Chapitre 11 : Longueur et courbure d un arc paramétré

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Chapitre 11 : Longueur et courbure d’un arc paramétré

Ici, P désigne un plan affine euclidien, muni d’un repèreR = (O,⃗i,⃗j) orthonormé (voire direct si besoin)

Idésigne un intervalle infini deR. γ: I ÝÑ P

t ÞÝÑ M(t)

est un arc paramétré de classeC^k oùkě2, et on note F⃗:I ÝÑ dir(P) t ÞÝÑ ÝÝÑ

OM(t) .

I Changement admissible de paramètre

Proposition, définition :

Soitφune bijection de classeC^k, et de réciproqueC^k d’un intervalleJ deRversI (on dit queφest un difféomorphismeC^k deJ versI). Ce qui revient à dire queφ:J ÑI,φestC^k,φ¹ ne s’annule pas et que φ(J) =I.

Soitγˆ l’arc paramétré γˆ: J ÝÑ P

θ ÞÝÑ M(φ(θ))notéMˆ(θ) . Alorsγˆ a essentiellement les mêmes propriétés queγ.

On dit alors queφdéfinit un changement admissible de paramètre sur l’arc γ.

Plus précisément :

‚ γˆ a la même classe et le même support queγ.

‚ Soitθ₁PJ, et notonst₁=φ(θ₁).

Mˆ(θ1) =M(t1)est un point multiple deγ si et seulement si c’est un point multiple deˆγ Le pointM(t₁)est stationnaire surγsi et seulement siMˆ(θ₁)est stationnaire surγ.ˆ

Il y a une tangente en M(t1)surγ si et seulement si il y a une tangente enMˆ(θ1)surγ, et dansˆ ce cas c’est la même.

M(t1)est birégulier surγ si et seulement siMˆ(θ1)est birégulier surˆγ. Etc.

Explications

M(t1) Mˆ(θ1) =M(φ(θ1))

M(t2) M(φ(θ2))

M(t₃) M(φ(θ3))

‚ La classe deˆγ, c’est la classe deF⃗ˆ:θÞÑÝÝÝÝÑ

OMˆ(θ), c’est-à-dire deF⃗ˆ=F⃗ ˝φ. Commeφest de classe C^k et F⃗ est de classeC^k aussi,F⃗ˆ est bien de même classe queF⃗.

‚ Le support de ˆγ, c’est!

Mˆ(θ), θPJ )

=tM(φ(θ)), θPJu =

carφest surjectivetM(t), tPJu

‚ Si M(t1) =M(t2)avect1‰t2:

I. CHANGEMENT ADMISSIBLE DE PARAMÈTRECHAPITRE 11. LONGUEUR ET COURBURE D’UN ARC PARAMÉTRÉ

M(t1) M(φ(θ1))

M(t₂) M(φ(θ₂))

Soient θ1, θ2PJ tels quet1=φ(θ1)ett2=φ(θ2).

AlorsM(φ(θ1)) =M(φ(θ2)), etθ1‰θ2. Inversement, siMˆ(θ1) = ˆM(θ2)avecθ1‰θ2,

AlorsM(φ(θ1)) =M(φ(θ2))etφ(θ1)‰φ(θ2)(carφest injective)

‚ @θPJ,⃗v(θ) =ˆ ÝÝÑdMˆ

dθ (θ) =F⃗ˆ¹(θ) = (F⃗ ˝φ)¹(θ) =φ¹(θ)F⃗¹(φ(θ)) Soit

@θPJ,⃗v(θ) =ˆ φ¹(θ) loomoon

‰0

⃗

v(t) (avect=φ(θ)) (11.1)

i

⃗v(t)

⃗v(θ) M(t)

Mˆ(θ)

‚ @θPJ,⃗a(θ) =ˆ ÝÝÝÑd²Mˆ

dθ² (θ) =F⃗ˆ²(θ) =φ²(θ)F⃗¹(φ(θ)) + (φ¹(θ))²F⃗²(φ(θ)) Soit

@θPJ,⃗a(θ) =ˆ φ²(θ)⃗v(t) + (φ¹(θ))² looomooon

‰0

⃗a(t) (avect=φ(θ)) (11.2)

(11.1) et (11.2) montrent que(⃗v(t), ⃗a(t))est libre si et seulement si(ˆ⃗v(θ),⃗a(θ))ˆ l’est : Démonstration :

(En notant toujourst=φ(θ))

Supposons que(⃗v(t), ⃗a(t))est libre.

