Exercice trait´e: ´etude de la s´erie P 2−√n

MT241. Cours n^o 4, vendredi 4 octobre 2002.

Rappel. S´eries de Riemann: la s´erie P

n^−α converge si et seulement si α >1.

Riemann s’est int´eress´e `a une fonction tr`es importante en math´ematique, ζ(s) =

X+∞

n=1

1 n^s.

Par la formule ci-dessus, la fonction est d´efinie pour s r´eel > 1, mais on verra un peu mieux plus loin. Cette fonction pose des probl`emes non r´esolus `a ce jour.

Exercice trait´e: ´etude de la s´erie P

2^−√n; on a v´erifi´e que les crit`eres de Cauchy et de d’Alembert ne donnent rien. En revanche, on voit que limn⁻²un = 0, donc la s´erie converge.

Changement de l’ordre des termes

Proposition. Soit π une bijection de N sur N et soit P

u_n une s´erie convergente `a termes positifs; la s´erie permut´ee P

u_π(n) est convergente et X+∞

n=0

u_π(n) = X+∞

n=0

un.

D´emonstration. On va montrer que P

u_π(n) converge et P_+∞

n=0 u_π(n) ≤ P_+∞

n=0 un; en appliquant ensuite `a la bijection r´eciproque, on obtiendra le r´esultat.

On v´erifie que pour tout n, si on pose N = max(π(0), . . . , π(n)), on a uπ(0)+uπ(1)+· · ·+uπ(n)≤u0+· · ·+uN ≤

+∞X

k=0

uk

d’o`u l’in´egalit´e voulue en passant `a la limite dans l’in´egalit´e large pr´ec´edente.

ATTENTION. Ce r´esultat est FAUX pour les s´eries qui ne sont pas absolument conver- gentes comme on va le voir dans l’exemple qui suit.

Un exemple

Consid´erons la permutation suivante de la s´erie harmonique altern´ee 1 + 1

3 − 1 2 + 1

5 + 1 7 − 1

4 +· · · Si on pose

xn = 1 + 1 3 − 1

2 + 1 5 + 1

7 − 1

4 +· · ·+ 1

4n−3 + 1

4n−1 − 1 2n et

yn = 1− 1 2 + 1

3 +· · ·+ 1

4n−1 − 1 4n on voit que

xn−yn = 1

2n+ 2 +· · ·+ 1 4n

quantit´e qui tend vers ¹₂ln(2) (encadrement avec l’int´egrale de dt/t entre n et 2n).

Finalement,

1 + 1 3 − 1

2 + 1 5 + 1

7 − 1

4 +· · ·= 3

2 ln(2).

On a donc une permutation de la s´erie harmonique altern´ee avec unesomme diff´erente de la somme de la s´erie originale (qui est ´egale `a ln 2 comme on l’a vu).

Remarque. Soit P

un une s´erie convergente telle que P

|un| = +∞; pour tout nombre r´eel x, il existe une permutation π des entiers telle que P_+∞

n=0u_π(n)=x.

1.5. S´eries absolument convergentes

D´efinition 1.5.1. On dit que la s´erie `a termes r´eels ou complexesP

u_n estabsolument convergente si la s´erie des modules P

|un| est convergente.

Th´eor`eme 1.5.1. Toute s´erie absolument convergente P

u_n est convergente, et

¯¯X^+∞

n=0

un

¯¯≤ X+∞

n=0

|un|.

Cette derni`ere in´egalit´e peut ˆetre vue comme une forme d’“in´egalit´e triangulaire infinie”.

D´emonstration. Commen¸cons par le cas r´eel. Pour tout r´eel u on pose

u⁺=u si u≥0, u⁺ = 0 sinon ; u⁻ = 0 si u≥0, u⁻ =−u sinon.

On a 0 ≤ u⁺, u⁻ ≤ |u| et u = u⁺ − u⁻. Pour chaque entier n ≥ 0, posons u_n = (un)⁺−(un)⁻. La convergence de la s´erieP

|un|implique par le th´eor`eme de comparaison 1.3.2 la convergence des deux s´eries `a termes positifsP

(u_n)⁺ et P

(u_n)⁻, qui donne par diff´erence la convergence de P

un.

Dans le cas complexe on ´ecritun=an+ibn; on a|an|,|bn| ≤ |un|, et les deux s´eries r´eelles P

an et P

bn sont absolument convergentes, donc convergentes.

Exemples. La s´erie exponentielle complexe P

zⁿ/n! est absolument convergente pour tout z ∈C. On posera pour toutz ∈C

e^z = X+∞

n=0

zⁿ n!.

Cette d´efinition est coh´erente, puisque pour x r´eel la valeur de la somme de cette s´erie est bien e^x. Calculons

e^ix =

³ 1− x²

2! +· · ·

´ +i

³

x− x³ 3! +· · ·

´ .

