TRIGONOMETRIE Le radian – Angles orientés – Cosinus et Sinus

TRIGONOMETRIE

Le radian – Angles orientés – Cosinus et Sinus

Situation :

Une course de cyclistes a lieu sur une piste circulaire, représentée par le cercle de centre O ci-contre. D est le point de départ de la course et A le point d’arrivée.

Quels sont les éléments géométriques intervenant et dont les mesures intéressent les coureurs ?

I. Introduction d’une nouvelle mesure d’angle : le radian A. Définition du radian

Compléter le tableau en notant dans chaque case la longueur L de l’arc DA, c’est-à-dire la longueur du chemin parcouru par le cycliste, connaissant R le rayon de la piste et une mesure de l’angle DOA.

Mesure de l’angle

DOA en degré

Nombre de tours

Représentation

Dans chaque cas, indiquer la position du point d’arrivée et dessiner en

couleur le chemin parcouru

Valeur exacte de la longueur L pour R = 1

(en km)

Valeur exacte de la longueur L pour R = 3

(en km)

Valeur exacte de la longueur L

pour R quelconque

(en km)

360°

180°

B. Différentes mesures d’un même angle

Nombre de tours

Mesure de l’angle en

degré

L pour R = 1 L pour R quelconque

Mesure de l’angle en

radian

Représentation

45°

Placer les points d’arrivée, A1, A2, A3, et dessiner dans chaque cas le chemin parcouru en couleur.

405°

765°

90°

Placer les points d’arrivée, B1, B2, B3, et dessiner dans chaque cas le chemin parcouru dans une couleur.

450°

810°

Comment obtient-on toutes les mesures de l’angle en degré à partir d’une mesure x de l’angle en degrés ? De même, comment obtient-on toutes les mesures en radian à partir d’une mesure α de l’angle en radians ?

C. Applications

1. Longueur d’un arc de cercle

C est un cercle de centre O et de rayon R.

AB est un arc de C, L sa longueur et α la mesure en radian de l’angle AOB.

Exprimer L en fonction de R lorsque :

α = 2 π α = π α = π

2 L = L = L =

A retenir :

2. Conversions

Compléter le tableau suivant : Mesure

en degrés

180 0 45 60 120 270 x

Mesure en radians

π 6

π 2

3π 4

5 π 6

5π

3 α

3. Le rapporteur

a) Placer, en bleu, sur le cercle ci-dessous les points

correspondants à un angle au centre de 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

b) Placer, en rouge, sur le rapporteur circulaire ci-dessus les mesures correspondantes en radians.

c) Placer, à l’aide d’un rapporteur, les points M et N correspondants respectivement à un angle au centre de 3 rad et 5 rad.

× ×

A retenir :

II. Orientation sur le cercle

A. Orientation du cercle et angles orientés

Problème :

La règle du jeu consiste pour les coureurs à parcourir 2km en partant du point de départ « D », sur une piste circulaire de périmètre 3 km.

Où peut-on planter le poteau d’arrivée A ?

Angle orienté :

On note (OD , ^→ OA ) l’angle décrit par le coureur lorsqu’il va de D à A. ^→

Exercices :

On considère le cercle de rayon 1 d’origine A.

Compléter les tableaux suivants :

Point de départ A A B C E

Longueur du chemin parcouru en mètres

π π

2

5π 4

5π

2 3π

Sens du parcours + – – – –

Point d’arrivée E

Notation (OA ,^{→ →}OE ) (OA , ) ^→ (OB ,^→O ) ^→ (O ,^→O ) ^→ (O ,^→O ) ^→

une mesure en

tours - 1

4 - 5

8 une mesure en

radians - 5π

4

Point de départ F F E B D Longueur du

chemin parcouru en mètres

7π 4

π 4

3π 2

3π 4

5π 4

Sens du parcours + – – + –

Point d’arrivée

Notation (^→OF , ) (^→OF , ) ( , ) ( , ) ( , ) une mesure en

tours

une mesure en radians

III. Cosinus et sinus d’un angle quelconque

Définition : dans un repère orthonormé ( O ;

OI, → →

OJ

Exprimer les coordonnées du point M ci-contre en fonction de x :

M a pour coordonnées (……. ; ……)

Nouvelle définition du sinus et du cosinus :

Dans le cercle trigonométrique C muni du repère orthonormé ( O ; →

OI, →

OJ ), x étant un réel quelconque, M est un point de C associé à x.

