Méthodes de type Galerkin discontinu pour les équations de Maxwell en régime harmonique: flux numériques et algorithmes multigrille

HAL Id: inria-00354510

https://hal.inria.fr/inria-00354510

Submitted on 20 Jan 2009

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

équations de Maxwell en régime harmonique: flux

numériques et algorithmes multigrille

Victorita Dolean, Stephane Lanteri, Ronan Perrussel

To cite this version:

Victorita Dolean, Stephane Lanteri, Ronan Perrussel. Méthodes de type Galerkin discontinu pour les

équations de Maxwell en régime harmonique: flux numériques et algorithmes multigrille. [Rapport de

recherche] RR-6805, INRIA. 2009, pp.45. �inria-00354510�

a p p o r t

d e r e c h e r c h e

9

IS

R

N

IN

R

IA

/R

R

--6

8

0

5

--F

R

+

E

N

G

Thème NUM

Méthodes de type Galerkin discontinu

pour les équations de Maxwell en régime

harmonique: flux numériques et algorithmes

multigrille

Victorita Dolean — Stéphane Lanteri — Ronan Perrussel

N° 6805

ux numériques et algorithmes multigrille

Vi torita Dolean

∗

,Stéphane Lanteri

†

, Ronan Perrussel

‡

ThèmeNUMSystèmesnumériques ProjetsNa hos

Rapport dere her he n°680520janvier200944pages

Résumé : Ce rapporttraite dela résolutiondes équationsde Maxwellen régime harmo-niqueparuneméthodedetypeGalerkindis ontinu.Ilrappelletoutd'abordlaformulation du problème et propose quelqueséléments de dis ussion pourle hoix duux numérique utilisédanslaméthodededis rétisation.Ilprésenteensuitequelquespistespourla résolu-tion dessystèmes linéaires obtenus. En parti ulier,on étudie lapossibilié de résoudre es systèmeslinéaires pardesalgorithmesmultigrille algébriqueset desrésultatspréliminaires sontobtenusdansle asdeséquationsdeMaxwellendeuxdimensionsd'espa e.

Mots- lés : éle tromagnétismenumérique,équations deMaxwellen régimeharmonique, méthodedetypeGalerkin dis ontinu,méthodemultigrille.

∗

LaboratoireJ.A.Dieudonné,UniversitédeNi e-SophiaAntipolis,UMR6621

†

INRIASophiaAntipolis-Méditerranée,équipe-projetNa hos

‡

algorithms

Abstra t: Thisreport dealswiththesolutionoftime-harmoni Maxwell'sequationsby a dis ontinuous Galerkin method. First,theformulationofthe problem isintrodu ed and a fewelementsaredis ussedforthe hoi eofthenumeri aluxwhi hisusedinthe dis reti-sation.Then,someideasforsolvingtheresultinglinearsystemsarepresented.Inparti ular, apreliminarystudyis ondu tedforsolvingtheselinearsystemsbyalgebrai multilevel al-gorithmsandpreliminaryresultsareobtainedinthe aseofthetwo-dimensionalMaxwell's equations.

Key-words: omputational ele tromagnetism, time-harmoni Maxwell's equations, Dis- ontinuousGalerkinmethod,multilevelmethod.

Sommaire

1 Introdu tion 4

2 Formulation etdis rétisation 4

2.1 Problème onsidéré . . . 4

2.1.1 ÉquationsdeMaxwellet onditionsauxlimites . . . 4

2.1.2 Notationspourlaprésentationduproblème . . . 5

2.1.3 Cas bidimensionnelutilisépourlesexemplesnumériques . . . 6

2.2 Dis rétisation . . . 7

2.2.1 Problèmelo al . . . 7

2.2.2 Quelquesuxnumériquespossibles . . . 9

2.2.3 Problèmeglobal . . . 11

2.2.4 Formulationmixteduproblème. . . 12

3 Élémentsde dis ussionpour le hoixdu ux numérique 14 3.1 Résultats on ernantl'ordrede onvergen e . . . 14

3.1.1 Résultatsexistantspourla onvergen e . . . 14

3.1.2 Estimationdel'ordrede onvergen easymptotiquesurun assimple. 15 3.1.3 Convergen eave lesmaillagesobtenusparranementuniforme . . . 18

3.1.4 Convergen eave lasériedemaillagesdistin ts . . . 20

3.2 Résultats on ernantleproblèmespe tral . . . 21

3.2.1 Passageenrevuedel'existant . . . 21

3.2.2 Illustrationnumérique . . . 23

4 Résolution etpré onditionnement dusystème linéaire 26 4.1 Résultatsgénériquespourlessystèmesdetypepoint-selle . . . 26

4.1.1 Appro hedé ouplée . . . 27

4.1.2 Appro he ouplée. . . 28

4.2 Miseenoeuvre . . . 30

4.2.1 L'appro heetlepré onditionnementdé ouplé. . . 30

4.2.2 Méthodesmultigrilleave lelisseur ouplé . . . 33

1 Introdu tion

CerapporttraitedelarésolutionnumériquedeséquationsdeMaxwellenrégime harmo-niqueparuneméthodedetypeGalerkindis ontinu.Ilvient ompléterlerapport[DFLP06℄ notammentenprésentantdiérents hoixdeux numériqueetenproposantdesappro hes pour une résolution e a e des systèmes linéaires obtenus. Ce do ument ne ontient pas de démonstration théorique mais dis ute prin ipalement de résultats présents dans la lit-tératureet d'exemples numériques à ara tère illustratif en deux dimension d'espa e. Les quelquesidéesquisontdéveloppéess'appuientpourl'instantuniquementsurunedémar he heuristique.

Lespointssuivantssontabordés:

 présentation de la dis rétisation des équations de Maxwell en régime harmonique pardes méthodes detype Galerkindis ontinu. Certainesé rituresdu problèmesont redondantesmaisellesfa ilitentla omparaisonave d'autrestravauxoùlades ription duproblèmepeutdiérer.

 Dis ussion autour de plusieurs hoix possibles pour les ux numériques et de quelquespropriétéspour esdiérents hoix.

 Présentationdelaformegénéraledessystèmesalgébriquerésultantdeladis rétisation des équationsde Maxwell enrégime harmoniquepardes méthodesde typeGalerkin dis ontinunousverronsquel'onobtientdessystèmesdetypepoint-selleet dequelquesrèglesgénéralespourlarésolutionde ette atégoriedesystème.Plusieurs pistes sont alorsenvisagéespour mettre en÷uvre les énon ésgénéraux et on s'inté-resseplusparti ulièrementàlapossibilitéde onstruiredesalgorithmesderésolution multigrillealgébriquespour essystèmes.

