Etude de la nature d’une s´ ´ erie

Universit´e Lille I 2008-2009

Math218 Feuille n^◦2

S´ eries num´ eriques

Somme d’une s´ erie

Exercice 1

Calculer les sommes partielles des s´eries P

u_n. En d´eduire leur nature, et leur somme si elle existe :

a)u_n =eⁱⁿ ; b) u_n = (1/√

n)−(1/√

n+ 1), n>1 ; c) u_n= sinn ; d)u_n = 1

(n−1)(n+ 2), n >2 ; e) u_n= ln µ

1− 1 n²

¶

, n>2 ; f) u_n= 2n−1

n³−4n, n>3.

a) Divergence ; b) 1 ; c) divergence ; d) 11

18; e) −ln 2 ; f) 89 96. Exercice 2

D´eterminer les r´eels a et b pour que la s´erie P

n>0u_n d´efinie par u_n=√

n+a√

n+ 1 +b√ n+ 2 soit convergente. Calculer alors sa somme.

Convergence ssi a=−2, b= 1 ; S =−1.

Exercice 3

Justifier l’´egalit´e : 1

1 +x = 1−x+x² +· · ·+ (−1)ⁿxⁿ+ (−1)ⁿ⁺¹xⁿ⁺¹ x+ 1. En d´eduire

ln 2 = X+∞

n=0

(−1)ⁿ n+ 1. Exercice 4

Soit P

n>0un la s´erie de terme g´en´eral un = (−1)ⁿ

2n+ 1 , n>0.

1. On d´esigne par s_n la somme desnpremiers termes de la s´erie. A l’aide du d´eveloppement limit´e de _1+x¹ 2, calculer

s_n− Z ₁

0

1 1 +x² dx.

2. En d´eduire la somme X+∞

n=0

(−1)ⁿ 2n+ 1. Faire comme dans l’exercice 3. S = π

4.

1

Etude de la nature d’une s´ ´ erie

Exercice 5

Etudier la nature des s´eries´ P u_n : a) u_n= (n+ 1)(n+ 2)

n! aⁿ, a >0 ; b)u_n = (1−thn)ⁿ ; c)u_n = n!

aⁿ , a >0 ; d)u_n = aⁿ

n^α, a >0, α∈R ; e) u_n= n!

nⁿ ; f)u_n = (−1)ⁿ thn g)u_n = (n!)²

(2n)! ; h) u_n= 1 +aⁿ

n³ , a>0 ; i) u_n= lnn²+n+ 1 n²+n−1 ; j) u_n= sin 1

n −ln µ

1 + 1 n

¶

; k) u_n= 1

n^2−cosn1 ; l)u_n = µ

cos1 n

¶_n

; m) u_n= n^lnn

(lnn)ⁿ ; n)u_n =n¹ⁿ −1 ; o)u_n =nⁿ¹² −1 ; p) u_n =n¹ⁿ −nⁿ⁺¹¹ .

a) Convergence. b) Convergence. c) Divergence.

d)a <1 : Convergence. a >1 : Divergence. a= 1 : Convergence ssi α >1.

e) Convergence. f) Divergence. g) Convergence. h) Convergence ssi a61. i) Convergence.

j) Convergence. k) Divergence. l) Divergence m) Convergence. n) Divergence. o) Convergence.

p) Convergence.

Exercice 6

Etudier suivant les valeurs des param`etres´ a, b, c la nature des s´eriesP u_n : a) u_n= ln2n+ 1

n+ 3 −asin1

n + bn

2n+ 3 ; b) u_n =eⁿ¹ −a− b n ; c)u_n =anln

µ 1 + 1

n

¶

−bcos1

n +csin1

n ; d) u_n=√³

n³+an−√

n²+ 1 ; e) u_n=e^an2

³ 1− a

n

´_n³

; f)u_n = 2 + sinn

n^a . Convergence ssi

a)b=−2 ln 2,a=−5 2 +3

2ln 2 ; b)a=b= 1 ; c)a =b etc= a

2; d)a= 3

2; e)a6= 0 ; f)a >1.

