PartieI:Premi`erespropri´et´esdesfonctions S ( α ¡ 0 ). PROBL`EME ´Etuded’unes´eriedefonctions DMn 6-CORRECTION

PROBL`

EME

Etude d’une s´

´

erie de fonctions

Pour tout r´eel strictement positif α, on se propose d’´etudier la fonction Sα de la variable r´eelle x d´efinie

(sous r´eserve de convergence) comme somme de la s´erie de fonctions suivante :

Sαpxq  8

¸

n0

e
xnα  1 e
x e
2αx e
3αx e
4αx    .

Partie I : Premi`

eres propri´

et´

es des fonctions S

(α

¡ 0).

1. (a) Soit xP R. Pour tout n P N, on a : e
xn pe
xqn. On en d´eduit que la s´erie ¸

n¥0

e
xn est une s´erie g´eom´etrique, de raison e
x. Elle converge donc si et seulement si e
xPs
1, 1r, si et seulement si x ¡ 0. Ainsi la s´erie de fonctions d´efinissant S1 converge simplement surs0, 8r.

Toujours en y reconnaissant une somme de s´erie g´eom´etrique, on peut expliciter S1pxq pour tout

x¡ 0 : @x ¡ 0, S1pxq  8 ¸ n0 e
xn 1 1
e
x. (b) On utilise l’´equivalent classique : e
x
1 

xÑ0
x. On en d´eduit : S1pxq xÑ0 1 x. Or : lim xÑ0 1 x  8. On en d´eduit : limxÑ0 S1pxq  8. (c) Pour tout x¡ 0, on a : S1pxq
1  1 1
e
x
1  e
x 1
e
x xÑ 8 e
x. Or : lim xÑ 8e
x _{ 0. On en d´eduit : lim} xÑ 8pS1pxq
1q  0.

2. Soit x¤ 0. Pour tout n P N, on a
xnα ¥ 0, donc : @n P N, e
xnα ¥ e0  1. Ainsi e
xnα_nPN ne converge pas vers 0, donc la s´erie ¸

n¥0

e
xnα diverge grossi`erement.

Soit x¡ 0. D’apr`es le th´eor`eme des croissances compar´ees, on a : lim

nÑ 8n 2_e
xnα  0. On en d´eduit : e
xnα  nÑ 8o  1 n2 . Les s´eries ¸ n¥1 e
xnα et ¸ n¥1 1

n2 sont `a termes positifs et la seconde s´erie est une s´erie de Riemann

convergente du fait que 2¡ 1 ; d’apr`es le th´eor`eme de comparaison des s´eries `a termes positifs, on en d´eduit que la s´erie ¸

n¥0

e
xnα converge si x¡ 0. La s´erie ¸

n¥0

e
xnα converge si x ¡ 0 et diverge si x ¤ 0. Ainsi la somme Sαpxq  8

°

n0

e
xnα n’est

d´efinie que si x¡ 0, et la fonction Sα a pour domaine de d´efinitions0, 8r.

3. (a) Soit ε¡ 0. Pour tout n P N et tout x P rε, 8r, on a : e
xnα e
xnα ¤ e
εnα. On en d´eduit : @n P N, 0 ¤ }fn}8 ¤ e
εn

α

,

o`u la norme infinie est consid´er´ee sur rε, 8r (nous avons d´efini fn en pr´eambule).

Or nous avons d´emontr´e dans la question 2. que la s´erie ¸

n¥0

e
εnα converge (prendre x  ε). D’apr`es le th´eor`eme de comparaison des s´eries `a termes positifs, on en d´eduit que la s´erie de fonctions ¸

n¥0

0  a ¤ b, on a ra, bs „ ra, 8r, et la s´erie de fonctions ¸

n¥0

fnconverge normalement surra, 8r ;

elle converge donc aussi normalement, et en particulier uniform´ement, surra, bs. Puisque la s´erie de fonctions ¸

n¥0

fn converge uniform´ement sur tout segment inclus danss0, 8r

et que, pour tout n P N, la fonction fn est continue sur s0, 8r, on en d´eduit que la somme

Sα 8

°

n0

fn est continue surs0, 8r.

