Quelques résultats de M. H. Powell sur le théorème du graphe fermé

P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L ^YON

J ^EAN H ^ORVÁTH

Quelques résultats de M. H. Powell sur le théorème du graphe fermé

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1973, tome 10, fascicule 3 , p. 65-77

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^eme ^{C q 1 1}^ j^^ndLi⁹ p⁰n c t . (1973, Bordeaux)

p. 219-231

Publications du Département de Mathématiques

Lyon 1973 1.10-3

Quelques résultats de M.H. Powell sur le théorème du graphe fermé par Jean Horvâth

Si j^!a i choisi de parler i c i sur quelques résultats récents de non jeune collègue Mike Powell Zlly c'est non seulement parce que je crois que ces résultats méritent d'être connus et qu'en p a r t i c u l i e r i l s simplifient et i l l u s t r e n t certains théorèmes classiques, mais aussi parce que dans ces résultats interviennent des idées de bornologie, dont précisément Bordeaux est un des hauts-lieux, grâce au t a l e n t , 1'énergie et l'enthousiasme du Professeur Hogbe-Nlend.

1. Le théorème de Adasch—Komura-Valdivia

1.1. Pour nous mettre dans l'ambiance, je voudrais commencer par rappeler le théorème déjà classique de ces auteurs [ l ; 6; ë; 9 ] » En 1961 Mahowald démontra que si E est un espace vectoriel topologique séparé t e l que toute application l i n é a i r e dans un espace de Banach dont le graphe est fermé est nécessairement continue, alors E est tonnelé.

Le problème se posa a l o r s ae c a r a c t é r i s e r les espaces localement convexes séparés P t e l s que toute aoplication l i n é a i r e d'un espace tonnelé

séparé dans F aont le graphe est fermé est continue.

notons par l a topologie de l'espace localement convexe séparé L'ensemble 4? des topoiogies tonnelées plus fines que TTp n'est pas viae car la topologie localement convexe l a plus fine l u i appartient.

La borne inférieure localement convexe de ^ est elle-même tonnelée: c'est la topologie l a moins fine parmi toutes les topoiogies tonnelées plus fines que ° f^wî on l ' a p p e l l e l a topologie tonnelée associée à TT-c,. On voit facilement que si E est un espace tonnelé et

u: E F [ u n e application l i n é a i r e continue, alors u reste continue quand on remplace T-p par °C ^ .

Quelques résultats d e M . H . Powell sur le théorème du graphe fermé

Komura démontra en 1962 que l e s deux a s s e r t i o n s s u i v a n t e s ,

portantes s u r 1* espace localement convexe séparé P , sont é q u i v a l e n t e s : l a ) Pour tout espace tonnelé séparé E, toute a p p l i c a t i o n l i n é a i r e u : E — » P dont l e graphe est fermé est c o n t i n u e .

l b ) Si *Ç est une t o p o l o g i e localement convexe séparée s u r P moins f i n e que Tf , a l o r s *C*~^ = •

P W

Avant de donner l a démonstration, j e r a p p e l l e que l e graphe d'une a p p l i c a t i o n l i n é a i r e u : E ^{e s} * t fermé s i et seulement s i i l

e x i s t e une t o p o l o g i e localement convexe séparée moins f i n e que ^ t e l l e que u : E—vPfTf^J s o i t continue £6, lemme 3 « l î 5 ,

l a ) = ^ l b ) : s i e s _ f c p l u s f i n que TT , a l o r s évidemment T p est p l u s f i n que Y * . D^fa u t r e part 1^ : F[°e^t2 est c o n t i n u , donc à p l u s f o r t e r a i s o n ayant graphe fermé. Par conséquent

IJI ^: P — a un graphe fermé, donc est continue p a r h y p o t h è s e . I l en r é s u l t e que est plus f i n e que Tf-™, donc que

l b ) l a ) : Si l e graphe de u : E — • F f⁰^ ] est fermé, s o i t T

r

une t o p o l o g i e localement convexe séparée moins f i n e que ^<Tf_^l t e l l e que

ir

u : E —> P [*Cl s o i t c o n t i n u e . Puisque E est t o n n e l é , u : E —» F E * ^ * ] est a u s s i continue, mais ^C^ = *£*p par hypothèse, donc à p l u s f o r t e r a i s o n u : E - ^ P f T Ê y ] ] ^{e s} * c o n t i n u e .