Soient maintenantα, βPR, supposons que α⃗v(θ) +ˆ β⃗a(θ) =ˆ ⃗0.

Alorsαφ¹(θ)⃗v(t) +β(φ²(θ)⃗v(t) + (φ¹(θ))²⃗a(t)) =⃗0.

Donc, comme(⃗v(t), ⃗a(t))est libre,αφ¹(θ) +βφ²(θ) = 0etβ(φ¹(θ))²= 0 Donc, commeφ¹(θ)‰0,β= 0, puisα= 0.

Supposons maintenant que(⃗v(t), ⃗a(t))est liée.

Soit alors(α, β)PR²z t(0,0)utel que α⃗v(t) +β⃗a(t) =⃗0.

Siβ = 0, alors⃗v(t) =⃗0(car alorsα‰0), et donc⃗ˆv(θ) =⃗0, donc(ˆ⃗v(θ),⃗a(θ))ˆ est liée.

Siβ ‰0, alors⃗a(t) =^α_β⃗v(t), et donc : φ¹(θ)ˆ⃗a(θ) =φ¹(θ)

φ²(θ) + (φ¹(θ))²α β

⃗ v(t) =

φ²(θ) + (φ¹(θ))²α β

⃗ˆv(θ) (11.3) C’est-à-direφ¹(θ)ˆ⃗a(θ)´

φ²(θ) + (φ¹(θ))^2α_β

⃗ˆv(θ) =⃗0, etφ¹(θ)‰0, donc(ˆ⃗v(θ),⃗a(θ))ˆ est liée.

D’où l’équivalence pour la birégularité.

Cela montre aussi que siM(t)est stationnaire mais⃗a(t)‰⃗0, alorsMˆ(θ)est stationnaire, mais avec

⃗a(θ)ˆ ‰⃗0et colinéaire à⃗a(t).

On admet que c’est vrai dans tous les autres cas…

CHAPITRE 11. LONGUEUR ET COURBURE D’UN ARC PARAMÉTRÉII. LONGUEUR D’UN ARC COMPACTC² AU MOINS

Simplification des notations

‚ On enlève les chapeaux, ce qui revient à ne plus distinguer dans les notations F⃗ et F⃗ ˝φ.

‚ On se repère alors avec les noms de variables.

‚ φ¹ est notée _dθ^dt.

Les formules (11.1) et (11.2) deviennent alors : (11.1) @θPJ,

ÝÝÑdM

dθ (θ) = dt dθ(θ)

ÝÝÑdM

dt (t) oùt=φ(θ) (11.4)

Ou encore ÝÝÑdM

dθ = _dθ^dt ÝÝÑdM

dt .

(11.2) @θPJ, ÝÝÝÑd²M

dθ² = d²t dθ²

ÝÝÑdM dt +

dt

dθ

2ÝÝÝÑ

d²M

dt² (11.5)

Exemple :

γ:

$

&

% x=t y= 0

, tPR+, γˆ:

$

&

%

x=θ+θ³ y= 0

, θPR+ (11.6)

O M(0) Mˆ(0)

M(1) Mˆ(1) M(2)

II Longueur d’un arc compact C

au moins

Soit γ: [a, b] ÝÑ P t ÞÝÑ M(t)

un arc de classeC^k, oùkě2.

Par définition, longueur deγ= żb

a

}⃗v(t)}dt looomooon

” dl”

=l(γ).

Explication

Version physique…

Version mathématique PournPN^˚, on introduitt0, t1, . . . tn, subdivision régulière de[a, b](soit ti =a+i^b´_n^a)

On introduit lesM_i=M(t_i).

SoitiPJ1, nK

L’inégalité de Taylor–Lagrange à l’ordre1 pourF⃗: tÞÑÝÝÑOM(t)(de classe C^k) donne : F⃗(ti)

loomoon ÝÝÑOMi

=F(t⃗ _i´1) lo omo on ÝÝÑOMi´1

+ (ti´t_i´1) loooomoooon

b´a n

ÝÝÝÝÝÑ F¹(t_i´1) looomooon

⃗v(ti´1)

+R⃗i, où}R⃗i} ď (t_i´t_i´1)²

2 sup

[a,b]

}F⃗²(t)}

looooomooooon

M

(11.7)

