TRIGONOMETRIE
Le radian – Angles orientés – Cosinus et Sinus
Situation :
Une course de cyclistes a lieu sur une piste circulaire, représentée par le cercle de centre O ci-contre. D est le point de départ de la course et A le point d’arrivée.
Quels sont les éléments géométriques intervenant et dont les mesures intéressent les coureurs ?
I. Introduction d’une nouvelle mesure d’angle : le radian
A. Définition du radian
Compléter le tableau en notant dans chaque case la longueur L de l’arc DA, c’est-à-dire la longueur du chemin parcouru par le cycliste, connaissant R le rayon de la piste et une mesure de l’angle .
Mesure de l’angle en degré
Nombre de tours
Représentation
Dans chaque cas, indiquer la position du point d’arrivée et dessiner en
couleur le chemin parcouru
Valeur exacte de la longueur L
pour R = 1 (en km)
Valeur exacte de la longueur L
pour R = 3 (en km)
Valeur exacte de la longueur L
pour R quelconque
(en km)
360°
180°
B. Différentes mesures d’un même angle
Nombre de
tours Mesure de l’angle en
degré
L pour R = 1 L pour R
quelconque Mesure de l’angle en
radian
Représentation
45°
Placer les points d’arrivée, A1, A2, A3, et dessiner dans chaque cas le chemin parcouru en couleur.
405°
765°
90° Placer les points d’arrivée, B1, B2, B3, et dessiner dans chaque cas le chemin parcouru dans une couleur.
450°
810°
Comment obtient-on toutes les mesures de l’angle en degré à partir d’une mesure x de l’angle en degrés ?
De même, comment obtient-on toutes les mesures en radian à partir d’une mesure de l’angle en radians ?
C. Applications
1. Longueur d’un arc de cercle
C est un cercle de centre O et de rayon R.
AB est un arc de C, L sa longueur et la mesure en radian de l’angle . Exprimer L en fonction de R lorsque :
= 2 = =
L = L = L =
A retenir :
2. Conversions
Compléter le tableau suivant : Mesure
en
degrés 180 0 45 60 120 270 x
Mesure en
radians
3. Le rapporteur
a) Placer, en bleu, sur le cercle ci-dessous les points
correspondants à un angle au centre de 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
b) Placer, en rouge, sur le rapporteur circulaire ci-dessus les mesures correspondantes en radians.
c) Placer, à l’aide d’un rapporteur, les points M et N correspondants respectivement à un angle au centre de 3 rad et 5 rad.
A retenir :
II. Orientation sur le cercle
A. Orientation du cercle et angles orientés
Problème :
La règle du jeu consiste pour les coureurs à parcourir 2km en partant du point de départ « D », sur une piste circulaire de périmètre 3 km.
Où peut-on planter le poteau d’arrivée A ?
Angle orienté :
On note ( , ) l’angle décrit par le coureur lorsqu’il va de D à A.
Exercices :
On considère le cercle de rayon 1 d’origine A.
Compléter les tableaux suivants :
Point de départ A A B C E
Longueur du chemin parcouru
en mètres 3
Sens du parcours + – – – –
Point d’arrivée E
Notation (,) (, ) (,) (,) (,)
une mesure en
tours - -
une mesure en
radians -
Point de départ F F E B D Longueur du
chemin parcouru en mètres
Sens du parcours + – – + –
Point d’arrivée
Notation (, ) (, ) ( , ) ( , ) ( , ) une mesure en
tours
une mesure en radians
III. Cosinus et sinus d’un angle quelconque
Définition : dans un repère orthonormé ( O ; \s\up12(®, \s\up12(® ), on appelle cercle trigonométrique, le cercle C de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct .
Exprimer les coordonnées du point M ci-contre en fonction de x :
M a pour coordonnées (……. ; ……)
Nouvelle définition du sinus et du cosinus :
Dans le cercle trigonométrique C muni du repère orthonormé ( O ; \s\up12(®, \s\up12(® ), x étant un réel quelconque, M est un point de C associé à x.
Le cosinus de x, noté cos x est l’abscisse de M Le sinus de x, noté sin x est l’ordonnée de M Propriétés immédiate : pour tout x de IR:
- 1 ≤ cos x ≤ 1 et - 1 ≤ sin x ≤ 1 cos ² x + sin ² x = 1
x° 0
x rad 0
6
4
3
2
cos x sin x
IV. Fonctions trigonométriques
Définition
On appelle fonction cosinus la fonction, notée cos, qui à tout nombre réel x associe cos x : x |→ cos x On appelle fonction sinus la fonction, notée sin, qui à tout nombre réel x associe sin x : x |→ sin x
V. Résolution d’équations
O I
M J
cos x sin x
x
1. sin x = a ( recherche de x en radians)
si a < -1 ou si 1 < a alors il n’y a pas de solution
si a = 1 alors il y a une seule solution : x = + 2 k avec k Î
si a = -1 alors il y a une seule solution : x = - + 2 k avec k Î
si –1 < a < 1 alors il y a deux solutions . On utilise la propriété suivante :
sin x = sin
k x
ou
k x
2 2
k Î
Méthode :
trouver un angle connu dans le tableau de valeurs du III.
si la valeur est négative, on utilise la propriété : sin ( - x ) = -sin x
on écrit les deux égalités puis on les résout si besoin.
Exemple :
a) sin x = ( -1 < < 1 )
On sait que x
0= convient On peuvent donc s’écrire :
x =
+ 2 k avec k Î ou x = - + 2 k’ avec k’ Î soit x = + 2 k’
b) sin x = -
sin = donc sin ( - ) = - On peuvent donc s’écrire :
x = -
+ 2 k avec k Î ou x = - ( - ) + 2 k’ avec k’ Î x = + + 2 k’
soit x = + 2 k’ c) sin ( 2x - ) =
On peuvent donc s’écrire : 2x -
=+ 2 k avec k Î 2 x = 2 + 2 k
x = + k
ou 2x - = - + 2 k’ avec k’ Î 2 x = + 2 k’
x = + k’
2. cos x = a
si a < -1 ou si 1 < a alors il n’y a pas de solution
si a = 1 alors il y a une seule solution : x = 2 k avec k Î
si a = -1 alors il y a une seule solution : x = + 2 k avec k Î
si –1 < a < 1 alors il y a deux solutions . On utilise la propriété suivante :
cos x = cos
k x
ou
k x
2 2
k Î
Méthode :
trouver un angle connu dans le tableau de valeurs du III.
si la valeur est négative, on utilise la propriété : cos ( - x ) = - cos x
on écrit les deux égalités puis on les résout si besoin.
Exemple :
a) cos x = ( -1 < < 1 )
On sait que x
0= convient On peuvent donc s’écrire :
x =
+ 2 k avec k Î ou x = - + 2 k’ avec k’ Î
b) cos x = -
cos = donc cos ( – ) = - – = On peuvent donc s’écrire :
x =