(b) Pour tout nP N, l’application fnest d´ecroissante surs0, 8r, en tant que composition de

l’appli-cation xÞÑ
xnα, d´ecroissante surs0, 8r et `a valeurs dans R, et de l’application exponentielle qui est croissante sur R. On en d´eduit, pour tout n P N et pour tous r´eels x et y tels que 0   x ¤ y :

fnpyq ¤ fnpxq,

et en sommant de 0 `a 8 on a, pour tous r´eels x et y tels que 0   x ¤ y : Sαpyq ¤ Sαpxq.

On en d´eduit que la fonction Sα est d´ecroissante sur s0, 8r.

Une fonction monotone admet une limite, ´eventuellement infinie, en les extr´emit´es de son domaine de d´efinition. On en d´eduit que la fonction Sα admet une limite finie ou infinie en 0 et en 8.

(c) On rappelle le th´eor`eme de la double limite : Soit ¸

n¥0

fn une s´erie de fonctions d´efinies I, et soit a une extr´emit´e de I. On suppose que :

— la s´erie de fonctions ¸

n¥0

fn converge uniform´ement sur I ;

— pour tout nP N, la limite : lim

xÑafnpxq  `n existe et est finie.

Alors la s´erie ¸ n¥0 `n converge, et on a : lim xÑa 8 ¸ n0 fnpxq  8 ¸ n0 `n.

Or nous avons d´emontr´e dans la question 3.(a) que la s´erie de fonctions ¸

n¥0

fn converge

norma-lement, donc uniform´ement, sur l’intervalle r1, 8r. De plus,

@n P N, lim

xÑ 8fnpxq 

"

1 si n 0, 0 si n¥ 1, donc, pour tout n P N, lim

xÑ 8fnpxq existe et est finie. On en d´eduit, d’apr`es le th´eor`eme de la

double limite : lim xÑ 8Sαpxq  8 ¸ n0 lim xÑ 8fnpxq  1.

(d) Soient N P N et x ¡ 0. Pour tout n P N, on a e
xnα ¥ 0, donc : Sαpxq  N ¸ n0 e
xnα 8 ¸ nN 1 e
xnα ¥ N ¸ n0 e
xnα.

Or, pour tout n P N, on a : lim

xÑ0e
xn

α

 e0 _{ 1, par continuit´e de l’exponentielle en 0. On en}

d´eduit, quand xÑ 0, lim xÑ0Sαpxq ¥ N ¸ n0 1 N 1,

l’existence de la limite dans le membre de gauche ´etant bien ´etablie dans la question 3.(b). Elle est soit finie, soit infinie ; mais si elle est finie, ´egale `a un r´eel `, alors prendre un entier naturel N tel que : N 1¡ ` (il en existe vu que : lim

NÑ 8pN 1q  8 ; prendre pour N la partie enti`ere

de ` par exemple) implique une contradiction dans l’in´egalit´e ci-dessus. On en d´eduit que lim

xÑ0Sαpxq ne peut qu’ˆetre infinie, et Sα ¡ 0 donc :

lim

Partie II : ´

Etude de la fonction S

.

4. On note qu’il s’agit, dans cette question, d’effectuer une comparaison entre s´erie et int´egrale.

(a) Soient nP N et x ¡ 0. L’application t ÞÑ t2 est croissante sur R , et
x   0, donc l’application t ÞÑ
xt2 _{est d´ecroissante sur R , et `a valeurs R. En composant avec l’exponentielle, qui est}

croissante sur R, on en d´eduit la d´ecroissance de l’application t ÞÑ e
xt2 sur R . Elle l’est donc en particulier surrn, n 1s, et on en d´eduit :

@t P rn, n 1s, e
xpn 1q2

¤ e
xt2

¤ e
xn2

.

En int´egrant cette in´egalit´e sur rn, n 1s (ce qui est possible parce que les applications sont manifestement continues sur ce segment), la croissance de l’int´egrale nous donne :

»n 1 n e
xpn 1q2dt¤ »n 1 n e
xt2dt¤ »n 1 n e
xn2dt.