Exercice 7

Etudier la nature des s´eries´ P un : a)un = (−1)ⁿlnn

n² ; b) un = (−1)ⁿ+ 1

n² ; c)un = (−1)ⁿlnn n ; d)u_n = (−1)ⁿ(√

n² + 1−n) ; e) u_n= s

1 + (−1)ⁿ

√n −1 ; f)u_n = (−1)ⁿe⁻(¹⁺¹2+···+¹_n) ; g)u_n = (−1)ⁿ

pn+ (−1)ⁿ, n >1 ; h) u_n= 1 n+ (−1)ⁿ√

n, n >1 ; i) u_n= (−1)ⁿ n²³ + (−1)ⁿn¹³ ; j)u_n = (−1)ⁿ

n−lnn ; k)u_n = cosn

n² ; l)u_n =e^−ancosn.

a) Convergence. b) Convergence. c) Convergence. d) Convergence. e) Divergence. f) Conver- gence. g) Convergence. h) Divergence. i) Divergence. j) Convergence. k) Convergence. l) Diver- gence

2

Exercice 8

1. En utilisant la r`egle de Cauchy, ´etudier la nature de la s´erie P

u_n d´efinie par : u_2n = 1

2ⁿ, u_2n+1 = 1 2ⁿ⁺² . La r`egle de D’Alembert permet-elle de conclure ?

2. Mˆeme question pour la s´erie P

u_n d´efinie par u_n= 1 2^n+(−1)n. 1) Convergence. 2) Convergence.

Exercice 9

1. Montrer que la suite de terme g´en´eralx_n et la s´erie de terme g´en´eral u_n=x_n−x_n−1 sont de mˆeme nature.

2. Application : Etudier la suite (x_n) d´efinie pour n > 0 par : x_n= 1 + 1

2 +· · ·+ 1

n −lnn et en d´eduire que 1 + 1

2 +· · ·+ 1

n est ´equivalent au voisinage de l’infini `a lnn.

Exercice 10

1. Soit β un nombre r´eel non nul, on consid`ere le produit : x_n =

Yn

p=1

µ 1− β

p

¶ .

D´eterminer, suivant le signe deβ, les limites des suites (lnxn) et (xn) lorsquen tend vers l’infini.

2. En d´eduire, selon la valeur de α, α /∈N, la nature de la s´erie de terme g´en´eral yn = α(α−1). . .(α−n+ 1)

n! ,

Exercices donn´ es en examen

Exercice 11 extrait du partiel du 26 mars 2005 1. D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral :

u_n = sin

³ nπ

3

´

; u_n=

µ2 +i 3

¶_n

; u_n = (−1)ⁿln(lnn).

2. Soit la s´erie de terme g´en´eral

u_n= ln

µ2n+ 1 2n−1

¶

, n>1.

(a) D´eterminer la nature de la s´erie en cherchant un ´equivalent de u_n. (b) SoitN un entier naturel quelconque. Calculer la somme partielleP_N

n=1u_n. Retrouver ainsi la nature de la s´erie.

3

Exercice 12 extrait de l’examen du 17 mai 2005 Etudier la nature des s´eries de terme g´en´eral :

u_n= (−1)ⁿ n + 1

n² ; u_n=√

n+ 1−√

n ; u_n= 2ⁿ+ 1000

3ⁿ+ 1 ; u_n=e^−√n. Exercice 13 extrait de l’examen du 20 juin 2005

Quelle est la nature de la s´erie de terme g´en´eral : u_n = 1

n −ln µ

1 + 1 n

¶

, n>1 ? Exercice 14 extrait du partiel du 1er avril 2006

1. Les implications suivantes pour une s´erie de terme g´en´eralu_n sont-elles vraies ou fausses ? – lim_n→∞u_n= 0 ⇒la s´erie converge.

– la s´erie de terme g´en´eralunconverge⇒la s´erie de terme g´en´eral|un|converge ´egalement.

– la s´erie de terme g´en´eral u_n > 0 converge ⇒ la s´erie de terme g´en´eral u²_n converge

´egalement.

On demande une preuve lorsque l’implication est vraie, un contre-exemple dans le cas contraire.

2. D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral : u_n= sin

µ n n²+ 1

¶

; u_n= µi

2

¶_n

; u_n= (−1)ⁿ

√n+ lnn ; u_n=e^−√n. Exercice 15 extrait du partiel du 31 mars 2007

D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral u_n = tan

µ n² n³+ 1

¶

; u_n =

µ1 + 3i 4

¶_n

; u_n = (−1)ⁿ ln (n²)

√n+ 1.

4