2 TRIGONOMETRIE I- Cercle trigonométrique, Radian R 2 2 !

(1)

1^er S TRIGONOMETRIE

Objectifs : Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d’un angle orienté, mesure principale.

Déterminer les cosinus et les sinus d’angles associés.

Résoudre dans !les équations d’inconnue x : cos x = cos a et sin x = sin a.

I- Cercle trigonométrique, Radian

Rappel de 2^nd

1) Cercle trigonométrique

Soit (O ; I, J) un repère orthonormal du plan.

Le cercle de centre O, de rayon OI = 1, d’origine I et de sens de parcours positif (ou sens direct), est appelé cercle trigonométrique.

Par convention le sens direct correspond au sens inverse des aiguilles d’une montre.

L’autre sens est alors appelé le sens indirect.

2) Le Radian

Le radian est une unité de mesure des angles proportionnelle au degré, de sorte qu’un angle plat (180°) mesure π radians. On la note rad.

Un tour complet (360°) correspond à un angle mesurant 2! rad.

Lorsqu’un cercle a pour rayon R, la longueur de ce cercle est 2!R

Comme il y a proportionnalité entre longueur de l’arc et mesure de l’angle au centre qui l’intercepte, on a :

→ un angle au centre de 1 radian intercepte un arc de longueur R (Fig.1)

→ un angle au centre de θ radians (avec θ∈[0 ; 2π]) intercepte un arc de longueur R×θ ( Fig2)

Fig. 1 Fig.2

Lorsque le cercle a pour rayon 1, la longueur de ce cercle est 2!

→ un angle au centre de 1 radian intercepte un arc de longueur 1. (Fig.3)

→ un angle au centre de θ radians (avec θ∈[0 ; 2π]) intercepte un arc de longueur θ. (Fig.4) Avec un cercle de rayon 1, c’est le même nombre θ qui donne à la fois longueur de l’arc et mesure en radians de l’angle au centre qui l’intercepte.

Fig. 3 Fig.4

(2)

O I

J K

A

B 2 3 π

-1 -2 -3-^π 1

Exercice 1 : Compléter le tableau de conversion suivant : Angle en

radians 0

Angle en

degrés 0 30 45 60 90 180 360

3) Cosinus et sinus d’un nombre réel

Soit (d) la droite tangente au cercle en I. On note K le point de coordonnées (1 ; 1).

On munit (d) du repère (I ; K). Cette droite représente la droite des nombres réels.

Le cercle trigonométrique a pour rayon 1 donc son périmètre est égal à 2!. π , dans l’unité de longueur choisie, est la longueur du demi-‐cercle C .

"Enroulons" (d) sur le cercle. Les points de (d) viennent en coïncidence avec les points du cercle.

Exemple : A est le point de (d) vérifiant _IA^! = π, La longueur de IJ!est π

2, IB!=3! 2 Remarque : IOJ!=90^"= !

2rad, IOA!=180^"=! rad ,

A n'importe quel

nombre réel x, on peut faire correspondre un point sur le cercle trigonométrique tel que IOM! = x rad.

Définition : Soit M un point du cercle trigonométrique tel que IOM! = x rad . Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M.

Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de M.

La tangente de x , noté tan x , est donné par l'abscisse de T sur l'axe ( I T ) et on a tan x _!!

tan x = sinx

cosx pour tout x k 2

≠π+ π, k _!!

Exemples : cos 0 = 1 et sin 0 = 0 ; cos π = -‐1 et sin π = 0 ; cos π

2 = 0 et sin π 2 = 1.

Propriétés : Pour tout x réel, -‐1 ≤ cos x ≤ 1 ; -‐1 ≤ sin x ≤ 1 ; cos² x + sin² x = 1 ; cos(-‐x) = cos x ; sin(-‐x) = -‐ sin x ; cos( x + 2π) = cos x ; sin ( x + 2π) = sin x

(3)

Valeurs remarquables x en

radian 0 π

6 π

4 π

3 π

2 x en

degré 0 30° 45° 60° 90°

cos x 1 3

2 2

2

1

2 0

sin x 0 1

2 2

2

3

2 1

Exercice 2 : a) Construire un cercle trigonométrique et placer sur ce cercle les points correspondant aux nombres !

4;5! 6 ;"2!

3 ;7! 2 ; 5!

b) Déterminer les valeurs exactes des cosinus et sinus des nombres précédents.

Exercice 3 : On considère x! "

2;"

#

$%

&

'( et sin x = ³

4. Déterminer la valeur exacte de cos x.

II- Mesure d’un angle orienté de vecteurs non nuls du plan

1) Mesures d’un angle de vecteurs non nuls du plan orienté

Soient u^! et v^! deux vecteurs non nuls du plan orienté.

On choisit un point O quelconque du plan.

Il existe deux points uniques A’ et B’ tels que OA! "!!'

= "

u et OB! "!!'

= "

v.

Il existe deux points uniques A et B intersection du cercle trigonométrique de centre O avec les demi-‐droites [OA’) et [OB’).

On note α la longueur appartenant à [0 ; 2π[ de l’arc du cercle trigo. parcouru de A vers B dans le sens positif.

On appelle mesures de l’angle orienté de vecteurs u,^! !

( )

v , tous les nombres ! =" +k#2$ avec k%!

LES MESURES D’UN ANGLE ORIENTE DE VECTEURS SONT EN RADIANS.

! désigne l’ensemble des nombres entiers négatifs, positifs ou nul.

Par commodité, on confond l’angle et ses mesures et on écrit u,^! !