Or nous int´egrons des fonctions constantes aux extr´emit´es de cet encadrement, sur un segment de longueur 1. On a donc simplement :

e
xpn 1q2dt¤ »n 1 n e
xt2 ¤ e
xn2, (1) Soit x¡ 0. La s´erie ¸ n¥0

e
xn2 converge d’apr`es la question 2.(b), et l’application t ÞÑ e
xt2 est continue et d´ecroissante sur R. D’apr`es le th´eor`eme de comparaison entre s´erie et int´egrale on en d´eduit que la s´erie ¸

n¥0

»n 1 n

e
xt2dt converge ´egalement, et sa somme ´egale

» ₈

0

e
xt2dt d’apr`es

la relation de Chasles.

Donc, en sommant (1) pour n allant de 0 `a 8, on a :

8 ¸ n0 e
xpn 1q2 ¤ 8 ¸ n0 »n 1 n e
xt2dt¤ 8 ¸ n0 e
xn2.

En faisant le changement d’indice nÞÑ n 1 dans la premi`ere somme, et en utilisant la relation de Chasles dans la seconde somme, on obtient :

S2pxq
1 ¤

» ₈

0

e
xt2dt¤ S2pxq.

On relie l’int´egrale en jeu `a l’int´egrale (de Gauss) de l’´enonc´e via le changement de variable affine : u?xt, licite parce que tÞÑ?xt est de classe C1 (et : du?xdt), et est une bijection strictement croissante de r0, 8r dans r0, 8r. On obtient alors :

S2pxq
1 ¤ 1 ? x » ₈ 0 e
udu¤ S2pxq. D’apr`es l’´enonc´e : » <sub>8</sub> 0 e
u2du ? π 2 . On en d´eduit : S2pxq
1 ¤ ? π 2?x ¤ S2pxq. (b) L’in´egalit´e pr´ec´edente se r´einterpr`ete aussi de la fa¸con suivante :

@x ¡ 0, S2pxq ¤ ? π 2?x 1, et : ? π 2?x ¤ S2pxq.

Autrement dit : @x ¡ 0, ? π 2?x ¤ S2pxq ¤ ? π 2?x 1. On en d´eduit : @x ¡ 0, 1 ¤ S2pxq ? π 2?x ¤ 1 2 ? x ? π .

Les deux extr´emit´es de cet encadrement ont clairement pour limite 1 quand xÑ 0, donc d’apr`es le th´eor`eme des gendarmes : lim

xÑ0 S2pxq ?_π 2?x  1. Ainsi : S2pxq  xÑ0 ? π 2?x. Or : lim xÑ0 ? π

2?x  8. On retrouve donc la limite obtenue `a la question 3.(d) : lim

xÑ0 S2pxq  8.

5. (a) Soit x¡ 0. On a e
x02  1 et e
x12  e
x, donc : S2pxq
1
e
x 

8

¸

n2

e
xn2.

Pour tout entier n ¥ 2 on a n2 ¥ n, or
x   0, donc :
xn2 ¤
xn. L’exponentielle ´etant croissante, on en d´eduit : S2pxq
1
e
x ¤ 8 ¸ n2 e
xn,

d’o`u le r´esultat pour tout x¡ 0 (l’existence de cette somme fut ´etablie en question 1.(a)). (b) Soit x¡ 0. Nous avons calcul´e la somme

8

¸

n0

e
xndans la question 1.(a). En l’utilisant, on obtient :

8 ¸ n2 e
xn 1 1
e
x
p1 e
x_{q } 1
p1
e
xqp1 e
xq 1
e
x  1
p1
e
2xq 1
e
x  e
2x 1
e
x. On en d´eduit, suivant l’in´egalit´e de la question pr´ec´edente :

@x ¡ 0, 0 ¤ ex _S

2pxq
p1 e
xq



¤ e
x 1
e
x.

Nous avons d´ej`a calcul´e la limite de la quantit´e du membre de droite quand xÑ 8, dans la ques-tion 1.(c) : elle ´egale 0. D’apr`es le th´eor`eme des gendarmes, on a donc : lim

xÑ 8e x_pS 2pxq
p1 e
xqq  0. On en d´eduit : S2pxq
p1 e
xq  xÑ 8o e
x_,

ce qu’on r´e´ecrit : S2pxq 

xÑ 81 e

x _ope
x_q.