Le dual a l g é b r i q u e P * eie P est complet, donc quasi—complet p o u r l a t o p o l o g i e c r ( P * , P ) . I l en r é s u l t e que l^f i n t e r s e c t i o n d'une f a m i l l e quelconque de sous—espaces v e c t o r i e l s quasi—complets de P * est un s o u s - espace v e c t o r i e l quasi—complet• Étant donné un sous—espace v e c t o r i e l L ae P* on peut donc p a r l e r de son quasi—completé 17 , q u i e s t 1* i n t e r - section de tous l e s sous—espaces v e c t o r i e l s quasi—complets de P*

contenant L .

Quelques résultats de M . H . P o w e l l sur le théorème du graphe fermé

Un espace localement convexe séparé P esx tonnelé s i et seulement s i °P est é g a l à l a t o p o i o g i e de Mackey T( F, F ' ) et F¹ est q u a s i - complet pour 0 ~ ( F * , F ) . I l en r é s u l t e immédiatement que "T?^ = f ( F , ¹ F* ¹ )

On a a l o r s l e s deux a s s e r t i o n s s u i v a n t e s , dont l^fé q u i v a l e n c e avec l e s deux a s s e r t i o n s précédentes c o n s t i t u e l ' é n o n c é du théorème d'Adasch—

Komura—Valdivia sous l a forme qui l u i a été donnée par P o w e l l :

l e ) [^Adasch^ Pour tout sous—espace v e c t o r i e l L de F* qui est

<T (F* , F)-dense dans F¹ on a T D P » .

ld) CValdiviaQ Tout sous-es^ace v e c t o r i e l quasi-complet K de F * , t e l que M P I P ' s o i t ^CTCF* , P) - d e n s e dans ^FF , contient ^{F* .}

I l est c l a i r que ces deux c o n d i t i o n s sont é q u i v a l e n t e s .

l b ) l e ) : Si L est un sous—espace <r(F* ,F)—dense de F¹, a l o r s

^£ = c r ( F , L ) est une t o p o l o g i e localement convexe séparée moins f i n e

que T ?^F. Par hypothèse ^QC^t = r ( F ,^rï ? ) = ^ T C F,¹*⁷^ ) , d* où T = ^RF^T' , p-—j

c•—à—d• L O F ¹ .

l e ) l b ) : Soit une t o p o l o g l e localement convexe séparée moins f i n e que et posons L =

(^Dt?!)*.

i—i i i + t

faiblement dense de F¹ , donc par hypothèse ju = F* , d» où T = 1.2. Le r é s u l t a t q u^fo n v i e n t de démontrer donne une démonstration p a r t i c u l i è r e m e n t simple du théorème du graphe fermé de Ptâk et des époux Robertson •

Je désigne par v( F^F , F ) l a t o p o l o ^ i e l a plus f i n e sur F¹ q u i i n d u i t sur toute p a r t i e équicontinue l a même t o p o l o g i e que <T ( F¹ , ? ) • Un sous-ensemble M de F* est v( F « , F ) - f e r m é s i et seulement s i pour tout ensemble convexe, é q u i l i b r é , c r ( F * ,F ) - f e r m é , équicontinu A C F* l^f i n t e r - section M O A est c K F¹ ,F )-fermée .

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On d i t que F est un espace infra—Ptâk ( o u B^-complet ) s i tout

sous-espace v>(F^f , F ) - f e r m é et cr(F^f , F ) - d e n s e de F^f est é g a l à F* . I l r é s u l t e du théorème de K rein-Ohm oui ian que tout espace de Fréchet e s t infra—Ptâk, et du théorème de Grothendieck sur l e complété que tout espace infra—Ptâk est complet.

Théorème fPtâk—A.P. et W. RobertsonJ» Si E est un espace t o n n e l é et F un espace i n f r a - P t â k , a l o r s toute a p p l i c a t i o n l i n é a i r e E —»F

dont l e graphe est fermé est continue.

Démon st r a t i on « Je v a i s montrer que F s a t i s f a i t à l a c o n d i t i o n I d ) • Soit te un sous—espace v e c t o r i e l quasi-complet de F* t e l que L = M O F^f s o i t £T(F^f , P ) - d e n s e dans F¹ • Je d i s que L est v(F* ,F ) - f ermé , a l o r s par hypothèse L = F^f , c.-à—d. M D F* . Or s i A est un sous—ensemble convexe, é q u i l i b r é , (T'CF¹ ,F)—fermé et équicontinu de F* , a l o r s

L n A = M n A est crCP' ,?)—fermé puisque M est quasi-complet et A compact.

