Fonctions de deux variables (DS de l’année 2019-2020)

ECE2 2020-2021 Mathématiques

Fonctions de deux variables (DS de l’année 2019-2020)

Exercice 1 (EML 2015)

Dans cet exercice on pourra utiliser l’encadrement suivant :2<e<3.

Partie I : Étude d’une fonction

On considère l’application ϕ:R→R, x7→ϕ(x) =x²e^x−1.

1. Dresser le tableau de variations deϕ, en précisant la limite deϕen−∞, sa valeur en 0 et sa limite en +∞.

2. Établir que l’équation e^x = 1

x², d’inconnue x∈ ]0; +∞[, admet une solution et une seule, notée α, et que α appartient à l’intervalle

1 2,1

.

Partie II : Étude d’une suite

On considère l’application f :R→R, x7→f(x) =x³e^x,

et la suite réelle (un)n∈N définie par : u0 = 1et∀n∈N,un+1 =f(un).

3. Montrer : ∀n∈N,u_n>1.

4. Établir que la suite (un)n∈N est croissante.

5. Quelle est la limite deun lorsque l’entierntend vers l’infini ? Partie III : Étude d’une série

6. Montrer que la série P

n>1

1

f(n) converge. On noteS =

+∞

P

n=1

1 f(n). 7. Montrer : ∀n∈N^∗,

S− Pⁿ

k=1

1 f(k)

6 1 (e−1)eⁿ.

8. En déduire une fonction en Scilabqui calcule une valeur approchée de S à 10⁻⁴ près.

Partie IV : Étude d’une fonction de deux variables

On considère l’ouvertU = ]0,+∞[×Rde R² et l’application de classeC² suivante : g=U →R,(x, y)7→g(x, y) = 1

x+e^x−y²e^y 9. Représenter graphiquement l’ensemble U.

10. Calculer, pour tout (x, y) de U, les dérivées partielles premières de gen (x, y).

11. Montrer quegadmet deux points critiques et deux seulement, et que ceux-ci sont (α,0)et(α,−2), où α est le réel défini à la question 2.

12. Est-ce que g admet un extremum local en(α,0)?

1

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13. Est-ce que g admet un extremum local en(α,−2)? 14. Est-ce que g admet un extremum global surU?

Exercice 2 (HEC 2008)

Étant donné un entiernsupérieur ou égal à2, on considère un nuage denpoints du plan, c’est-à-dire un n-uplet (x1, y1),(x2, y2), . . . ,(xn, yn)

d’éléments de R². On suppose que les réels x1, x2, . . .,xn

(resp.y₁,y₂,. . .,y_n) ne sont pas tous égaux.

On appelle moyenne arithmétiquex et écart-typeσ_x du n-upletx= (x₁, . . . , x_n), les réels suivants : x = 1

n

n

P

k=1

x_k et σx =

s 1 n

n

P

k=1

(x_k−x)²

On définit de même la moyenne arithmétiquey et l’écart-type σ_y dun-uplety= (y₁, . . . , y_n).

La covariance cov(x, y)et le coefficient de corrélation linéairer(x, y)du couple(x, y)sont donnés par : cov(x, y) = 1

n Pn

k=1

(x_k−x) (y_k−y) et r(x, y) = cov(x, y) σ_x×σ_y

Soit f la fonction définie surR² à valeurs réelles qui, à tout couple(a, b) de R², associe le réelf(a, b) tel que :

f(a, b) =

n

P

k=1

(a xk+b−yk)²

1. Justifier quef est de classeC² surR².

2. a) Écrire le système d’équations(S) permettant de déterminer les points critiques def.

b) Résoudre le système (S). En déduire que f admet un unique point critique (ˆa,ˆb) que l’on exprimera en fonction dex,y,σ_x² et cov(x, y).

c) Montrer que ce point critique correspond à un minimum local def. d) Établir la formule suivante :f(ˆa,ˆb) =n σ_y² 1−r²(x, y)

. 3. a) Montrer que l’on a :|r(x, y)|61.

b) Que peut-on dire du nuage de points lorsque|r(x, y)|= 1?

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