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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Intégrales extraites des lois à densité connues 1) Avec la loi exponentielle

On sait que 𝜆𝑒 𝑑𝑥 = 1, on déduit que 𝑒 𝑑𝑥 =1 𝜆

On sait que 𝐸(𝑋) = 𝜆𝑥𝑒 𝑑𝑥 =1

𝜆, on déduit que 𝑥𝑒 𝑑𝑥 = 1 𝜆

On sait que 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋 ) − 𝐸(𝑋) = 1

𝜆 , on déduit que 𝐸(𝑋 ) = 𝑉(𝑋) + 𝐸(𝑋)

𝐸(𝑋 ) = 𝑉(𝑋) + 𝐸(𝑋) = 1 𝜆 + 1

𝜆 = 2

𝜆 ainsi 𝜆𝑥 𝑒 𝑑𝑥 = 2 𝜆

On déduit aussi que 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 = 2 𝜆

2) Avec la loi normale centrée réduite

On sait que 1

√2𝜋𝑒 𝑑𝑥 = 1, on déduit que 𝑒 𝑑𝑥 = √2𝜋

On sait que 𝑥 ↦ 𝑒 est paire donc 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑑𝑥 = √2𝜋

2 = 2𝜋

4 = 𝜋 2

On sait que 𝑉(𝑋) = 1 = 𝐸(𝑋 ) − 𝐸(𝑋) et 𝐸(𝑋) = 0 donc 𝐸(𝑋 ) = 1

on déduit que 1

√2𝜋𝑥 𝑒 𝑑𝑥 = 1 mais aussi que 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 = √2𝜋 On sait enfin que 𝑥 ↦ 𝑥 𝑒 est paire donc 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 = 𝜋

2

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