1.3. A v r a i d i r e , Komura démontre un r é s u l t a t bien plus g é n é r a l que c e l u i que nous avons c i t é plus haut • I l considère une p r o p r i é t é o(

qu'un espace localement convexe séparé peut a v o i r ou ne pas a v o i r , et i l d i t que E a l a p r o p r i é t é oc s i E a l a t o p o l o g i e localement convexe

f i n a l e p a r rapport à une f a m i l l e d ' a p p l i c a t i o n s l i n é a i r e s dans E d'espaces qui ont tous l a p r o p r i é t é oc • Etant donné un espace localement convexe

séparé F avec sa t o p o l o g i e Y j , , l a o( —topologie a s s o c i é e °Cp e s t l a moins f i n e parmi toutes l e s t o p o l o g i e s ayant l a p r o p r i é t é ^ q u i sont plus f i n e s que ^ ^{a a} l ° ^{r s} l^fé q u i v a l e n c e des c o n d i t i o n s

s u i v a n t e s , portantes sur l ' e s p a c e localement convexe séparé F :

a ) Pour tout espace E ayant l a p r o p r i é t é ot , toute a p p l i c a t i o n l i n é a i r e u : E—»F dont l e graphe est fermé est continue.

b ) Pour tout espace E ayant l a p r o p r i é t é oC , toute a p p l i c a t i o n

Quelques résultats de M . H . P o w e l l sur le théorème du graphe fermé

l i n é a i r e u : E —*F dont l e graphe est fermé est continue.

c ) Si ° Ç est une t o p o l o g i e localement convexe séparée sur F moins f i n e que a l o r s T j , = TT .

2. Espaces normables

Si pour oC on prend l a p r o p r i é t é d^fê t r e normable, a l o r s o( est l a p r o p r i é t é d ' ê t r e un espace localement convexe séparé b o r n o l o g i q u e . Un système fondamental de v o i s i n a g e s de l ' o r i g i n e pour l a t o p o l o g i e

bornologique ^ a s s o c i é e à est donné par tous l e s ensembles convexes, é q u i l i b r é s , Tfp—"bomivores. On a a l o r s l ' é q u i v a l e n c e des a s s e r t i o n s suivantes :

2a) Pour tout espace normable B, toute a p p l i c a t i o n l i n é a i r e E —> F dont l e graphe est fermé est c o n t i n u e .

2b) Pour tout espace localement convexe bornologique séparé E,

toute a p p l i c a t i o n l i n é a i r e E —» F dont l e graphe est fermé est continue.

2c) Si °C* est une t o p o l o g i e localement convexe séparée sur F moins f i n e crue T*,-,, a l o r s =

Gomme Tf et ont l e s mêmes ensembles b o r n é s , c e t t e d e r n i è r e condition est e q u i v a l e n t e à l a s u i v a n t e :

2d) Si ~C est une t o p o l o g i e localement convexe séparée sur F moins fine crue , a l o r s tout ensemble TT—borné est T -borné ( c . —à—d•

X*p et ont l e s mêmes ensembles b o r n é s ) .

On s a i t qu'une a p p l i c a t i o n l i n é a i r e d'un espace localement convexe séparé E dans un espace localement convexe séparé F est bornée

( c . - à - d . transforme tout ensemble borné en un ensemble b o r n é ) s i et s e u l e - ment s i e l l e transforme toute s u i t e q u i converge v e r s 0 au sensé de Mackey dans E en une s u i t e bornée dans F* Appliquant c e c i à

Quelques résultats de M . H . Powell sur le théorème du graphe fermé

L , : F j / f ] —» P [ T ^ ] on v o i t que 2d) est équivalente à l a condition suivante :

2e ) Si ""V est une topologie localement convexe séparée sur F moins fine que t*™, a l o r s toute suite qui converge vers 0 au sense

r

de Mackey pour est bornée pour

I l est c l a i r que 2b) peut a u s s i s'énoncer en disant que s i E est un espace localement convexe séparé quelconque et u : E —> F une a p p l i c a - tion l i n é a i r e dont l e graphe est fermé, a l o r s u: E [ t * ] —*F est

ili

continue, c«— à—d. bornée. On v o i t donc que 2b) est équivalente à:

2f ) Pour tout espace localement convexe séparé E , toute a p p l i c a t i o n l i n é a i r e u: E —* F dont l e graphe est fermé transforme l e s s u i t e s q u i convergent vers 0 au sens de Mackey dans E en des s u i t e s bornées dans F .