Ainsi,ÝÝÝÝÝÑ

MiMi´1´^b´a_n ⃗v(ti´1) =R⃗i

Doncˇ ˇ ˇ

›

›

›

ÝÝÝÝÝÑ MiMi´1

›

›

›´›

›^b´_n^a⃗v(ti´1)›

› ˇ ˇ ˇď

›

›

›

ÝÝÝÝÝÑ

MiMi´1´^b´_n^a⃗v(ti´1)

›

›

›ď^(b´a)

2

2n² M Donc ^b´a_n }⃗v(t_i´1)} ´^(b_2n^´a)₂²M ď

›

›

›

ÝÝÝÝÝÑ M_iM_i´1

›

›

›ď^b´a_n }⃗v(t_i´1)}+^(b_2n^´a)₂²M

II. LONGUEUR D’UN ARC COMPACTCHAPITRE 11. LONGUEUR ET COURBURE D’UN ARC PARAMÉTRÉC² AU MOINS

Donc, en sommant pouri de1 àn: b´a

n

n

ÿ

i=1

}⃗v(ti´1)}

loooooooooomoooooooooon

Ñşb a}⃗v(t)}dt

´(b´a)² 2n M looooomooooon

Ñ0

ď

n

ÿ

i=1

›

›

›

ÝÝÝÝÝÑ MiMi´1

›

›

›ďb´a n

n

ÿ

i=1

}⃗v(ti´1)}

loooooooooomoooooooooon

Ñşb a}⃗v(t)}dt

+(b´a)² 2n M looooomooooon

Ñ0

(11.8)

Remarque :

l(γ)dépend à priori deγ (c’est-à-dire du paramétrage) et pas seulement du support.

Pour calculer une longueur d’une courbe géométrique simple : être raisonnable (en particulier, ne pas avoir de points doubles autres qu’en des points isolés)

Exemples Cercle

r O

C:

$

&

%

x=rcosθ y=rsinθ

, θP[0,2π], ⃗v:

$

&

%

x¹=´rsinθ y¹ =rcosθ

, θP[0,2π] (11.9)

}⃗v}=a

r²sin²θ+r²cos²θ=r (11.10)

Doncl=ş2π

0 rdθ= 2πr(si on avait prisθP[0,4π], on aurait eu le même support, maisş4π

0 rdθ= 4πr: d’où l’utilité de ne pas avoir « trop » de points doubles)

Ellipse

C:

$

&

%

x=acosθ y=bsinθ

, θP[0,2π], ⃗v:

$

&

%

x¹=´asinθ y¹=bcosθ

, θP[0,2π] (11.11) }⃗v}=a

a²sin²θ+b²cos²θ (11.12)

l=ş2π 0

aa²sin²θ+b²cos²θdθ(Pas de formule simple)

Formules Si⃗v:

$

&

% x¹(t)

y¹(t), alorsl(γ) =şb a

ax¹(t)²+y¹(t)²dt Cas particulier :

Pour une courbe d’équation y =f(x), x P [a, b], dont un paramétrage est :

$

&

% x=t

y=f(t), t P[a, b], on a l=şb

a

a1 +f¹(t)²dt

Par exemple, avecf:xÞÑx².

Longueur de l’arc de parabole entre les points d’abscisse0 etaą0: l=

ża 0

a1 + 4t²dt =

du=2u=2tdt

1 2

ż2a 0

a1 +u²du =

u=sht, tě0 du=chtdt

1 2

żArgsh2a 0

ch²tdt

=1 2

żArgsh2a 0

1 +ch2t 2 dt=1

4Argsh(2a) +1

8sh(2Argsh(2a))

=1 4ln

2a+a 1 + 4a²

+1

2aa 1 + 4a²

(11.13)

CHAPITRE 11. LONGUEUR ET COURBURE D’UN ARC PARAMÉTRÉIII. ABSCISSE CURVILIGNE

III Abscisse curviligne

On suppose toujoursγde classeC² au moins.

A) Définition

On appelle abscisse curviligne surγ toute primitive detÞÑ }⃗v(t)}.

Ainsi, une abscisse curviligne surγ, c’est une fonction S:IÑR, dérivable, telle que@tPI, S¹(t) = }⃗v(t)}. SiS en est une, on a donc, pour tousa, bPI :

S(b)´S(a) = şb

a}⃗v(t)}dt : longueur (algébrique par rapport au sens des t croissants) de l’arc de courbe situé entre les points de paramètret=aet t=b.

