PN
n=0 1
n!Xn∈C[M], donc exp(X)∈C[M].
Par ailleurs, exp(X)∈GLn(C) car d’inverse exp(−X), donc l’application ϕ:C[M]−→C[M]×
X 7−→exp(X)
est bien définie et est un morphisme de groupes car les éléments deC[M] com- mutent. En notant H := Im(ϕ), H est donc un sous-groupe du groupe topo- logiqueC[M]×. Pour montrer que H =C[M]×, il suffit donc par le lemme de montrer queH contient un voisinage deIn et queC[M]× est connexe.
Pour montrer que H contient un voisinage de In, nous allons appliquer le théorème d’inversion locale. L’applicationϕest de classeC1 et on a
ϕ(H) = exp(H)
=In+H+o(kHk)
=ϕ(0) +H+o(kHk).
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La différentielle en 0 deϕest donc l’identité. De plus,C[M]× est ouvert dans C[M] car C[M]× =C[M]∩GLn(C) donc, d’après le théorème d’inversion lo- cale,ϕréalise unC1-difféomorphisme entre un voisinage de 0 dansC[M] et un voisinage deIn dansC[M]×.H contient donc un voisinage deIn.
Il suffit maintenant de montrer queC[M]×est connexe. SoitA, B ∈C[M]×, alorsP(z) := det(zA+ (1−z)B) est un polynôme non nul donc l’ensemble Z de ses racines est fini.C\Zest connexe par arcs et contient 0 et 1 donc il existe un cheminγreliant 0 à 1 dansC\Z. Le cheminγ(t)A+ (1−γ(t))B relie alors B àAdansC[M]×.
Proposition.
Soit A ∈ GLn(R), alors il existe M ∈ Mn(R) telle que exp(M) = A si et seulement s’il existeB ∈ Mn(R)telle queA=B2.
Démonstration. Si exp(M) =A, alors exp M22
=A.
Soit B ∈ Mn(R) telle que B2 =A ∈ GLn(R). AlorsB ∈ GLn(R) car de déterminant non nul, donc il existe Q ∈ C[X] telle que exp(Q(B)) = B. Or B=B= exp(Q(B)), doncA=B×B = exp(Q(B) +Q(B)) carQ(B) etQ(B) commutent. OrQ+Q∈R[X], d’où le résultat.
Exemple. A:=
−1 1
0 −1
n’a pas d’antécédent dansM2(R) par exp. Suppo- sons qu’il existeB ∈ M2(R) telle que exp(B) =A, alors si λest valeur propre deB, expλest valeur propre deAdoncλ=iπ+ 2ikπpourk∈Z. Doncλ6= ¯λ, orB est réelle donc ¯λest aussi valeur propre deB, donc B est diagonalisable.
On en déduit queAest diagonalisable, ce qui est absurde.
On pouvait aussi donner une matrice de déterminant négatif, car det exp(B) = exp(tr(B))>0 pourB∈ Mn(R).
Références
[1] Maxime Zavidovique,Un Max de Math, Calvage & Mounet, 2013.
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