Observons que 2e) est un cas p a r t i c u l i e r de 2 f ) . En tenant compte de ce que pour et <f(F,lr* ) l e s sous—ensembles bornés sont l e s mêmes, on v o i t que 2d) est équivalente à:

2g) Si L est un sous-esr>ace O^ F¹ ,F)-dense de F' , a l o r s pour tout sous-ensemble B de F, t e l que y H ^ ) s o i t borné pour tout y^f e L , on a que y^f( B ) est borné pour tout y* £ P^f .

Exemple. Soit F = £ ( [ 0 , l ] ) l¹ espace des fonctions continues s u r l ' i n t e r v a l l e Ï0,l2 muni de l a topologie de l a convergence uniforme. I l e x i s t e un espace normable E et une a p p l i c a t i o n l i n é a i r e E —* F dont l e graphe est fermé mais qui n'est pas continue. En e f f e t , l e s fonctions

" t r i a n g u l a i r e s " f bien connues, d é f i n i e s D a r f ( x ) = 2 x s i 2n

n n 0 ^£ x è 2 ~ⁿ, fⁿ( x ) = 2ⁿ( 2 - 2ⁿx ) s i 2~ⁿ ^ x ^{< 2.2~n} et fⁿ( x ) = 0

s i 2 . 2 ~ⁿ^ x 1, convergent vers 0 au sens de Mackey pour l a t o p o l o g i e de l a convergence simple, mais II f II = ^{n m a x}

- , I f

^ O^î x ^s£ 1 ^i ne s a t i s f a i t donc pas à l a condition 2 e ) .

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3# Espaces banachisables

Quand oc est l a p r o p r i é t é que l a t o p o l o g i e de E peut être d é f i n i e par une norme pour l a q u e l l e E est un espace de Banach, a l o r s ex est l a p r o p r i é t é d » ê t r e un espace u l t r a b o m o l o g i q u e • Un système fondamental de voisinages de 0 pour l a t o p o l o g i e u l t r a b o r n o l o g i q u e associée à l a topologie ^C-^ est donné par tous les ensembles é q u i l i b r é s , con-

vexes qui absorbent tous l e s disques complétants ( c . - à - d . ensembles bornés, é q u i l i b r é s , convexes B t e l s que E^ muni de l a jauge de B

s o i t un espace de Banach). Les a s s e r t i o n s suivantes sont é q u i v a l e n t e s : 3a,) Pour tout espace de Banach E, toute a p p l i c a t i o n l i n é a i r e E —* F dont l e graphe est fermé est continue.

3b) Pour tout espace u l t r a b o r n o l o g i q u e E, toute a p p l i c a t i o n l i n é a i r e E—>F dont l e graphe est fermé est continue.

3c ) Si °C* est une t o p o l o g i e localement convexe séparée sur F moins fine que

^t?

=

tf

.

r F

I l est connu [33 qu'un espace localement convexe séparé F est ultrabornologique s i et seulement s i tout ensemble convexe, é q u i l i b r é qui absorbe tout ensemble convexe, é q u i l i b r é , compact est un v o i s i n a g e de 0.

Je démontre c e c i en l e généralisant suivant P o w e l l . Soit F un espace localement convexe séparé- et s o i t JC l a c o l l e c t i o n de tous les ensembles convexes, é q u i l i b r é s , compacts de F . Notons par l a topologie dont un système fondamental de v o i s i n a g e s de 0 est donné par tous les

ensembles convexes, é q u i l i b r é s qui absorbent l e s éléments de X . Je d i s q u ' a l o r s = ^jp* Comme tout ensemble convexe, é q u i l i b r é , compact est un disque complétant, ^ ^ est moins fin que T?-»» Soit a l o r s V

r 1*

un ensemble convexe, é q u i l i b r é qui n ' e s t pas un v o i s i n a g e de 0 pour I l e x i s t e un disque complétant B C F t e l que B (£. n^V pour tout e n t i e r n !r I , c#-à—d. i l e x i s t e x G B t e l que x & n^V. Or —x

n n n n

Quelques résultats de M . H . Powell sur le théorème du graphe fermé

converge v e r s O dans F , donc l^fe n v e l o p p e convexe, é q u i l i b r é e , fermée K de ( —x \ est compact pour *Ci n n } j? ^nt et à t>lus f o r t e raison K G } f .