SiS est la primitive detÞÑ }⃗v(t)}nulle en un certainaPI,S(t)est alors la longueur algébrique de l’arc situé entreM(a)et M(t).

Ainsi, siaPI, tÞÑ żt

a

}⃗v(u)}duest l’abscisse curviligne nulle ena.

B) Paramétrisation admissible avec l’abscisse curviligne

Ici, et jusqu’à la fin du chapitre,γest un arc régulier de classe C^k, kě2.

Dans ce cas,tÞÑ }⃗v(t)}est de classeC^k´1 :

tÞÑ⃗v(t)est de classeC^k´1, et commetÞÑ⃗v(t)ne s’annule pas,tÞÑ }⃗v(t)}a la même classe.

Ainsi, siS est une fonction abscisse curviligne,S est alors de classeC^k surI. Sa dérivée,tÞÑ }⃗v(t)}

ne s’annule pas et garde donc un signe constant. Donc S réalise une bijection deI vers un intervalle J. Comme sa dérivée ne s’annule pas, c’est donc un difféomorphisme de classe C^k de I vers J. Cela correspond donc à un changement admissible de paramétrage surγ(pour S^´1)

On note γˆ:J ÝÑ P

s ÞÝÑ M(S^´1(s))

c’est à direM(t)oùS(t) =s.

Exemple :

O ⃗i

⃗j M(t0) M(t₁)M(t2)M(t3) Mˆ(1) Mˆ(2) Mˆ(3)

On prend comme origine le point d’abscisse curviligneM(t0).

Le pointMˆ(s)correspond dons au point d’abscisse curvilignes. On a alors un mouvement uniforme (}⃗v}ˆ =cte), et même}⃗ˆv}= 1.

Proposition :

@s PJ, ÝÝÑdMˆ

ds (s) = T⃗(t), où S(t) = s (rappel : T(t)⃗ est la tangente à la courbe, orientée, enM(t)et }T⃗}= 1)

IV. REPÈRE DE FRENET, COURBURECHAPITRE 11. LONGUEUR ET COURBURE D’UN ARC PARAMÉTRÉ

En effet :

@sPJ, ÝÝÑdMˆ

ds (s) = (F⃗ ˝S^´1)¹(s) = (S^´1)¹(s) loooomoooon

= ¹

S1(S´1 (s))=_}⃗v(t)}¹

ˆF⃗¹(S^´1(s)) looooomooooon

=⃗v(t)

= ⃗v(t)

}⃗v(t)} =T⃗(t) (11.14)

OùS(t) =s.

On retiendra dS

dt(t) =}⃗v(t)} dS^´1

ds (s) = 1

}⃗v(t)} oùt=S^´1(s)

ÝÝÑdMˆ

ds (s) =T⃗(t) (11.15) Ou encore, avec les notations simplifiées :

ds

dt =}⃗v} dt

ds = 1 }⃗v}

ÝÝÑdM ds = dt

ds ÝÝÑdM

dt = 1

}⃗v}⃗v=T⃗ (11.16)

IV Repère de Frenet, courbure

A) Repère de Frenet

i

T⃗ M

Le repère de Frenet en un point M de la courbe est, par définition :(M, ⃗T , ⃗N)oùN⃗ est tel que ce repère soit orthonormé direct.

Attention : M,N⃗ et T⃗ « bougent » et sont fonctions, au choix, detous.

Remarque :

T⃗ est fonction de classe C^k´1 de t(ou de s). On introduit les fonctionsa etb de classe C^k´1 telles que T⃗ =a⃗i+b⃗j.

AlorsN⃗ =´b⃗i+a⃗j, doncN⃗ est aussi de classeC^k´1.

B) Dérivées des vecteurs T ⃗ et N ⃗ (en tant que fonctions de s)

‚ ^d_ds^T⃗ ¨T⃗ = 0

En effet, }T⃗}²=T⃗ ¨T⃗ =cte= 1.

Donc2T⃗ ¨ ^d_ds^T⃗ = 0

Il existe donc γPRtel que ^d_ds^T⃗ =γ ⃗N (dépendant des).

γ s’appelle la courbure algébrique au pointM considéré.

‚ ^d_ds^N⃗ ¨N⃗ = 0(même raisonnement) Il existe alors xPRtel que ^d_ds^N⃗ =x ⃗T Mais T⃗ ¨N⃗ =cte= 0.