2 Formulation et dis rétisation

2.1 Problème onsidéré

2.1.1 Équations de Maxwell et onditionsaux limites

LesystèmedeséquationsdeMaxwelladimensionnéesenrégimeharmoniquepeuts'é rire souslaformesuivante:

(

iωεE

_{− rot H = −J,}

iωµH + rot E = 0.

(1)

Les hampséle triqueetmagnétique

E

et

H

sontlesin onnuesàdétermineretleve teur

J

désigne une sour e de ourant imposée. Les paramètres

ε

et

µ

sont respe tivement la permittivité diéle triquerelative(in luant lesdonnéessur la ondu tivité éle trique)et la perméabilité magnétique relative; on onsidère i ides matériauxlinéaires et isotropes.La fréquen eangulaireduproblèmeest donnéeparleparamètre

ω

.

Considéré surun domaine

Ω

de frontière

∂Ω = Γ

a

∪ Γ

m

, onadjoint ausystème (1)les onditionsauxlimites:

(

n

_{× E = 0}

sur

Γ

m

,

n

_{× E − n × (H × n) = n × E}

inc

_{− n × (H}

inc

_{× n)}

sur

Γ

a

.

(2)

La premièreest ratta héeàlanotionde ondu teur parfait(onparle aussisouventde ondition métallique). La se onde est une ondition absorbante appro hée où les hamps

E

inc

et

H

inc

représententles omposantesd'unepossibleondein idente.

2.1.2 Notationspourla présentationdu problème

Présenter sousuneautreforme, on her heàrésoudreleproblèmedeformulationforte suivante(poursimplier,on onsidèreunproblèmededira tionoùleterme

J

estnul):



















Trouverle hampdeve teurs

W

telque:

iωG

0

W

+ G

x

∂

x

W

+ G

y

∂

y

W

+ G

z

∂

z

W

= 0

dans

Ω,

(M

Γ

m

− G

n

)W = 0

sur

Γ

m

,

(M

Γ

a

− G

n

)(W

− W

inc

) = 0

sur

Γ

a

.

(3)

Lesnotationsutiliséesontalorslasigni ationsuivante:

 le hampdeve teursin onnu

W

représentele hampéle tromagnétique,soit:

W

=

 E

_H



.

 lamatri e

G

0

rassemblelespropriétésdesmilieuxets'é rit :

G

0

=

ε Id

₀

3

0

3×3

3×3

µ Id

3



.

où

Id

k

désigneune matri e identité à

k

ligneset

k

olonneset

0

l×m

une matri e de zérosà

l

ligneset

m

olonnes.

 la matri e

G

n

représente matri iellement le produit ve toriel par le ve teur

n

(qui désigne i i la normaleunitaire sortante du domaine)pour les deux omposantes du hampéle tromagnétique:

G

n

=

0

3×3

N

n

N

t

n

0

3×3



ave

N

n

=





0

n

z

−n

y

−n

z

0

n

x

n

y

−n

x

0





.

La notation

N

t

désigne la transposée de

N

. Les matri es

G

+

n

et

G

−

n

représentent respe tivementlespartiespositiveetnégativedelamatri e

1

.Ondénit aussi

|G

n

|=

G

+

n

− G

−

n

.Onpeutainsi déduire es diérentes matri esde l'expressionde

G

n

et de ellede

|G

n

|

donnéepar:

|G

n

|=

N

n

N

n

t

0

3×3

0

3×3

N

n

t

N

n



.

 lesmatri es

G

l

ave

l

dans

{x, y, z}

représententlesproduitsve torielsave lesve teurs debase

e

l

ets'é rivent:

G

l

=

0

3×3

N

e

_l

N

t

e

_l

0

3×3



.

 les matri es

M

Γ

m

et

M

Γ

a

sont utiliséespour la prise en ompte des onditionsaux limites,respe tivementmétalliqueimposéesur

Γ

m

etabsorbante imposéesur

Γ

a

:

M

Γ

m

=

 0

3×3

N

n

−N

t

n

0

3×3



et

M

Γ

a

=

|G

n

|.

Les détails pour relier l'é riture de (3) à la formulation (1) + (2) sont donnés dans [DFLP06℄.

2.1.3 Cas bidimensionnelutilisépourles exemplesnumériques

Pourle as bidimensionnel, on onsidèrele problèmetransverseéle triquedans leplan

(O, x, y)

.Iln'y adon plusdedépendan esuivant

z

etles omposantes

E

z

,

H

x

et

H

y

sont

nulles.Leproblèmeobtenuest formellementidentiqueau astridimensionnelsil'onadmet lesabusdenotationsuivants:

 leve teur

W

est désormaiségalà

E

x

E

y

H

z

t

.

 lamatri e

G

0

prend laformeréduite:

G

0

=

ε Id

2

0

2×1

0

1×2

µ



.

 lamatri e

N

n

prendaussiuneformeréduite:

N

n

=

−n

y

n

x



.

1 Si

G

n

=

T ΛT

−1

ave

Λ

unematri ediagonale ontenantlesvaleurspropresde

G

n

alors

G

±

n

=

T Λ

±

T

−1

où

Λ

+

(respe tivement

Λ

−

)regroupelesvaleursproprespositives(respe tivementnégatives)delamatri e

 lesmatri es

G

x

et

G

y

sontégalesà:

G

x

=

0

2×2

N

e

_x

N

t

e

_x

0



et

G

y

=

0

2×2

N

e

_y

N

t

e

_y

0



.

 lesmatri es

G

n

et

G

+

n

sontégalespourunve teur

n

donnéà:

G

n

=

0

2×2

N

n

N

t

n

0



et

G

n

+

=

1

2

N

n

N

n

t

N

n

N

t

n

1



.

 lesmatri es

M

Γ

m

et

M

Γ

a

s'é riventtoujours:

M

Γ

m

=

 0

2×2

N

n

−N

t

n

0



et

M

Γ

a

=

|G

n

|

soit

M

Γ

a

=

N

n

_F

N

n

t

_F

0

2×1

0

1×2

1



.