Mais K <£ n V, donc V n2 / ^fe s t pas un voisinage pour non p l u s . On d i t [ 2 ; 3] qu'une suite ( *ⁿ) de points de F est t r è s con-

vergente v e r s 0 s ' i l e x i s t e 1C G. JC et une suite A ⁿ t oo t e l s que

^ ^{n x n} G K ( c # - à - d . ( ^{x n} ) tend v e r s 0 au sens de Hackey pour l a bor—

noiogie engendrée par J{ ) . Uous venons de démontrer que s i V n ' e s t pas un voisinage ae 0 pour T T p , a l o r s i l e x i s t e une s u i t e t r è s c o n - vergente vers 0 qui n*est pas absorbée par V . En e f f e t , y = *^r*

n ⁿ2 n est t r è s convergente vers 0 puisque ny^ K, mais y^ ^ liV. Si donc V est un ensemble convexe, é q u i l i b r é qui absorbe toute s u i t e t r è s c o n - vergente v e r s 0, i l est un voisinage de 0 pour

I l r é s u l t e de c e c i que l ' a p p l i c a t i o n l i n é a i r e f: E [ T ^ ] ^ P e s t continue s i et seulement s i f transforme toute suite t r è s convergente vers 0 dans E en un suite bornée dans F . Les a s s e r t i o n s 3a)—3c)

sont donc équivalentes au suivantes:

3d.) Si •p est une topologie localement convexe séparée sur F moins fine crue , a l o r s tout ensemble convexe, é q u i l i b r é , T - c o m p a c t est

T p - b o r n é .

3e) Si est une topologie localement convexe séparée sur F moins fine que ^C-n* a l o r s toute suite t r è s convergente vers 0 pour °C est bornée pour

3f ) Pour tout espace localement convexe séparé E , toute a p p l i c a t i o n l i n é a i r e E — > F dont l e graphe est fermé transforme l e s s u i t e s t r è s c o n - vergentes vers 0 dans E en des s u i t e s bornées dans F .

Tout ensemble convexe, é q u i l i b r e ^p-compact est Gr(F,F' )—compact et tout ensemble convexe, é q u i l i b r é , CTCFjF')—compact est un disque complétant.

D ' i c i r é s u l t e que l e s assertions précédentes sont aussi équivalentes à :

Quelques résultats de M . H . Powell sur l e théorème du graphe fermé.

3g) Si L est un sous-espace cr(F',F )-dense de F¹ , a l o r s pour tout sous-ensemble convexe, é q u i l i b r é , c r(F,L)-compact K de F on a que y ' ( K ) est borné pour tout y¹ G F¹ •

Je voudrais remarquer que dans un t r a v a i l récent tio] V a l d i v i a donne deux nouvelles c l a s s e s qui sont maximales pour l e théorème du graphe fermé.

I l r é s u l t e de ce t r a v a i l que s i E est un espace norme, non tonnelé, a l o r s i l e x i s t e un esriace de Banach F et une a p p l i c a t i o n l i n é a i r e

u: E —*F dont l e graphe est fermé mais qui n ' e s t pas continue. I l semble que des r é s u l t a t s v o i s i n s aux précédents se trouvent dans l a thèse d ' E b e r - hardt Çtii ne me fut malheureusement pas a c c e s s i b l e pendant l a rédaction de cette conférence.

4« La topologie u l t r a b o r n o l o g i q u e associée à un espace de De "rfilde Les réseaux constituent l a c o n t r i b u t i o n l a plus importante à l a théorie des espaces localement convexes au cours des v i n g t dernières

années. Pour l e s d é t a i l s j e renvoie au mémoire de De Wilde £ 2 j ; un exposé t r è s succinct d'une p e t i t e p a r t i e de l a t h é o r i e se trouve dans l e cours que j ' a i f a i t en 1 9 7 2 à l ' E c o l e d'Été de B r u x e l l e s sur l e s Espaces

V e c t o r i e l s Topologiques [ 5 3 * I c i j e ne veux que r a p p e l e r quelques d é f i n i - tions et r é s u l t a t s fondamentaux.