La dérivation donne alors ^d_ds^T⃗ ¨N⃗ +T⃗¨ ^d_ds^N⃗ = 0, c’est-à-direγ+x= 0.

Donc ^d_ds^N⃗ =´γ ⃗T.

CHAPITRE 11. LONGUEUR ET COURBURE D’UN ARC PARAMÉTRÉIV. REPÈRE DE FRENET, COURBURE

C) Composantes de ⃗ v et ⃗a dans le repère de Frenet

⃗v= dM⃗ dt = ds

dt dM⃗

ds = ds

dtT⃗ et ds

dt =}⃗v} (11.17)

⃗a= d²s

dt²T⃗+ ds dt

dT⃗ dt = d²s

dt²T⃗ + ds dt

ds dt

dT⃗ ds = d²s

dt²T⃗ +γ

ds

dt 2

N⃗ (11.18)

Ainsi :

⃗v= ds loomodton

vitesse numérique

T ,⃗ ⃗a= d²s dt² loomoon

accélération tangentielle

T⃗+γ

ds

dt 2

loooomoooon

accélération normale

N⃗ (11.19)

Il en résulte queM est birégulier si et seulement siγ‰0(puisque déjàM est régulier, donc ^ds_dt ‰0) Commentaire (en supposant γ ‰0) :

M T⃗ N⃗

M¹

dT⃗

ds = γ ⃗N. Or, ^d_ds^T⃗ est l’accélération pour le paramétrage avec s. Il doit donc être dirigé dans la concavité de la courbe.

De plus, en considérant toujours le mouvement uniforme correspondant au parcours avec s, « on sait » (intuitivement) que|γ|est d’autant plus grand que c’est « courbe », puisque plus c’est courbe, plus l’accélération normale est importante.

Explication plus précise du mot courbure (toujours avecγ‰0)

T⃗ N⃗

a

Ω M

On noteR= _γ¹ : rayon (algébrique) de courbure enM.

L’accélération normale est alorsγ ^ds_dt2N⃗ = ^v_R²N, c’est-à-dire celle qu’on obtient pour un mouve-⃗ ment sur un cercle de rayonR.

SoitΩtel que ÝÝÑMΩ =R ⃗N.Ωs’appelle le centre de courbure au point M.

Le cercle de centre Ωet de rayon|R|(passant parM) s’appelle le cercle osculateur à la courbe en M. C’est celui qui est « le mieux » tangent à la courbe (voir fin du cours)

D) Autre formule

Théorème (« de relèvement » – admis) :

SoitG⃗ une fonction vectorielle de classeC^p (pě0) sur un intervalle I, à valeur sur unR-ev euclidien orienté de dimension2, muni d’une base orthonormée(⃗i,⃗j).

IV. REPÈRE DE FRENET, COURBURECHAPITRE 11. LONGUEUR ET COURBURE D’UN ARC PARAMÉTRÉ

On suppose que}G}⃗ =cte= 1.

Alors il existe une fonctionθ:IÑRde classeC^p telle que :

@tPI, ⃗G(t) =cos(θ(t))⃗i+sin(θ(t))⃗j (11.20)

En d’autres termes, on peut trouver une mesureθ(t)de l’angle orienté(⃗iˆ, ⃗G(t))de sorte quetÞÑθ(t) soit de classeC^p.

Ici, la fonctionT⃗:sÞÑT⃗(s)est de classeC^k´1 et de norme1.

Il existe doncsÞÑα(s), de classeC^k´1de sorte que :

@sPJ, ⃗T(s) =cos(α(s))⃗i+sin(α(s))⃗j (11.21) Ainsi,@sPJ, ^d_ds^T⃗(s) =´^dα_ds(s)sin(α(s))⃗i+ ^dα_ds(s)cos(α(s))⃗j= ^dα_ds(s)N⃗(s)

D’où la formule :γ= ^dα_ds

En pratique :γ= _ds^{dt dα}_dt = _}v}^{1 dα}_dt

E) Récapitulation des méthodes

‚ 1^ère méthode M(t)

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

x(t) y(t)

,⃗v(t) ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

x¹(t) y¹(t)

, donc}⃗v(t)}²= (x¹(t))²+ (y¹(t))²

T⃗(t) = _}⃗v(t)}¹ ⃗v(t) ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

a(t)

b(t) (aveca=? ^x1(t)