2.2 Dis rétisation 2.2.1 Problème lo al

Sil'onee tueleproduits alairedel'équationauxdérivéespartiellesde(3)parun hamp deve teursrégulier

V

et on intègreformellementsur unsous-ensemble

K

du domaine

Ω

, onobtient:

Z

K

(iωG

0

W)

t

Vdv +

Z

K





X

l∈{x,y,z}

G

l

∂

l

(W)





t

Vdv = 0.

En passantàl'opérateuradjoint,unterme debordapparaîtetl'équationdevient:

Z

K

(iωG

0

W)

t

Vdv

−

Z

K

W

t





X

l∈{x,y,z}

G

l

∂

l

(V)





dv +

Z

∂K

(G

n

W)

t

Vds = 0.

(4)

Cetteformulationfaibledel'équation auxdérivéespartiellessurlesous-ensemble

K

est lepointde départ de laméthode de typeGalerkin dis ontinu. Supposons maintenantque ledomainede al ul est dé oupéenunensembled'éléments(tétraèdresouhexaèdres);on onsidèrei iuniquementdesmaillages onformes.Ce maillagedudomaine de al ul

Ω

est noté

T

h

etona:

[

K∈T

h

L'approximationnumérique

W

h

=

 E

h

H

h



delasolutionduproblème(3)estre her hée

dansl'espa e

V

h

× V

h

où

V

h

estdénipar:

V

h

=

V ∈ [L

2

(Ω)]

3

| ∀K ∈ T

h

, V e

|K

∈ P(K)

.

(5)

Leterme

P(K)

désigneunespa ede hampsà omposantespolynomiales surl'élément

K

.Les hampsdeve teurstestsappartiennentaussià

V

h

× V

h

.

Fluxprin ipal. Onpartdel'équation(4) onsidéréesurunélément

K

de

T

h

mais désor-maisl'approximationnumérique

W

h

rempla e

W

etletermedebordestuneappli ationà dénir

Φ

∂K

,appeléeuxprin ipalpourreprendrelestermesemployésparErnetGuermond dans[EG06a,EG06b℄. Onsouhaitealorsvérier:

Z

K

(iωG

0

W

h

)

t

Vdv

−

Z

K

W

t

_h





X

l∈{x,y,z}

G

l

∂

l

(V)





dv +

Z

∂K

(Φ

∂K

(W

h

))

t

Vds = 0,

∀V ∈ V

h

× V

h

.

(6a)

Ladénitionde

Φ

∂K

doitpermettred'assurerla onsisten easymptotiqueetlastabilité delaméthoded'approximationutilisée.Pourrespe ter es ontraintes,leuxpeutêtrealors dénisurunefa e

F

de

∂K

par:

Φ

∂K

(W

h

) =























I

F K

S

F

JW

h

K

F

+ I

F K

G

n

_F

{W

_h

}

si

F

∈ Γ

0

_,

1

2

(M

F,K

+ I

F K

G

n

F

)W

h

si

F

∈ Γ

m

_,

1

2

(M

F,K

+ I

F K

G

n

F

)W

h

−

1

2

(M

F,K

− I

F K

G

n

F

)W

inc

si

F

∈ Γ

a

_.

(6b)

Pour omprendrel'expressionde e uxprin ipal,voi ilesélémentsmanquants:

 onintroduitunematri e

I

pourprendreen ompteles onventionsd'orientationentre lesfa es et les éléments; onl'appellegénéralementmatri e d'in iden e fa e-élément. Le nombrede lignesde

I

est égalau nombrede fa es dumaillageet sonnombrede olonnes au nombre d'éléments. La normale

n

K

sortante de l'élément

K

induit une orientationpourlafrontièrede etélémentet haquefa e

F

auneorientationpropre qui déterminela dire tion de sanormale

n

F

. Lesentrées de

I

sont alors dénies la manièresuivante :

I

F K

=











0

silafa e

F

n'appartientpasàl'élément

K

,

1

si

F

∈ K

et lesorientations oïn ident

(signe(n

t

F

n

K

) = 1),

−1

si

F

∈ K

et lesorientationsne oïn identpas

(signe(n

t

 pourlafa e

F

interse tionde

K

et

K

˜

,ondénitrespe tivementlesautdu hampde ve teurs

V

etsamoyennesurlafa e

F

:

JVK

F

= I

F K

V

|K

+ I

F ˜

K

V

| ˜

K

et

{V} =

1

2

(V

|K

+ V

| ˜

K

).

Lanotation

V

|K

désignelarestri tiondu hampdeve teurs

V

àl'élément

K

.  la matri e

S

F

est une matri e permettantde pénaliser le sautdu hampou de

er-taines de ses omposantes sur la fa e

F

séparant deux éléments. La matri e

M

F,K

estunematri equiassurela onsisten easymptotiqueave les onditionsauxlimites du problème ontinu. Des dénitions possiblesde es matri es sont donnés en sous-se tion2.2.2.  lesensembles

Γ

0

,

Γ

m

et

Γ

a

désignentrespe tivementl'ensembledesfa esinternes,des fa esappartenantà

Γ

a

etdesfa esappartenantà

Γ

m

.

Flux adjoint. Si l'on revient àl'opérateurinitial, on peut aussi introduire la notionde uxadjoint

Φ

˜

∂K

(voir[EG06a, EG06b℄)etdans e asonsouhaitevérier:

Z

K

(iωG

0

W

h

)

t

Vdv +

Z

K





X

l∈{x,y,z}

G

l

∂

l

(W

h

)





t

Vdv +

Z

∂K

 ˜

_Φ

_∂K

_(W

_h

₎



t

V

= 0,

∀V ∈ V

h

× V

h

.

(7a)

Leux adjointest dénisurune fa e

F

de

∂K

par:

˜

Φ

∂K

(W

h

) =



























I

F K

S

F

JW

h

K

F

−

1

2

G

n

F

JW

h

K

F

si

F

∈ Γ

0

1

2

(M

F,K

− I

F K

G

n

F

)W

h

si

F

∈ Γ

m

_,

1

2

(M

F,K

− I

F K

G

n

F

)(W

h

− W

inc

₎

si

F

∈ Γ

a

_.