( )

v ⁼!+k"2# avec k$"

ou encore

( )

u,^! v! ⁼^!⁺^2k^"^{, k}^#"

ou encore

( )

u,^! v! ^!^"^!![2^#^]

ce qui se lit

( )

u,^! v! congru à α modulo 2π Parfois, on écrit simplement

( )

u,^! v! ⁼^! signifiant qu’une mesure de

( )

u,^! v! ^est^α

Remarque : AOB!= !

(4)

2) Mesure principale

Parmi toutes les mesures de l’angle orienté de vecteurs u,^! !

( )

v la seule qui appartient à l’intervalle

!"!;!"

] ]

est appelée mesure principale.

Exemple : pour tout vecteur u^! non nul on a :

•

( )

u,^! u! ⁼⁰⁺^2k^!^!,!k^""

Ainsi, 0 ; 2π ; 4π ; —2π ; — 4π… sont des mesures de

u,! !

( )

u , sa mesure principale est 0.

• ! u,!!

(

u

)

⁼^(!^u,^! ^u^!⁾⁼^" ⁺^2k^"^!,!^k^#"

Ainsi, π ; 3π ; 5π ; —π ; —3π ; — 5π… sont des mesures de u,^! !!

(

u

)

^,

sa mesure principale est π.

Exercice 4 : Déterminer la mesure principale des angles orientés

( )

u,^! v! dont une mesure est : a) ³⁷!

6 b) ²⁰²!

3 c) ⁸⁹!

12

3) Cosinus et sinus d’angle orienté

Si a et b sont deux mesures en radians d’un angle orienté u,^! !

( )

v , alors il existe un entier relatif k tel que a = b + 2k π, ainsi cos a = cos b et sin a = sin b.

Définition : Le cosinus (ou le sinus) d’un angle orienté de vecteur est le cosinus (ou le sinus) de l’une quelconque des mesures en radian de cet angle. On note cos u,^! !

( )

v et sin u,^! !

( )

v ^.

Exercice 5 : Construire un carré ABCD direct, et un triangle équilatéral ABE direct (à l’intérieur du carré). Déterminer une mesure de AD! "!!

,AE! "!!

( )

^{et de}

(

^CE^{! "}^!!^,^CB^{! "}^!!

)

; puis cos ! "AD!!

,AE! "!!

( )

^{; sin}

(

^AD^{! "}^!! ^,^AE^{! "}^!!

)

^.

III- Propriétés des angles orientés

1) Angle orienté et colinéarité

Propriété : Soient u! et v!

sont des vecteurs non nuls.

• u! et v!

sont colinéaires de même sens si et seulement si u,^! !

( )

v ^{= 0.}

• u! et v!

sont colinéaires de sens contraires si et seulement si

( )

u,^! v! ^{= π.}

2) Relation de Chasles

Théorème (admis) : Pour tous vecteurs non nuls u! ,v!

etw"!

, on a :

( )

^u^!^,^v^! ⁺

( )

^v^!^,^w^"! ⁼

( )

^u^!^,^w^"!

Conséquences de la relation de Chasles

u! et v^! désignent deux vecteurs non nuls du plan orienté.

[1]

v,! u!

( )

⁼^!

( )

^u,^! ^v^!

[3]

!u,! !v!

( )

⁼

( )

^u,^! ^v^!

(5)

[2]

u,! !v!

( )

⁼

( )

^u,^! ^v^! ⁺^"

[4]

!u,! v!

( )

⁼

( )

^u,^! ^v^! ⁺^"

Exercice 6 : Sachant que ! "AB!!

,AC! "!!

( )

⁼^!. Donner une mesure de ! "AB!!

,CA! "!!

( )

^,

(

^AC^{! "}^!!^,^AB^{! "}^!!

)

^,

(

^BA^{! "}^!!^,CA^{! "}^!!

)

^et

AC! "!!

,! "BA!!

( )

3) Cosinus et sinus d’angles associés

Sur le cercle trigonométrique on place un point M tel que (OI! "!

, OM! "!!

)= x + 2k π et N, P, R symétriques de M par rapport aux axes et au centre du cercle alors :

(OI! "! ; ON! "!!

)= -x +2k!

(OI! "! ; OP! "!!

)= !-x +2k!

(OI! "! ; OR! "!!

)= !+x +2k!

cos (-x) = cos x sin (-x) = -sin x tan (-x) = -tan x

cos (π+x) = -cos x sin (π+x) = -sin x tan (π+x) = tan x

cos (π-x) = -cos x sin (π-x) = sin x tan (π-x) = -tan x

cos ( 2

π +x) = -sin x sin (

2

π +x) = cos x tan (

2

π +x) = - x tan

1

cos ( 2

π -x) = sin x sin (

2

π -x) = cos x tan (

2 π -x) =

x tan

1

Exercice 7 : On donne : sin!

12= 6" 2

4 .Déterminer la valeur exacte de cos!

12 ; puis en déduire les valeurs exactes du sinus et du cosinus de ⁵!

12 ;7! 12 ;11!

12 . 4) Equations trigonométriques

Equation du type cos x =cos a Alors ^x⁼^a⁺²^k!

x="a+2k!

#$

% ,k&!

Equation du type sin x = sin a Alors ^x⁼^a⁺^2k!

x=! !a+2k!

"

#$ ,k%!

Exercice 8 : a) Résoudre l’équation cos x = ! 3

2 sur !, puis sur

]

!";"

]

^.

b) Résoudre l’équation sin x = 2

2 sur _!, puis sur

]

!";"

]

^.