Le cosinus de x, noté cos x est l’abscisse de M Le sinus de x, noté sin x est l’ordonnée de M Propriétés immédiate : pour tout x de IR:

- 1 ≤ cos x ≤ 1 et - 1 ≤ sin x ≤ 1 cos ² x + sin ² x = 1

x° 0

x rad 0

6 π

4 π

3 π

2 π

cos x

sin x

IV. Fonctions trigonométriques

Définition

On appelle fonction cosinus la fonction, notée cos, qui à tout nombre réel x associe cos x : x |→ cos x On appelle fonction sinus la fonction, notée sin, qui à tout nombre réel x associe sin x : x |→ sin x

O I

M J

cos x sin x

x

V. Résolution d’équations

1. sin x = a ( recherche de x en radians)

• si a < -1 ou si 1 < a alors il n’y a pas de solution

• si a = 1 alors il y a une seule solution : x = π

2 + 2 k π avec k ∈ ZZ

• si a = -1 alors il y a une seule solution : x = - π

2 + 2 k π avec k ∈ ZZ

• si –1 < a < 1 alors il y a deux solutions . On utilise la propriété suivante :

sin x = sin β ⇔







+

−

= +

=

π β π

π β

k x

ou k x

2 2

k ∈

Méthode :

trouver un angle connu dans le tableau de valeurs du III.

si la valeur est négative, on utilise la propriété : sin ( - x ) = -sin x on écrit les deux égalités puis on les résout si besoin.

x cos x

− π

−1

0 1

π

−1

x sin x

− π 0

− π /2

−1

π /2 1

π

0

Exemple : a) sin x = 1

2 ( -1 < 1 2 < 1 ) On sait que x₀ = π

6 convient On peuvent donc s’écrire :

x = π

6 + 2 k π avec k ∈ ZZ ou x = π - π

6 + 2 k’ π avec k’ ∈ ZZ soit x = 5 π

6 + 2 k’ π b) sin x = - 1

2 sin π

6 = 1

2 donc sin ( - π 6 ) = - 1

2 On peuvent donc s’écrire :

x = -π

6 + 2 k π avec k ∈ ZZ ou x = π - ( - π

6 ) + 2 k’ π avec k’ ∈ ZZ x = π + π

6 + 2 k’ π soit x = 7 π

6 + 2 k’ π c) sin ( 2x - π

6 ) = 1 2

On peuvent donc s’écrire :2x - π 6 ⁼

π 6 + 2 k π avec k ∈ ZZ

2 x = 2 π

6 + 2 k π x = π

6 + k π

ou 2x - π

6 = π - π

6 + 2 k’ π avec k’ ∈ ZZ 2 x = π + 2 k’ π

x = π

2 + k’ π

2. cos x = a

• si a < -1 ou si 1 < a alors il n’y a pas de solution

• si a = 1 alors il y a une seule solution : x = 2 k π avec k ∈ ZZ

• si a = -1 alors il y a une seule solution : x = π + 2 k π avec k ∈ ZZ

• si –1 < a < 1 alors il y a deux solutions . On utilise la propriété suivante :

cos x = cos α ⇔







+

−

= +

=

π α

π α

k x

ou k x

2 2

k ∈

Méthode :

trouver un angle connu dans le tableau de valeurs du III.

si la valeur est négative, on utilise la propriété : cos ( π - x ) = - cos x on écrit les deux égalités puis on les résout si besoin.

Exemple : a) cos x = 1

2 ( -1 < 1 2 < 1 ) On sait que x₀ = π

3 convient

On peuvent donc s’écrire : x = π

3 + 2 k π avec k ∈ ZZ ou x = - π

3 + 2 k’ π avec k’ ∈ ZZ

b) cos x = - 1 2 cos π

3 = 1

2 donc cos ( π – π 3 ) = - 1

2 π – π

3 = 2 π 3 On peuvent donc s’écrire :

x = 2 π

3 + 2 k π avec k ∈ ZZ ou x = - 2 π

3 + 2 k’ π avec k’ ∈ ZZ

c) cos ( 2x - π 3 ) = 1

2

On peuvent donc s’écrire : 2x - π

3 ⁼ π

3 + 2 k π avec k ∈ ZZ 2 x = 2 π

3 + 2 k π x = π

3 + k π

ou 2x - π 3 = - π

3 + 2 k’ π avec k’ ∈ ZZ 2 x = 2 k’ π

x = k’ π

VI. Formules :

Les formules ci-dessous sont vraies pour tout réel x , mais pour faciliter la mémorisation, on place x entre 0 et π 2.

cos ( – x ) = cos x cos ( π – x ) = – cos x cos ( π + x ) = – cos x cos (π

2 – x ) = sin x cos (π

2 + x ) = – sin x

sin ( – x ) = – sin x sin ( π – x ) = sin x sin ( π + x ) = – sin x sin (π

2 – x ) = cos x sin (π

2 + x ) = cos x

Application :

Résoudre cos x = sin x :

Méthode : on transforme une expression, sin x par exemple : cos x = cos (π

2 - x ) que l’on sait résoudre.

– π 2 π 2

x π 0

– x

- π 2 π 2 π - x x

π 0 π + x

– x

Formules d’addition, de duplication : ( application du produit scalaire ) cos ( a + b ) = cos a cos b – sin a sin b

cos ( a - b ) = cos a cos b + sin a sin b sin ( a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin ( a - b) = sin a cos b - sin b cos a cos 2a = 2 cos ² a – 1

cos 2a = 1 – 2 sin ² a sin 2a = 2 sin a cos a Application :

Calcul de valeur exacte : cos ( π

12 ) = cos ( 4 π 12 - 3 π

12 ) = cos ( π 3 - π

4 ) = cos π

3x cos π

4 + sin π

3x sin π 4

= 1 2x 2

2 + 3

2 x 2

2

= 2

4 x( 1 + 3 )