Calcul de la longueur d’un arc de parabole
Soit P une parabole, d’´equation y2 = 2pxdans un rep`ere orthonorm´e (0;ı, ).
Adoptons le param´etragef :t∈R7→(x=t2/2p, y=t). Ce param´etrage est simple.
Nous avons −→
f ′(t) = (t/p,1) donc
°
°
−→ f ′(t)°
°= s
t2 p2 + 1 =
pt2+p2 p NotonsL:y∈R7→
Z y
0
pt2+p2 p dt.
Le changement de variableu=t/p nous donne
L(y) =p Z y/p
0
p1 +u2du
Appliquons maintenant le changement de variable v = argsh(u), ´equivalent `a u= sh(v) ; la formule ch2(v)−sh2(v) = 1 nous donne
L(y) =p
Z argsh(y/p) 0
q
1 + sh2(v) ch(v)dv=p
Z argsh(y/p) 0
ch2(v)dv Mais
ch2(v) =³ev+e−v 2
´2
= e2v+e−2v+ 2
4 = 1 + ch(2v) 2 Nous en d´eduisons
L(y) = p 2
Z argsh(y/p)
0
¡1 + ch(2v)¢
dv= p 2
hv+ sh(2v) 2
iargsh(y/p)
0 = pargsh(y/p)
2 +psh¡
2 argsh(y/p)¢ 4
Notons x = argsh(y/p), et utilisons les formules sh(2x) = 2 sh(x) ch(x), sh¡
argsh(y/p)¢
= y/p et ch(x) =
q
1 + sh2(x) = s
1 +y2
p2; il vient
sh¡
2 argsh(x)¢
= 2y p
s 1 +y2
p2 = 2yp y2+p2
p2 En rempla¸cant x par argsh(y/p), nous obtenons finalement
L(y) = pargsh(y/p)
2 +yp
y2+p2 2p
Soient a et b deux r´eels, avec a 6 b; la longueur de l’arc de parabole compris entre les points de param`etres respectifs aetbest alors L(b)−L(a).