En utilisant la formule de Taylor-Lagrange on montre que les parties r´eelles et imaginaires du nombre e^ix sont cosx et sinx,

e^ix = cos(x) +isin(x).

Changement de l’ordre des termes

Proposition 1.5.1. Soit π une bijection de N sur N et soit P

un une s´erie absolument convergente ; la s´erie permut´ee P

uπ(n) est absolument convergente et X+∞

n=0

u_π(n) = X+∞

n=0

un.

D´emonstration. Ecrire un =un+−un− et appliquer le cas positif, vu pr´ec´edemment.

Produit de s´eries num´eriques absolument convergentes Etant donn´ees deux s´eries P

u_n et P

v_n, on introduit une nouvelle s´erie P w_n appel´ee s´erie produit et dont le terme g´en´eralwn est d´efini par

w_n= Xn

k=0

u_kv_n−k.

L’id´ee derri`ere la d´efinition: si les s´eries sont des sommes finies, si on a u_n = a_nxⁿ et vn=bnxⁿ, on a regroup´e dans wn les termes du produit (P

uk)(P

v`) qui ont la mˆeme puissance de x.

Th´eor`eme 1.5.4.Si les deux s´eriesP

un etP

vnsont absolument convergentes, la s´erie produit est absolument convergente, et

+∞X

n=0

wn =

³X^+∞

n=0

un

´³^+∞X

n=0

vn

´ .

D´emonstration. J’ai agit´e les mains pour tenter (sans succ`es) d’expliquer que l’on somme de deux fa¸cons les termes de la famille double ukv`. Sous les hypoth`eses, cette famille, rang´ee dans un certain ordre, donne une s´erie absolument convergente, ce qui permet de changer l’ordre de sommation sans changer la somme.

La fonction exponentielle complexe Posons pour a, b∈C

u_n = aⁿ

n!, v_n= bⁿ n!. On v´erifie avec la formule du binˆome que

wn = Xn

k=0

ukvn−k= (a+b)ⁿ n!

ce qui montre par le th´eor`eme des produits de s´eries que e^a+b = e^ae^b pour tous nombres complexes a, b. On remarque que e^ze^−z = e⁰ = 1, en particulier e^z n’est jamais nul. Si z =x+iy, on a

e^z = e^xe^iy = e^x(cosy+isiny).

On voit que |e^z|= e^x.

Pour a >0 on posera a^z = e^zln(a). On montre ainsi que

+∞X

n=1

1 n^z

converge absolument quand Rez > 1, et cette formule d´efinit la fonction ζ dans ce domaine.

Cours n^o 5, lundi 6 octobre 2002.

Exemple. La s´erieP

sin(nx)/n²est convergente: en effet, elle est absolument convergente puisque |un| ≤n⁻².

Exemple de produit de s´eries. Quand |z|<1, on a 1

(1−z)² =

+∞X

n=0

(n+ 1)zⁿ.

Exemple de passage `a la limite. On a pour tout z complexe e^z = e^z.

On retrouve ainsi |e^z|= e^Rez.

Reprise. Convergence de la s´erie produit On a P

|u_n|<+∞, P

|v_n|<+∞, on note U_n, V_n et W_n les sommes partielles des trois s´eries en pr´esence, o`u P

wn est la s´erie produit. On pose V = limnVn. On choisit A >P_+∞

n=0 |un|, et B tel que |Vn| ≤ B pour tout n. Etant donn´e ε >0, on trouve n0 tel que P

n>n0|un| < ε/(4B) et on trouve n1 tel que |Vn −V| < ε/(2A) lorsque n≥n1.

On montre alors que|Wn−UnV|< ε pour n > n0+n1, en ´ecrivant Wn =u0Vn+· · ·+unV0,

|Wn−UnV| ≤ |u0| |Vn−V|+· · ·+|un| |V0−V|.

Dans la somme pr´ec´edente on majore les termes |uk| |Vn−k−V| avec un indice k ≤ n0

par |uk|ε/(2A) (car n−k ≥n−n0 ≥n1), et les suivants par |uk|(2B). Au total,

|Wn−UnV| ≤ε¡X

k≥0

|uk|¢

/(2A) + 2B¡ X

n>n0

|un|¢

< ε.

1.6. S´eries semi-convergentes. S´eries altern´ees

On se donne une suiten0 < n1 < . . . et on consid`ere les ensembles A0 ={0,1, . . . , n0}, A1 ={n0+ 1, . . . , n1} et plus g´en´eralement pour tout k ≥1 on pose

A_k ={n∈N:n_k−1 < n≤n_k}.