(x¹(t))²+(y¹(t))²,b=? ^y1(t)

(x¹(t))²+(y¹(t))²) EtN⃗(t)

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

´b(t) a(t)

Or, ^d_ds^T⃗ =γ ⃗N d’une part,

Et d’autre part ^d_ds^T⃗ = ^dt_ds^d_dt^T⃗ = _}⃗v(t)}^{1 d}_dt^T⃗, soit ^d_ds^T⃗ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

a¹(t) }⃗v(t)} b¹(t) }⃗v(t)}

D’où on tireγaprès calculs…

‚ 2^ème méthode : M(t)

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

x(t) y(t),⃗v(t)

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

x¹(t) y¹(t),⃗a(t)

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

x²(t) y²(t)

⃗

v= ^ds_dtT⃗,⃗a= ^d_dt²2^sT⃗ +γ ^ds_dt2N⃗. Donc det(⃗v, ⃗a) = [⃗v, ⃗a] =γ ^ds_dt3

[T , ⃗⃗ N] =γ ^ds_dt3

D’où γ= ^[⃗v,⃗a]

}⃗v}³ = ^x1y2+y1x2

}⃗v}³ .

‚ 3^ème méthode : γ= ^dα_ds = ^dt_ds^dα_dt = ¹

}⃗v} dα

dt oùαest une mesure de l’angle orienté(⃗iˆ, ⃗T), ou aussi de(⃗iˆ,⃗v).

Exemple : Parabole

$

&

% x=x y=ax² M

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

x ax²

,⃗v ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

1 2ax

,⃗a ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 0 2a

.

CHAPITRE 11. LONGUEUR ET COURBURE D’UN ARC PARAMÉTRÉIV. REPÈRE DE FRENET, COURBURE

Donc[⃗v, ⃗a] =

1 0

2ax 2a

= 2a, et}⃗v}³= (1 + 4a²x²)^3/2. Doncγ= _(1+4a^2a_2x2)3/2.

Complément hors programme : à propos du cercle osculateur Soit un arc birégulier de classe C³. Soit M0 un point de l’arc, origine des abscisses curvilignes. Le repère de Frenet en M0 est noté (M₀, ⃗T₀, ⃗N₀).

Développement limité de G:⃗ sÞÑÝÝÝÝÝÑ

M₀M(s)à l’ordre 3 en 0 ÝÝÝÝÝÑ

M0M(s) =⃗0 +s ⃗T0+s²

2 γ0N⃗0+s³ 6

G⃗³(0) +s³⃗ε(0) (11.22) Où⃗ε(s)ÝÝÝÑ

sÑ0

⃗0, etG⃗³(0) = ^dγ_ds(0)N⃗₀+γ₀^d_ds^N⃗(0) = ^dγ_ds(0)N⃗₀´γ₀²T⃗₀.

Composantes deM(s) dans (M0, ⃗T0, ⃗N0) ÝÝÝÝÝÑ

M0M(s) = (s´γ₀²s³

6 +o(s³))T⃗0+ (γ0

s² 2 + dγ

ds(0)s³

6 +o(s³))N⃗0 (11.23) Un cercle de centreΩ(x0, y0)(dans(M0, ⃗T0, ⃗N0)) passant parM0(0,0)a pour équation

x²+y²´2xx0´2yy0

looooooooooooomooooooooooooon

=ΩM²´R²oùM(x,y)

= 0 (11.24)

Définition :

Puissance d’un pointM du plan par rapport à ce cercle φ(M) = ΩM²´R² Ici,φ(M(s)) = (´2x0)s+ (´2y0γ01

2+ 1)s²+ (2x0γ₀²¹₆´²₆y0dγ

ds(0))s³+o(s³)

Pour queφ(M(s))soit infiniment petit d’ordre le plus élevé possible, on prendx0= 0(ainsi,´2x0= 0), ce qui revient à prendreΩsur la normale à l’arc enM0; et on peut prendre aussiy0= _γ¹

0 =R0 (ainsi,

´y0γ0+ 1 = 0), ce qui revient alors à prendre le cercle osculateur. Ainsi, pour ce choix, φ(M(s)) =

1

3 1 γ0

dγ ds(0)

looooooomooooooon

‰0en général

s³+o(s³)

Ainsi, le cercle osculateur traverse en général la courbe (carφ change de signe), et c’est bien celui qui est « le mieux » tangent à la courbe.