De cela on d´eduit imm´ediatement, par d´efinition d’un ´equivalent : S2pxq
1 

xÑ 8e

x _{o e}
x _ xÑ 8oe

x_.

6. (a) Soient N P N et x ¡ 0. On reprend la premi`ere in´egalit´e de la question 4.(a), en sommant n de N `a 8 (nous avons d´ej`a justifi´e que c’est possible dans la question 4.(a)), et on obtient :

8 ¸ nN e
xpn 1q2 ¤ » ₈ N e
xt2dt.

Il suffit de faire le changement d’indice de sommation n ÞÑ n 1 dans la somme pour obtenir l’in´egalit´e voulue :

8 ¸ nN 1 e
xn2 ¤ » ₈ N e
xt2dt.

(b) Soient N P N et x ¡ 0. On a, d’apr`es la question pr´ec´edente : S2pxq
N ¸ n0 e
xn2  8 ¸ nN 1 e
xn2 ¤ » ₈ N e
xt2dt. (2)

Pour estimer cette int´egrale nous suivons l’indication de l’´enonc´e en faisant un changement de variable. Le passage de e
xt2 `a e
u sugg`ere le changement de variable : u xt2.

L’application t ÞÑ xt2 est de classe C1 sur rN, 8r, et strictement croissante de rN, 8r dans rxN2_{, 8r. Le changement de variable : u  xt}2 _{dans l’int´egrale}

» ₈

N

e
xt2dt est donc licite (on a : du 2xtdt). Cette int´egrale converge d’apr`es la question 4.(b), et on a :

» ₈ N e
xt2dt » ₈ N e
xt22xtdt 2xt  1 2?x » ₈ N e
xt2 ? xt2p2xtdtq,

donc l’int´egrale

» ₈

xN2

e
u ?

udu converge d’apr`es la formule du changement de variable, et :

» ₈ N e
xt2dt 1 2?x » ₈ xN2 e
u ? udu. Reprenant l’in´egalit´e (2), on en d´eduit :

S2pxq
N ¸ n0 e
xn2 ¤ 1 2?x » ₈ xN2 e
u ? udu.

Il reste `a majorer cette derni`ere int´egrale. On saurait l’int´egrer sans dommage sans la pr´esence du quotient par?u. On y rem´edie en majorant ?1

u par une constante : pour tout u¥ xN

2 _{on a} ? u¥?xN2 _{ N}?_{x, donc :} » ₈ xN2 e
u ? udu¤ 1 N?x » ₈ xN2 e
udu 1 N?x 
e
u_xN82  e
xN2 N?x. On conclut : S2pxq
N ¸ n0 e
xn2 ¤ 1 2?x » ₈ xN2 e
u ? udu¤ 1 N?x  e
xN2 N?x  e
xN2 2N x , d’o`u le r´esultat pour tout N P N et tout x ¡ 0.

(c) Soit x¡ 0. Si, pour ε ¡ 0, on a : e

xN2 2N x   ε, alors : 0¤ S2pxq
N ¸ n0 e
xn2   ε,

et dans ce cas la somme partielle

N

¸

n0

e
xn2 donne une valeur approch´ee de S2pxq `a ε pr`es.

Or l’in´egalit´e : e

xN2

2N x   ε est n´ecessairement v´erifi´ee pour N suffisamment grand, puisque le terme de gauche tend vers 0 quand N Ñ 8. Voici donc un moyen informel d’obtenir une valeur approch´ee de S2pxq `a ε ¡ 0 pr`es :

i. On prend N  0.

ii. Tant que e
xN2_{2N x} ¥ ε, on remplace N par N 1. iii. D`es que N v´erifie : e
xN2_{2N x} ¥ ε, on calcule et on sort

N

¸

n0

e
xn2.

Un peu plus formellement : import numpy as np

def valeur_approchee(x,eps): N=0

S=0

while np.exp(-x*N**2/(2*N*x))> eps N+=1

S+=np.exp(-x***2) return S

Partie III : ´

Etude de S

pxq quand x tend vers 0 et 8.