(7b)

2.2.2 Quelquesux numériques possibles

Onrappellei iquelquesuxnumériquessimplesdontl'utilisationest omparéedansla suitepourappro herlasolutionduproblème(3):

 leux entré[FLLP05℄ orrespondau hoixpourtoutesfa es

F

:

et au hoixpourlesfa es

F

appartenantà

Γ

m

ouà

Γ

a

:

M

F,K

=











I

F K

 0

3×3

N

n

_F

−N

t

n

_F

0

3×3



si

F

appartientà

Γ

m

,

|G

n

_F

|

si

F

appartientà

Γ

a

. (8b)

 leux dé entrédu premierordre[EG06a,Pip00℄ orrespondau hoix:

S

F

=

α

E

F

N

n

_F

N

n

t

_F

0

3×3

0

3×3

α

H

_F

N

n

t

_F

N

n

_F



,

(9a) ave

α

E

F

= 1/2

et

α

H

F

= 1/2

si lematériau est homogène (sinonla forme donnéei i

n'estqu'unevariante simpliéeduuxdé entrédupremierordre),etau hangement de

M

F,K

sur

Γ

m

pourprendrelaformesuivante:

M

F,K

=

η

F

N

n

_F

N

n

t

_F

I

F K

N

n

_F

−I

F K

N

n

t

_F

0

3×3



.

(9b)

 onpeut hoisirdedé entreruniquementsuivantl'unedesvariables( asparti ulierde laméthodeGalerkin dis ontinuelo ale[CS98℄).L'amplitude du oe ientde pénali-sationutiliséestalorsbeau oup plusimportante,généralementproportionnelleà

h

−1

F

où

h

F

désignelamesuredelafa e

F

.Onaainsi:

S

F

= τ

F

h

−1

F

N

n

_F

N

n

t

_F

0

3×3

0

3×3

0

3×3



,

(10a) et pour

F

sur

Γ

m

onee tueaussile hangement:

M

F,K

=

τ

F

h

−1

F

N

n

_F

N

n

t

_F

I

F K

N

n

_F

−I

F K

N

n

t

_F

0

3×3



.

(10b)

2.2.3 Problème global

Formulationave l'opérateurprin ipal. Àpartirdelaformulationduuxadjoint(7), onee tue lasomme sur tousles éléments

K

de

T

h

et laformulation faible duproblème s'é ritalors:



















































































Trouver

W

h

dans

V

h

× V

h

telque:

Z

Ω

h

(iωG

0

W

h

)

t

Vdv +

X

K∈T

h

Z

K





X

l∈{x,y,z}

G

l

∂

l

(W

h

)





t

Vdv

+

X

F∈Γ

m

_∪Γ

a

Z

F

 1

2

(M

F,K

− I

F K

G

n

F

)W

h



t

Vds

−

X

F∈Γ

0

Z

F

(G

n

_F

JW

h

K

F

)

t

{V}ds +

X

F∈Γ

0

Z

F

(S

F

JW

h

K

F

)

t

JVK

F

ds

=

X

F∈Γ

a

Z

F

 1

2

(M

F,K

− I

F K

G

n

F

)W

inc



t

V

ds,

∀V ∈ V

h

× V

h

.

(11)

Cetteformulationestlareformulationde[EG06a,Équation(4.12)℄pourleproblème(3).

Formulationave l'opérateuradjoint. Àpartirdelaformulationduuxprin ipal(6), on ee tue la sommesur tous les éléments

K

du

T

h

et la formulationfaible duproblème s'é ritalorsaussi:



















































































Trouver

W

h

dans

V

h

× V

h

telque:

Z

Ω

h

(iωG

0

W

h

)

t

V

dv

−

X

K∈T

h

Z

K

W

_h

t





X

l∈{x,y,z}

G

l

∂

l

(V)





dv

+

X

F∈Γ

m

_∪Γ

a

Z

F

 1

2

(M

F,K

+ I

F K

G

n

F

)W

h



t

Vds

+

X

F∈Γ

0

Z

F

(G

n

_F

{W

_h

})

t

JVK

_F

ds +

X

F∈Γ

0

Z

F

(S

F

JW

h

K

F

)

t

JVK

F

ds

=

X

F∈Γ

a

Z

F

 1

2

(M

F,K

− I

F K

G

n

F

)W

inc



t

Vds,

_{∀V ∈ V}

h

× V

h

.

(12)

2.2.4 Formulation mixte du problème

É riture dire te depuis (11)et (12). And'énon erleste hniquesenvisagées pourla résolutionduproblèmeet s'appuyantsur lesrésultatsexistantspour dessystèmesdetype point-selle,onprésentelaformulationmixteduproblèmeàrésoudre.Pouré rire elle- i,on peut utiliser deséquations dela formulationave l'opérateurprin ipal et ave l'opérateur

adjoint. Si l'on onsidèretout d'abordtous les hamps tests de la forme

0

3×1

G



dans la

formulationave l'opérateurprin ipal(11),les hampssolutions

(E

h

, H

h

)

doiventvérier:

a(H

h

, G) + b(G, E

h

) =

X

F∈Γ

a

Z

F

1

2

N

t

n

_F

N

n

_F

H

inc

− N

n

t

_F

E

inc

t

Gds,

_{∀G ∈ V}

h

,

(13)

ave lesformessesquilinéaires

a

et

b

déniespour

(F, G)

∈ V

h

× V

h

par:

a(F, G) =

Z

Ω

h

iωµF

t

G

dv +

X

F∈Γ

0

Z

F

α

H

F

N

n

t

_F

N

n

_F

JFK

F

t

JGK

F

ds

+

X

F∈Γ

a

Z

F

 1

2

N

t

n

_F

N

n

_F

F



t

G

ds,

(14) etaussi:

b(F, G) =

X

K∈T

h

Z

K

F

t





X

l∈{x,y,z}

N

t

e

_l

∂

l

(G)





dv

−

X

F∈Γ

0

Z

F

(N

n

_F

{F})

t

JGK

_F

ds

−

X

F∈Γ

m

Z

F

(I

KF

N

n

_F

F)

t

Gds

−

X

F

∈Γ

a

Z

F

 1

2

I

KF

N

n

F

F



t

Gds.

(15)

Ensuite,sil'on onsidèretouteslesfon tionstestsdelaforme



F

0

3×1



danslaformulation

ave l'opérateuradjoint(12),lessolutions

(E

h

, H

h

)

doiventvérier:

c(E

h

, F)

− b(H

h

, F) =

X

F∈Γ

a

Z

F

1

2

N

n

F

N

t

n

_F

E

inc

− N

n

_F

H

inc

t

Fds,

∀F ∈ V

h

,

(16)

ave laformesesquilinéaire

c

déniepour

(F, G)

∈ V

h

× V

h

par:

c(F, G) =

Z

Ω

h

iωεF

t

_{Gdv +}

X

F

∈Γ

0

Z

F

α

E

F

N

n

_F

N

n

t

_F

JFK

F

t

JGK

F

ds

+

X

F

∈Γ

m

Z

F

 1

2

η

F

N

n

F

N

t

n

_F

F



t

Gds +

X

F∈Γ

a

Z

F

 1

2

N

n

F

N

t

n

_F

F



t

Gds.