On pose aussi pour tout k≥0 σk = X

n∈Ak

un =unk−1+1+· · ·+unk. On v´erifie que

Σk =σ0+· · ·+σk =u0+· · ·+unk = Unk. Si la s´erie P

un converge, la s´erie P

σk converge aussi puisque la suite (Σk) de ses sommes partielles est une sous-suite de la suite (U ) des sommes partielles de P

u .

L’inverse n’est pas toujours vrai, mais c’est l’inverse qui serait int´eressant. On va ajouter des hypoth`eses pour pouvoir l’obtenir.

Th´eor`eme 1.6.1. Groupements de longueurs born´ees. On suppose donn´ees une suite n0 < n1 < . . .d’entiers et une s´erie P

un telles que

— les longueurs des intervalles (A_k) sont born´ees, c’est `a dire qu’il existe M tel que pour tout k, on ait nk−nk−1 ≤M.

— le terme g´en´eralun tend vers 0; alors la s´erie P

u_n converge si et seulement si la s´erie P

σ_k converge.

D´emonstration. Il reste seulement `a montrer que si P

σk est convergente, la s´erie P un

est convergente aussi. Posons Σ =P_+∞

k=0σ_k et montrons que la suite (U_n) converge vers Σ. Soit ε > 0 donn´e ; on peut trouver un entier k0 tel que |Σ−Σk| < ε/2 pour tout k ≥ k₀. Puisque u_n → 0, on peut ensuite trouver un entier k₁ tel que k₁ ≥ k₀, et tel que |un|< ε/(2M) pour tout n > nk1. Pour tout entier n≥N =nk1 + 1, on v´erifie que

|U_n−Σ|< ε. En effet, il existe un entier k ≥k₁ tel que n_k< n≤n_k+1, et alors

|U_n−Σ_k|=|U_n−U_nk|=|u_nk+1+· · ·+u_n| ≤M ε 2M = ε

2. Exemple.

On pose u0 = 0 et pour n ≥ 1, on pose u3n−2 = 1/(4n−3), u3n−1 = 1/(4n−1), etu3n =−1/(2n). On est naturellement tent´e de regrouper les termes trois par trois; on obtient ainsi

σn =u3n−2+u3n−1+u3n ' c n² donc la s´erie propos´ee est convergente. En fait cette s´erie est

1 + 1 3 − 1

2 + 1 3 + 1

7 − 1 4 +· · ·

dont on a d´ej`a calcul´e la somme, ³₂ln 2; c’est une permutation de la s´erie harmonique altern´ee, qui n’a pas la mˆeme somme que la s´erie originale.

Th´eor`eme 1.6.2 (des s´eries altern´ees). Soit P

un une s´erie `a termes r´eels telle que u_n+1u_n < 0 pour tout n ≥ 0, et telle que |u_n| soit d´ecroissant vers 0. La s´erie P

u_n converge.

D´emonstration. Supposons par exemple u₀ > 0 ; on constate que U_2n−1 ≤ U_2n+1 ≤ U2n+2 ≤U2n pour tout entiern≥1 ; la sous-suite impaire de la suite (Un) est croissante et major´ee, et la sous-suite paire est d´ecroissante et minor´ee, donc ces deux suites sont convergentes. Puisque U2n −U2n+1 = −u2n+1 tend vers 0, les deux sous-suites ont la mˆeme limite et la suite (U_n) converge.

On peut aussi utiliser un groupement par paquets de longueur deux. On se ram`ene donc `a une s´erie P

σ_k de terme g´en´eral σ_k = u_2k+u_2k+1 ≥ 0. Il suffit de montrer que ses sommes partielles sont born´ees. Or on a, en posant vn =|un|

Σk= (v0−v1) + (v2−v3) +· · ·+ (v2k−v2k+1) =

=v0−(v1−v2)−(v3−v4)− · · · −(v2k−1−v2k)−v2k+1 ≤v0 =u0.

Exemples. La s´erie

X(−1)ⁿ n^β converge pour tout β >0.

Exemple de s´eries `a terme g´en´eral ´equivalent non positif de nature diff´erente. Etudier les

s´eries X(−1)ⁿ

√n , X

ln

³

1 + (−1)ⁿ

√n

´ .

On a vu que la premi`ere s´erie est convergente. Pour la seconde : avec un DL de ln(1 +u)

`a l’ordre 3, on fait apparaˆıtre la s´erie convergente P

(−1)ⁿ/√

n, une s´erie absolument convergente de terme g´en´eral ´equivalent `a cn^−3/2 et la s´erie divergente P

1/n. Ceci montre que la deuxi`eme s´erie diverge.

ATTENTION. On voit donc que deux s´eries de termes g´en´eraux ´equivalents peuvent ˆetre de nature diff´erente.