7. On note que Γ est la fonction Γ d’Euler.

(a) Soit αP R. L’application u ÞÑ e
uuα
1 est continue surs0, 8r, donc int´egrable sur tout segment inclus dans s0, 8r : les seuls probl`emes ´eventuels d’int´egrabilit´e sont au voisinage de 0 et de

8. La fonction ´etant positive, on peut proc´eder par relation de comparaison. Convergence de l’int´egrale

»1 0

e
uuα
1du.

La convergence ´equivaut ici `a l’int´egrabilit´e, toujours par positivit´e de l’int´egrande. On a : e
uuα
1 

uÑ0ou

α
1_ 1

u1
α.

L’application uÞÑ 1

u1
α est une fonction de Riemann : elle est int´egrable surs0, 1s si et seulement

si 1
α   1, si et seulement si α ¡ 0. On en d´eduit, par comparaison d’int´egrales de fonctions positives, que l’application uÞÑ e
uuα
1 est int´egrable sur s0, 1s si et seulement si α ¡ 0.

Ainsi l’int´egrale »1

0

e
uuα
1du converge si et seulement si α¡ 0. Convergence de l’int´egrale

» ₈

1

e
uuα
1du.

On a, d’apr`es le th´eor`eme des croissances compar´ees : lim

uÑ 8u 2_{ u}α
1_e
u _{ 0. On en d´eduit :} e
uuα
1  uÑ 8o  1 u2 . Or la fonction de Riemann uÞÑ 1

u2 est int´egrable au voisinage de 8 parce que son exposant 2 est

strictement sup´erieur `a 1, donc uÞÑ e
uuα
1 l’est ´egalement d’apr`es le th´eor`eme de comparaison des int´egrales de fonctions positives.

Ainsi l’int´egrale

» ₈

1

e
uuα
1du converge pour tout αP R. En conclusion : l’int´egrale Γpαq 

» ₈

0

e
uuα
1du converge si et seulement si les int´egrales »1 0 e
uuα
1du et » ₈ 1 e
uuα
1du convergent.

D’apr`es l’´etude qui pr´ec`ede, leur convergence simultan´ement est assur´ee si et seulement si α¡ 0. On en d´eduit que Γpαq converge si et seulement si α ¡ 0.

(b) Soient a, et b des r´eels tels que 0  a ¤ b. On int`egre par parties sur le segment ra, bs : l’application uÞÑ e
u est continue surra, bs et l’application u ÞÑ uα _{est de classe C}1 _{sur ce mˆeme segment.}

On int`egre la premi`ere et on d´erive la seconde ; d’apr`es la formule de l’int´egration par parties, on a donc : »b a e
uuαdu
e
uuαb_a
»b a p
e
u_qαuα
1_du
e
b_bα _e
a_aα _α »b a e
uuα
1du. Or : lim bÑ 8e

b_bα_{ 0 d’apr`es le th´eor`eme des croissances compar´ees, et, du fait que α ¡ 0, on a :}

lim

aÑ0e

a_aα_{ 1  0  0. On en d´eduit, quand a Ñ 0 et b Ñ 8 dans l’´egalit´e ci-dessus :}

» ₈ 0 e
uuαdu α » ₈ 0 e
uuα
1du, c’est-`a-dire : Γpα 1q  αΓpαq. On a imm´ediatement : Γp1q  » ₈ 0 e
udu
e
u₀8 1.

Voyons comment, par r´ecurrence sur nP N, on en d´eduit l’´egalit´e : Γpn 1q  n!. Si n  0, cela vient d’ˆetre ´etabli, vu que 0! 1 et Γp1q  1.

Soit nP N, et supposons que Γpn 1q  n!. Alors, d’apr`es l’´egalit´e d´emontr´ee ci-dessus : Γpn 2q  pn 1qΓpn 1q  pn 1qn!  pn 1q!, donc l’´egalit´e voulue est h´er´editaire.

Nous l’avons initialis´ee, donc par principe de r´ecurrence on a : @n P N, Γpn 1q  n!. (c) Soit x¡ 0. On a : Γ  1 α  » ₈ 0 e
uuα1
1du.