(17)

Leproblèmepeutdon s'é riresouslaformeduproblèmemixtesuivant:

Trouver

(E

h

, H

h

)

∈ V

h

× V

h

telque:



















a(H

h

, G) + b(G, E

h

) =

X

F∈Γ

a

Z

F

1

2

N

t

n

_F

N

n

_F

H

inc

− N

n

t

_F

E

inc

t

Gds,

_{∀G ∈ V}

h

,

−b(H

h

, F) + c(E

h

, F)

=

X

F∈Γ

a

Z

F

1

2

N

n

F

N

t

n

_F

E

inc

− N

n

_F

H

inc

t

F

ds,

∀E ∈ V

h

.

C'est autourde etteé ritureduproblèmequenousallonstravaillerdanslase tion4.

Notations lassiques. Pour fa iliter l'analogie ave les résultats des arti les tels que [BP06,BHI07℄,oné rit aussileproblèmeave desnotationsve toriellesplususuelles.Soit un hamp

G

dénitsur ledomaine

Ω

.Pourlafa einterne

F

séparantdeux éléments

K

et

˜

K

de

T

h

, ondénit lesautdela omposantetangentiellede

G

surlafa e

F

:

JGK

T

= G

|K

× n

K

+ G

| ˜

K

× n

K

˜

= N

n

_F

JGK

_F

=

−N

n

t

_F

JGK

F

.

Pour les fa es situées sur la frontière du domaine, ette grandeur est aussi dénie et devient :

JGK

T

= G

× n

. De même, on prolonge la dénition de la valeur moyenne du hamppourlesfa es

F

delafrontière:

{G} = G

.Lesdiérentesformesbilinéairesdénies pré édemmentadmettentdon aussil'é rituresuivante :

a(F, G) =

Z

Ω

h

iωµF

t

G

dv +

X

F∈Γ

0

Z

F

α

H

F

JFK

t

T

JGK

T

ds

+

X

F∈Γ

a

Z

F

1

2

JFK

t

T

JGK

T

ds,

(18)

b(F, G) =

X

K∈T

h

Z

K

F

t

rot(G)dv +

X

F

∈Γ

0

Z

F

{F}

t

_JGK

T

ds

+

X

F∈Γ

m

Z

F

{F}

t

_JGK

T

ds +

X

F∈Γ

a

Z

F

1

2

{F}

t

_JGK

T

ds,

(19) etenn :

c(F, G) =

Z

Ω

h

iωεF

t

G

dv +

X

F∈Γ

0

Z

F

α

E

F

JFK

t

T

JGK

T

ds

+

X

F∈Γ

m

1

2

Z

F

η

F

JFK

t

T

JGK

T

ds +

X

F∈Γ

a

Z

F

1

2

JFK

t

T

JGK

T

ds.

(20)

3 Élémentsde dis ussionpourle hoix du uxnumérique

Pourle hoixdesux numériqueslorsdeladis rétisationduproblème(3),onva privi-légierlesméthodesqui garantissentsurunmaillagenon stru turé:

 lemeilleurordrede onvergen easymptotiquedel'erreurennorme

L

2

pourle hamp éle trique et/ou le hamp magnétique (ave un ordre d'approximation polynomiale xe),

 unedispersionnumériqueminimale.

L'ordrede onvergen esembleêtrele ritèreprépondérant,l'étudedeladispersion nu-mériquevenantdansunse ondtempspouroptimiserl'approximation.Con ernantla disper-sionnumériquepourlesméthodesdetypeGalerkindis ontinu,onpourra onsulter[Ain04℄. L'ordrede onvergen easymptotiquedel'erreurennorme

L

2

entrelasolutionexa te

(E, H)

et sonapproximationnumérique

(E

h

, H

h

)

orrespond à onnaîtreles oe ientsréels

δ

et

γ

lesplusgrandspossiblestels que:

∃C

1

, C

2

> 0,

∃h

0

> 0,

∀h > h

0

,

kE − E

h

k

L

2

_(Ω)

≤ C

₁

h

δ

et

kH − H

h

k

L

2

_(Ω)

≤ C

₂

h

γ

.

(21) Leparamètre

h

désignelepasdumaillage

T

h

utilisépourle al ul.Les oe ients

δ

et

γ

dé riventdon àquellevitesseon onvergeverslasolutionexa te.

3.1 Résultats on ernant l'ordre de onvergen e

3.1.1 Résultatsexistantspour la onvergen e

On hoisit

P(K) = [P

k

(K)]

3

où l'entier

k

orrespond à l'ordrede l'espa e polynomial utilisé. Cet ordre

k

est onstant sur l'ensemble des éléments du maillage. On donne i i quelques résultats liés à l'ordre de onvergen e et aux équations de Maxwell (mais pas né éssairementenrégimeharmonique).Onrappelleenparti ulierdansletableau1lesordres de onvergen e asymptotiques théoriques pour le système de Maxwell elliptique [EG06a, EG06b℄quandlasolutionre her héeestsusamentrégulière.

ux entré(8) de entré(9) pénalisationde

E

(10)

hamp

E

k

k + 1/2

k + 1

hamp

H

k

k + 1/2

k

Tab.1Ordrede onvergen e théoriqueen norme

L

2

pour haque hampave la dis ré-tisationdusystème deMaxwellelliptiqueparune méthodedetypeGalerkin dis ontinu et lesux numériquesdelasous-se tion2.2.2.

Lesrésultatsa tuelspourleproblèmeharmoniqueselimitentàdesproblèmesde avité (une onditionsmétallique est appliquée àtoute la frontière dudomaine de al ul). Dans e as, les ordres de onvergen e sont identiques au as elliptique pour des méthodes de

pénalisationintérieureet depénalisationdu hamp

E

surlaformulationmixte(ux(10) ); voir[HPSS05, BP06℄. Lesrésultatsdonnés dansletableau 1sontvalablesen deuxet trois dimensions.

