ESSEC Ann´ee universitaire : 2006/2007
STATISTIQUE TD N0 5
Calcul des probabilit´es (2)
Exercice 1
Avec chacun des ensembles de lettres suivants combien de mots on peut construire : {E,S,S,E,C} ; {S,T,A,T,I,S,T,I,Q,U,E} ; {T,U,N,I,S,I,E} ; {P,A,L,A,S,T,I,N,N,E} ; Exercice 2
Un caract`ere de l’´ecriture de Braille destin´ee aux aveugles est form´e de points obtenus en piquant la feuille de papier `a travers au moins un des six trous de la grille ci-dessous :
O O
O O
O O
Exemple : le caract`ere Braille suivant repr´esente la lettre N
• •
O
•
• •
1) Combien de caract`eres Braille peut-on concevoir?
On note Ω l’ensemble de ces caract`eres.
2) Dans Ω, on tire au hasard un caract`ere, les tirages sont suppos´es ´equiprobables.
a) Quelle est la probabilit´e de tirer un caract`ere de l’alphabet?
b) Ayant tir´e un caract`ere compos´e de 4 points (repr´esentant une lettre ou non), quelle est la probabilit´e pour que ces points soient les sommets d’un carr´e ou d’un rect- angle.
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Exercice 3
Le mot “ananas” est compos´e de 6 lettres ´ecrites sur des carreaux de carton. Ines qui ne sait pas lire les a m´elang´es puis les a recompos´es dans un ordre quelconque. Trouver la probabilit´ep pour qu’elle obtienne de nouveau le mˆeme mot.
Exercice 4
On lance 3 pi`eces de monnaies parfaitement sym´etriques (non truqu´ees) et on consid`ere la variable al´eatoireX : nombre de faces obtenus.
1) D´eterminer la loi de probabilit´e de X, son esp´erance et sa variance.
2) Repr´esenter graphiquement la fonction de r´epartition deX.
3) D´eterminer la loi de probabilit´e de la variable al´eatoire Z = 2X2 + 3, calculer son esp´erance et sa variance.
Exercice 5
Soit la fonction f suivante : f(x) =
x si 0≤x≤1
2−x si 1< x≤2
1) Monter quef(x) est une densit´e de probabilit´e d’une variable al´eatoireX.
2) D´eterminer sa fonction de r´epartition.
3) Calculer la probabilit´e queX ≥1.5 et calculer la probabilit´e que 0.5≤X ≤1.5.
4) Calculer la probabilit´e queX ≥1.5 sachant queX >1.
Exercice 6
Soit X une variable al´eatoire qui suit une loi normale centr´ee et reduite. Utiliser la table de la loi normale pour calculer les probabilit´es suivantes :
a)P(X <0.5).
b)P(X >0).
c)P(X <0) sachant que X <0.5.
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