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Calcul de la longueur d’une spirale

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Academic year: 2022

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(1)

Exercices Alternatifs

Calcul de la longueur d’une spirale

c

°2001 Fr´ed´ericLe Roux(copyleftLDL : Licence pour Documents Libres).

Sources et figures: spirale/.

Version imprimable: spirale.pdf

S´eries. DEUG deuxi`eme ann´ee. Angle p´edagogique : Visualisation.

Objectifs et commentaires.

Visualiser g´eom´etriquement des s´eries : ici, la spirale est constitu´ee d’une infinit´e de segments, sa longueur s’obtient donc comme la somme d’une s´erie. On s’est arrang´e pour qu’il ne s’agisse pas d’une s´erie g´eom´etrique (contrairement `a la plupart des exemples simples de s´eries en g´eom´etrie). Voir un contexte o`u une s´erie apparait naturellement.

O

A A

A A A

A

A1

2 3

4

5 6

7 ...

Fig. 1: construction d’une spirale

(2)

Sur la figure

1, le cercle est de rayon 1 et on donne les longueurs des segments

OA

n

: l

n

= 1/n.

Calculer la longueur de la spirale.

Aide : dans un triangle de cˆot´es c

1

, c

2

et c

3

, on a c

23

= (c

2−

c

1

cosα)

2

+ (c

1

sinα)

2

, o` u α est l’angle

entre les cˆot´es c

1

et c

2

.

Références

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