3.1.2 Estimation de l'ordrede onvergen e asymptotiquesur un assimple

On souhaite valider numériquement les résultats de onvergen e théoriques ou, si es résultatsn'existentpas,estimerlesordresde onvergen equel'onpeuts'attendreàtrouver.

Le problème. Onee tue un al ul pour simulerlapropagation d'uneondeplanedans levide.L'ondeplanein identeretenueestdelaforme:





E

inc

_x

E

inc

_y

H

inc

z





= exp(

−iωx)





0

1

1





.

(22)

Le domaineest le arréunité, 'est-à-dire

Ω =]0; 1[

2

et des onditionsde Silver-Müller sontimposéessurl'ensembledelafrontière, 'est-à-dire

Γ

a

= ∂Ω

et

Γ

m

=

∅

.Commeons'est pla édanslevide,lesparamètres

ε

et

µ

valent1surl'ensembledudomaineetla ondu tivité est nulle.Enn, pourlesessaisee tués, on hoisit

ω = 2π

et lalongueurd'onde estdon égaleau tédudomaine.

Laméthode. Onestimenumériquementlestauxde onvergen easymptotiquedans l'ex-empleévoqué i-dessus.Onsupposepourl'évolutiondel'erreurennorme

L

2

un omporte-mentasymptotiqueen

C

E

h

δ

pourle hamp

E

eten

C

H

h

γ

pourle hamp

H

.Les oe ients

C

E

et

C

H

sontdes onstanteset

δ

et

γ

sontlesordresde onvergen easymptotiques re her- hés.Numériquementils'agitdon defairevarierleparamètre

h

etd'estimer es oe ients

δ

et

γ

àpartirdel'évolutiondel'erreurennorme

L

2

.

Remarque : au lieu d'observer l'évolution suivant le paramètre

h

, on peut, pour des maillagesquasi-uniformes,regarderdemanièreéquivalentel'évolutionsuivantlara ine arré du nombre de degrés de liberté en deux dimensions. Ce hoix a été fait pour les résultats numériquesdans lasuite.

Onvaréaliser ettedémar hepourdeuxsériesdemaillages:

Cas1. On utilise pour le premier al ul le maillage initial non stru turé présenté à la gure1(a). Ce maillage vaêtre ensuite rané de manièreuniforme; lespremiers ranementssontdonnés auxgures1(b) et1( ). Notonsdéjà qu'ave ette taille de mailleinitial,leproblèmeserasous-résolupourlesordrespolynomiauxlesplusfaibles (parti ulièrementpourle as

P

0

enfait).Néanmoins, e iestsans onséquen epuisque 'estle omportementasymptotiquequinousintéresse.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(a)Maillageinitial.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(b)Premierranement.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

( )Se ondranement.

Cas2. On utilisequatremaillagesnonstru turés quasi-uniformesdontonaimposéle pasmaximal

h

max

; esquatremaillagessontprésentésàlagure2.Ceparamètre

h

max

est divisé par deux pour passerd'un maillage àl'autre. Ces maillagessontnotés

T

i

h

pour

i

allantde1à4ave

h

max

dé roissant.Ainsiau unmaillage

T

i+1

h

ne orrespond auranementdumaillage

T

i

h

.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(a) Maillage

T

1

h

ave

h

max

= 1

/8

.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(b)Maillage

T

2

h

ave

h

max

= 1

/16

.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

( )Maillage

T

3

h

ave

h

max

= 1

/32

.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(d)Maillage

T

4

h

ave

h

max

= 1

/64

.

Fig.2Quatremaillagesnonstru turésutiliséspourle al ul.

Remarque:pourdesquestionsd'intégrationnumérique on ernantlaprise en omptede l'ondein idente,lesrésultatsobtenuspourle as

P

3

sontsujetsà aution;ilsontnéanmoins ohérentsave lerestedesrésultats.

3.1.3 Convergen eave lesmaillagesobtenus par ranementuniforme

Résultats ave l'utilisation de ux entrés. Les ourbesdes résultats obtenus ave l'utilisation des ux entrés sont données à la gure 3. Elles représentent l'évolution de l'erreurennorme

L

2

pourles al ulsdes hamps

E

et

H

enfon tiondelara ine arrée du nombrededegrésdeliberté(ddl).Àpartirdelagure3,onperçoitl'intérêtdel'ordreélevé: on onstateainsiqu'uneaugmentationdel'ordrepermetunerédu tiondrastiquedunombre dedegrésdeliberté pouratteindreunemêmepré ision.Partantainsid'unmêmemaillage, la onvergen e vers la solution est beau oup plus rapide ( onvergen e exponentielle) en augmentantl'ordrequ'enranantlemaillage( onvergen epolynomialeàdegréxe).Bien évidemment, elan'estvraiquesi lasolutionre her héeprésenteune régularitésusante. Enoutre,onnedébatpasnonplusi idel'impa tdel'ordred'approximationsurlamatri e duproblème (matri emoins reuse, de onditionnementdiérent maisde bien pluspetite dimensionaussi).Une régressionlinéairenouspermet d'estimer numériquementl'ordrede onvergen easymptotiquepourlesdiérentsordrespolynomiaux;lesrésultatssontdonnés dansletableau2.

10

1

10

2

10

−6

10

−5

10

−4

10

−3

10

−2

10

−1

√

Nombre de ddl

kH

−H

h

k

L

2

(Ω

)

P

₀

γ

= 1

P

₁

γ

= 2

P

₂

γ

= 3

P

₃

γ

= 3.6

(a)Évolutionde

kH − H

h

k

L

2

enfon tiondela ra- ine arré du nombre dedegrés de liberté. É helle logarithmique.

10

1

10

2

10

−5

10

−4

10

−3

10

−2

10

−1

√

Nombre de ddl

kE

−E

h

k

L

2

(Ω

)

P

₀

δ

= 1

P

₁

δ

= 1

P

₂

δ

= 2

P

₃

δ

= 3

(b)Évolutionde

kE − E

h

k

L

2

enfon tiondela ra- ine arré du nombre de degrés deliberté. É helle logarithmique.

Fig. 3 Résultats de onvergen e ave l'utilisation de ux entrés. Les ourbes en ligne ontinu orrespondent aux al uls pour les diérents ordres polynomiaux.Les ourbesen pointillés reprennent l'ordrede onvergen e al ulépar une régressionlinéaire(voirle ta-bleau2).