Par un raisonnement analogue `a celui de la question 6.(b), mutatis mutandis, le changement de variable : u xtα_{est licite (et on a : du xαt}α
1_{dt), et nous permet d’en d´eduire la convergence}

de l’int´egrale » ₈ 0 e
xtαxα1
1t1
αpxαtα
1dtq  αx 1 α » ₈ 0

e
xtαdt ; or cette int´egrale est, `a une constante multiplicative pr`es, l’int´egrale Ipαq ; ceci d´emontre donc sa convergence, et on a de plus : Γ  1 α  αx1 α » ₈ 0 e
xtαdt αxα1Ipαq.

Notons qu’on retrouve l’´egalit´e d´emontr´ee (avec α 2 et N  0) dans la question 6.(b).

8. (a) Soit x¡ 0. On refait une comparaison entre s´erie et int´egrale, comme `a la question 4. L’application tÞÑ e
xtα est d´ecroissante sur R par un raisonnement analogue. En reprenant tout ce qu’on a ´etabli, on a : 8 ¸ n1 e
xnα ¤ » <sub>8</sub> 0 e
xtαdt¤ 8 ¸ n0 e
xnα, c’est-`a-dire : Sαpxq
1 ¤ Ipαq ¤ Sαpxq.

On en d´eduit : Sαpxq ¤ Ipαq 1, et de plus Ipαq ¤ Sαpxq donc cet encadrement peut ´egalement

s’´ecrire :

Ipαq ¤ Sαpxq ¤ Ipαq 1.

Or, d’apr`es la question pr´ec´edente : Ipαq  1 αxα1 Γ  1 α

(on peut effectuer la division car α¡ 0 et x¡ 0 par hypoth`ese). On en d´eduit, en soustrayant Ipαq de chaque membre de l’encadrement :

0¤ Sαpxq
1 αx1α Γ  1 α ¤ 1, d’o`u le r´esultat attendu.

(b) On a Γ _α1 ¡ 0 : il s’agit de l’int´egrale sur s0, 8r d’une fonction continue, positive et non identiquement nulle. Ainsi, pour tout x¡ 0 on a, partant de l’encadrement la question pr´ec´edente o`u l’on divise tout par 1

αxα1 Γ  1 α ¡ 0, puis ajoute 1 : 1¤ αx 1 α Γ _α1Sαpxq ¤ αx1α Γ _α1 1, or 1 α ¡ 0, donc : limxÑ0x 1

α  0. Il est alors imm´ediat que les deux extr´emit´es de l’encadrement

ci-dessus ont pour limite 1 quand xÑ 0.

On en d´eduit, d’apr`es le th´eor`eme des gendarmes : lim

xÑ0 αxα1 Γ _α1Sαpxq  1. C’est-`a-dire : Sαpxq  xÑ0 1 αxα1 Γ  1 α . De plus : lim xÑ0 1 αxα1 Γ  1 α

 8. On retrouve donc le r´esultat de la question 4.(b) : lim

xÑ0Sαpxq  8.

9. (a) On reprend la comparaison entre s´erie et int´egrale de la question 8.(c), mais en sommant `a partir de n 1 au lieu de n  0, et on ne conserve que la premi`ere in´egalit´e. On obtient alors :

@x ¡ 0, ¸8 n2 e
xnα ¤ » ₈ 1 e
xtαdt. (b) Pour tout x¡ 0, on a : Sαpxq
1  8 ¸ n1 e
xnα  e
x 8 ¸ n2 e
xnα. On en d´eduit : @x ¡ 0, e
x_{¤ S} αpxq
1 ¤ e
x 8 ¸ n2 e
xnα. (3)

Or, d’apr`es la question 9.(a) et l’´equivalent admis, on a : @x ¡ 0, 0 ¤ ¸8 n2 e
xnα ¤ » ₈ 1 e
xtαdt  xÑ8o e
x_,

ce dont on d´eduit que :

8 ¸ n2 e
xnα  xÑ8o e
x_{, puis :} e
x 8 ¸ n2 e
xnα  xÑ8e
x _{o e}
x _ xÑ8e
x_.

Donc, d’apr`es l’encadrement (3) (et un usage soign´e du th´eor`eme des gendarmes), on en d´eduit : Sαpxq
1 

xÑ8e
x_.