Un réseau sur un espace localement convexe séparé E est une f a m i l l e 7R, = { C(n^, . . . , n^v) } de p a r t i e s de E, où k, n^, n^p, . . . v a r i e n t dans l'ensemble des e n t i e r s i l , et qui s a t i s f a i t aux conditions

0 0 0 0 0 0

E " n ^ l⁰^ ! ^ ^{G <}^ⁿl^{) =} n ^ l ^{G ( n} l ^{, n} 2 ^ ^#- ^ ^Ctⁿ; L ' - - - >^{n k}- i ) * ⁿ ^^{1 C} ^ⁿ l » - " »ⁿ k - l »ⁿ k ^

1 2 k On d i t que 31 est du tyue ^ s i oour toute s u i t e ( n , ) , ^w_ d ' e n t i e r s

^1 i l e x i s t e une s u i t e ^ k?kil ^{d e n o m b r e s > 0 t e l s} T^e l e s conditions 0 £ \ ^ é ^ ^k et x^ £ C(n^, • • • >^{n k}) pour k i l impliquent que l a s é r i e J^ l ^ k^xk est convergente dans E.

Quelques résultats de M . H . Powell sur le théorème du graphe fermé

P r o f i t a n t de l'absence de De Wilde de ce c o l l o q u e , j e propose qu'on a p p e l l e un espace localement convexe séparé sur l e q u e l i l e x i s t e un réseau du type % tin espace de De Wilde. Avec cette t e r m i n o l o g i e commode on peut énoncer:

Théorème du graphe fermé de De W i l d e . Si E est un espace de

Fréchet (donc aussi s i E est un espace ultrabornologique ) et s i P e s t un espace de De Wilde, a l o r s toute a p p l i c a t i o n l i n é a i r e de E dans P dont le graphe est séquentiellement fermé est continue.

La c l a s s e des espaces de De Wilde j o u i t de p r o p r i é t é s de s t a b i l i t é remarquables. Par exemple:

a ) Tout espace de Préchet est un espace de De Wilde.

b j Tout sous—espace v e c t o r i e l séquentiellement fermé d'un espace de De Wilde est un espace de De W i l d e .

c ) Le produit d'aine suite d'espaces de De Wilde est un espace de De Wilde.

d) La l i m i t e inductive d'une s u i t e d'espaces de De Wilde est un espace de De Wilde.

e ) Le dual f o r t d'un espace métrisable est un espace de De W i l d e . f ) Le dual f o r t de l a limite inductive d'une suite d'espaces met ri—

sables est un e s D a c e de De Wilde.

Ce qui nous intéresse i c i l e p l u s , c ' e s t l a p r o p r i é t é évidente suivante :

g ) Si 71 = { C(n , . . . ,n, ) } est un réseau du type *C sur E et u: E—>P est une a p p l i c a t i o n l i n é a i r e continue, a l o r s u(0? )

= { u( C ( n¹, . . • ⁹n^) ) | est un réseau du type Z sur u ( E ) .

D ' i c i r é s u l t e en p a r t i c u l i e r que le quotient d'un espace de De Wilde est un espace de De Wilde, que toute a p p l i c a t i o n l i n é a i r e s u r j e c t i v e d'un espace de De Wilde sur un espace de Préchet dont l e graphe est fermé e s t

Quelques résultats de M . H . Powell sur le théorème du graphe fermé

ouverte, et finalement que s i est une t o p o l o g i e de De Wilde, a l o r s toute topologie localement convexe séparée moins fine que est aussi de De Wilde.

A l l a n t dans l ' a u t r e d i r e c t i o n , De Wilde démontra que s i TTg est de De W i l d e , a l o r s l a t o p o l o g i e bornologique associée ^ ^£ est aussi de De W i l d e . Or Povrell a démontré l e théorème suivant:

Si •'Pg est une t o p o l o g i e de De W i l d e , a l o r s l a t o p o l o g i e u l t r a b o r - nologique associée ^ est a u s s i de De W i l d e .