P

0

P

1

P

2

P

3

E

1 1 2 3

H

1 2 3 3.6

Le as

P

0

est un peu parti ulier : l'ordre de onvergen e est optimal pour les hamps

E

et

H

, 'est-à-dire égal à

k + 1

. Cela est sans doute dû à l'utilisation d'une série de maillages parti ulière obtenue par ranement uniforme ( ette armation est orroborée parlesrésultatsobtenusdanslasous-se tion3.1.4).

Pourlesordrespolynomiauxd'approximationstri tementpositifs,l'ordrede onvergen e pourla norme

L

2

de l'erreursur

E

oïn ide ave l'ordre de onvergen e annon é pour le systèmedeMaxwellelliptique, 'est-à-dire

k

.L'ordrede onvergen epour

H

estpar ontre optimal.Pour etexempleparti ulieretave le hoixdesux entrés,le hampmagnétique estdon mieuxappro hénumériquementquele hampéle trique.

Résultats ave l'utilisation de ux dé entrés. Ona utilisé dans(9) les paramètres

α

H

F

= α

E

F

= η

F

= 1

pourtouteslesfa es

F

.Les ourbesdesrésultatsobtenusave l'utilisa-tiondesuxdé entrés sontdonnésàlagure4.Onpeutfairedesremarquessimilairesau as desux entrés. On note en outre queles propriétés de onvergen e pourles interpo-lations

P

0

et

P

1

sont ettefois lairementdistin tes ontrairementau asdes ux entrés. Une régressionlinéaire permet d'estimer numériquementl'ordre de onvergen e asympto-tique pour les diérents ordres polynomiaux; les résultats sont donnés dans le tableau 3. L'ordrede onvergen e est ettefoissimilairepourlesdeux hamps; ela oïn ideave les résultats théoriquespour le système de Maxwell elliptique et orrespond àla symétrie de ladémar he.Lesordresde onvergen esontoptimauxpourlesdeuxvariables(dans e as parti ulier)saufpourle as

P

0

oùl'onestnéanmoinsau-dessusdesestimationsthéoriques.

10

1

10

2

10

−6

10

−5

10

−4

10

−3

10

−2

10

−1

√

Nombre de ddl

kH

−H

h

k

L

2

(Ω

)

P

₀

γ

= 0.9

P

₁

γ

= 1.9

P

₂

γ

= 3

P

₃

γ

= 3.9

(a) Évolutionde

kH − H

h

k

L

2

enfon tiondela ra- ine arré du nombre de degrés deliberté. É helle logarithmique.

10

1

10

2

10

−6

10

−5

10

−4

10

−3

10

−2

10

−1

√

Nombre de ddl

kE

−E

h

k

L

2

(Ω

)

P

₀

δ

= 0.9

P

₁

δ

= 1.9

P

₂

δ

= 3

P

₃

δ

= 3.9

(b)Évolutionde

kE − E

h

k

L

2

enfon tiondela ra- ine arrédu nombrededegrés deliberté.É helle logarithmique.

Fig.4Résultats de onvergen e ave l'utilisationde uxdé entrés. Les ourbesenligne ontinu orrespondent aux al uls pour les diérents ordres polynomiaux.Les ourbesen pointillés reprennent l'ordrede onvergen e al ulépar une régressionlinéaire(voirle ta-bleau3).

P

0

P

1

P

2

P

3

E

0.9 1.9 3 3.9

H

0.9 1.9 3 3.9

Tab.3Estimationnumériquedel'ordrede onvergen easymptotique.Casux dé entré.

Résultatsave l'utilisationde ux ave pénalisationsur

E

. Onautilisédans(10) les paramètres

τ

F

= η

F

= 1

pour toutes les fa es

F

. Les ourbes des résultats obtenus ave l'utilisation des ux ave pénalisation sur

E

sont donnés à la gure 5. On note en parti ulierl'absen ede onvergen epourle as

P

0

.Unerégressionlinéairepermetd'estimer numériquementl'ordrede onvergen easymptotiquepourlesdiérentsordrespolynomiaux; lesrésultatssontdonnésdansletableau4.Outrelanon- onvergen e(attendue)pourle as

P

0

, on note pour les

(P

k

)

k>0

, un omportement omplémentaire du as ave ux entrés puisque ette fois l'ordre de onvergen e est optimal pour le hamp

E

mais plus pour le hamp

H

.

10

1

10

2

10

−5

10

−4

10

−3

10

−2

10

−1

√

_{Nombre de ddl}

kH

−H

h

k

L

2

(Ω

)

P

0

γ

= 0

P

₁

γ

= 1

P

₂

γ

= 2

P

₃

γ

= 2.9

(a) Évolutionde

kH − H

h

|

L

2

enfon tiondela ra- ine arré du nombre de degrés deliberté. É helle logarithmique.

10

1

10

2

10

−6

10

−5

10

−4

10

−3

10

−2

10

−1

√

_{Nombre de ddl}

kE

−E

h

k

L

2

(Ω

)

P

₀

δ

= 0

P

₁

δ

= 2

P

₂

δ

= 3.1

P

₃

δ

= 3.9

(b)Évolutionde

kE − E

h

k

L

2

enfon tiondela ra- ine arrédu nombrededegrés deliberté.É helle logarithmique.

Fig.5Résultatsde onvergen eave l'utilisationdeux pénaliséssur

E

. Les ourbesen ligne ontinu orrespondentaux al ulspourlesdiérentsordrespolynomiaux.Les ourbes en pointillés reprennent l'ordrede onvergen e al ulé par une régressionlinéaire(voirle tableau4).

3.1.4 Convergen eave la sériede maillagesdistin ts

On ondense l'étude de l'ordrede onvergen e pour ette série de maillages. Soit

err

E

i

l'erreurennorme

L

2

pourle al uldu hamp

E

surlamaillage

T

i

h

.Demême,

err

H

i

désigne lemêmetyped'erreurpourle hamp

H

.Onproposedeuxtableauxdonnantuneestimation

P

0

P

1

P

2

P

3

E

X 2 3.1 3.9

H

X 1 2.02 2.9

Tab.4Estimationnumérique del'ordrede onvergen easymptotique. Casux pénalisé sur

E

.Xsigniequelaméthodene onvergepas.

del'ordrede onvergen e àpartirdes al ulssur deuxmaillages onsé utifs, 'est-à-direla quantité:

log



_err

E

i+1

err

E

i



log(0.5)

pourle hamp

E

et

log



_err

H

i+1

err

H

i



log(0.5)

pourle hamp

H

.