Je remarque tout de suite que c ' e s t l e plus l o i n qu'on puisse a l l e r dans cette d i r e c t i o n : s i est une t o p o l o g i e plus fine que et qui est de De Wilde, a l o r s est moins fine que ^ ^e^ f e t , comme 1_: S f ^ e ^ ] - »E[ ° C _ ] est continue, 1^: E ] E [*e] est fermée, donc,

HI il» & ht ^{L JE}

d'après l e théorème du graphe fermé de De Wilde, continue, c . - à - d . *Ç ^ est plus f i n que •

Comme c o r o l l a i r e du théorème de Powell on obtient que s i est de De Wilde, a l o r s "Cg, ^-^Q et E,E* ) sont de De W i l d e . En e f f e t ,

ces toT»ologies sont moins fines que ^É?^.

E

La démonstration du théorème de Powell se f a i t en p l u s i e u r s étapes:

1) Soit = { c( n¹, . . . , n^k) ] un réseau du type £ sur ECsT./]*

Soit n = C¹¹^) ™ie s u i J f c e d ' e n t i e r s ^,1 et ^{u n e} s^ite de nombres

> 0 qui s a t i s f a i t par rapport à n à l a condition qui d é f i n i t un réseau du type £ . Choisissons 0 < r < l et x = ( x , J t e l que x.. e C(n.. , . . , ^fr

j£ ¹

L ' a p p l i c a t i o n CjJ = Cjj ^{n x r :} * —> E sera définie par <f(a) = Z I a . r o x.

pour a = ( a ^k) € / . Si U = { a G i ; \ £ 1 ] est le oube unité

fermé de / , posons B « o> ( u ) . L'ensemble B est

n , x , r j n , x , r^v n , x , r

convexe, é q u i l i b r é et 1* on a E = [^_J B

n , x , r ⁿ> * »^r

3n , x , r ^{e s t} ooroP³-⁰"*;- Soit u è E ' . On a | < y ( a j , u > | - I S ^ r ^ u ^ ) 1 = | < a , ^t^ ( u ) > | < o O pour tout a € ^ ° ° , d'où

Quelques résultats de M . H . Powell sur le théorème du graphe fermé

^ijjiu) = (^{r k}? v^u^^xk ^ k £ l ^{G 1 1 e n r} ® ^{s u l t e (}*^{u e} y ^: E est

continue pour l e s topologies <r(t ,C ) et (T(E⁹E* ) . Puisque U est

<T(* • & )-compact, B est (T( E,E' )-compact.

n « ^X . r

D^f autre part 2 ^ k^Xk converge, donc y ^kx^k tend v e r s 0 et k⁼ 1

1* ensemble { ^ ^{kx k}} ^{e s} * précompact. Or pour a « S U on a

Z | a^k| r^k ^ = r / ( l - r ) , donc ^ ( a ) = ^ ^a k ^ • L 5 ? ^ A ^{e s t} contenu dans l^f enveloppe convexe* é q u i l i b r é . ° f -fermé de ^r o , r

7 E l 1-r ) k kJ

qui est précompacte. I l en r é s u l t e que B est ^ -précompact-, n , X , r Jci

donc aussi compact.

/s

3) Soit V l a topologie localement convexe l a plus fine sur fî qui rend continues l e s injections E^ C—> E. Puisque l e s B

JD n * x * r

n , x , r ^ ^{9 9}

sont des disques complétants, l a topologie *C est u l t r a b o r n o l o g i q u e . E l l e est évidemment plus fine que

4) <R est un réseau du type £ pour °C • Soient ( ^{n k} ) ^e*t 2

comme avant, choisissons 0 < t < l et s = t . Soit a l o r s

x.^k € C ( n¹, . . . , n^k) et 0 ^ > ^k ^ t 3 ^k* L'élément a = ( a ^k ) e ^ d é f i n i par ^ ^k = a ^ t^k^^k appartient à U . Dans E ^ g } l a s é r i e ^* ^ ^{k x k}

converge vers un élément x puisque est du type £ pour

m ^E

~ V ^\ Y k k m+1 ^{y f} k-m-1 . k ^

G s^m"^{f i}B , c - à - d . V y x converge vers x dans E^ donc

n , X , Sx v ^{k = 1} n , x , s

aussi pour .

5) = Comme ° t est de De Wilde et plus fine que ^EL,, d'après l a remarque d é j à f a i t e , T est moins fine que °C^ u ^E* D'autre

>\ _ u part °Ç est u l t r a b o r n o l o g i q u e , donc plus fine que ^•

Quelques résultats de M . H . Powell sur le théorème du graphe fermé

B i b l i o g r a p h i e

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