Lesrésultatsdansle asdel'utilisationdeuxdé entréssontdonnésdanslestableaux5. Ils oïn identave euxobtenusave lesmaillagesranésuniformément.Le omportement sembledon nonliéauranementuniformeutilisépré édemment.Lesrésultatspourlesux entrés sontdonnés dansles tableaux6. On notel'absen e de onvergen e pour le as

P

0

. Pourlesautres as, ela orrespondà equel'onavaitobtenuave leranementuniforme.

(a)Champ

E

T

1

h

→ T

h

2

T

h

2

→ T

h

3

T

h

3

→ T

h

4

P

0

0.78 0.87 0.94

P

1

1.92 1.97 1.99

P

2

3.00 3.0 3.04 (b)Champ

H

T

1

h

→ T

h

2

T

h

2

→ T

h

3

T

h

3

→ T

h

4

P

0

0.78 0.86 0.94

P

1

1.90 1.95 1.98

P

2

2.92 3.00 3.02

Tab.5Ordrede onvergen ede

T

i

h

à

T

i+1

h

.Fluxdé entré. (a)Champ

E

T

1

h

→ T

h

2

T

h

2

→ T

h

3

T

h

3

→ T

h

4

P

0

0.37 0.08 0

P

1

1.02 0.98 0.99

P

2

2.03 2.02 2.03 (b)Champ

H

T

1

h

→ T

h

2

T

h

2

→ T

h

3

T

h

3

→ T

h

4

P

0

1.27 0.37 -0.06

P

1

2.00 1.96 2.00

P

2

2.97 3.02 3.02

Tab.6Ordrede onvergen ede

T

i

h

à

T

i+1

h

.Flux entré.

3.2 Résultats on ernant le problème spe tral

3.2.1 Passage en revue de l'existant

deMaxwell.Dansle asde es équations,leproblèmespe tral ontinupeuts'é riresousla formesuivante:



















Trouverlestriplets

(E, H, ω)

dans

H(rot, Ω)

× H(rot, Ω) × R

∗

telsque:

iωεE

− rot H = 0,

iωµH + rot E = 0,

E

_{× n = 0}

sur

∂Ω.

(23)

Le premier desarti les on ernantlarésolution duproblème (23)parune méthode de typeGalerkin dis ontinu est dû àHesthavenet Warburton[HW04℄. Leur étude est basée essentiellementsurunesériedetestsnumériquesetmontrelesdi ultéspourrésoudre(23) lorsquel'onutilisedesux entrés.Pour omprendre esdi ultés,nousdonnonsbrièvement quelques ompléments sur l'approximation numérique duproblème (23). Une méthode de dis rétisation orre tede eproblèmedoit,selon[BP06,Introdu tion℄,vérierlespropriétés suivantes:

1. Isolement du noyau dis ret, 'est-à-dire que les valeurspropres dis rètes appro- hantlespe treessentiel

σ

ess

₌

_{0}

sontséparéesdesautresvaleurspropres.

2. Non-pollutiondu spe tre, 'est-à-direqu'iln'y apasde valeurspropresdis rètes non-physiques.

3. Complétudedu spe tre, 'est-à-direquetoutes lesvaleurspropresphysiquesplus petitesqu'unnombrearbitrairexésontappro hées,pourunmaillagesusamentn.

4. Non-pollutionet omplétudedes sous-espa espropres, 'est-à-direqu'iln'y a pasfon tions propresnon-physiqueset quel'approximationdessous-espa es propres dontlesvaleurspropresn'appro hentpaslespe treessentielontlabonnedimension.

L'utilisation des ux entrés pour appro her (23) onduit à ertains résultats dans [HW04℄quinevérientpasles onditions2ou4.Lesauteursde[HW04℄proposent omme al-ternativedepénaliserplusfortementlesautdes omposantestangentiellesdes hampssurles interfa esentreélémentsvoisinsetdans e aslesrésultatsmontrentquelesmodespropres dis retsnon-physiquesdisparaissent.Uneétudeplusétenduesurl'utilisationde ette péna-lisationestprésentéedans[WE06℄.Enparti ulier,lesauteursde[WE06℄montrentles ana-logiesentrel'approximationduspe treparuneméthodedeGalerkindis ontinuave la pé-nalisationetl'approximationde emêmespe treparunefamilled'élémentsnis onformes

dans

H(rot, Ω)

, ladeuxièmefamilledeNédéle [N

86℄.

Des résultatsthéoriques sont présentés dans[BP06, CN06℄ et expliquentpourquoi er-tainesméthodes dedetypeGalerkindis ontinufon tionnent orre tementpourappro her numériquement le problème (23) . Les résultats numériques illustrant es démonstrations théoriquessontmontrésdans[BHI07℄oùl'on onsidèreaussidesexemplesave desmaillages non onformes,quinesontpasprisen omptedanslathéoriedéveloppéeen[BP06℄.Notons aupassagequel'arti ledesmêmesauteurs orrespondantau al ulduspe treduLapla ien àl'aidedeméthodesdetypeGalerkindis ontinu[ABP06℄traiteindistin tementdes asde

maillages onformesetnon- onformes;ilyadon une di ultésupplémentaireàtraiterle asdeséquationsdeMaxwell.

3.2.2 Illustration numérique

Nousavonsrepris ertainsde es al uls arilsembleque esrésultatsaientunlienétroit ave le hoixd'unebonneméthodepourdis rétiserleséquationsdeMaxwellenrégime har-monique(voir[Buf05℄pourdesrésultatsthéoriqueset[Dur06℄pourdesrésultatsnumériques ave plusieursméthodesdedis rétisation onformesoudetypeGalerkindis ontinusurdes maillagesquadrangulaireset hexaédriques).Dansl'exemplenumérique onsidéréi i,le do-maine

Ω

orrespondau arréunité et on hoisit

µ = ε = 1

. On peutalors déterminerles valeurspropreset ve teurspropresqui sontdelaforme:

ω

±

m,n

=

±

p

m

2

_{+ n}

2

_π

et





(E

±

m,n

)

x

(E

±

m,n

)

y

(H

±

m,n

)

z





=









−

√

m

m

2

_{+ n}

2

cos(nπx) sin(mπy)

[0.35cm]

√

n

m

2

_{+ n}

2

sin(nπx) cos(mπy)

[0.35cm]

_{± i cos(nπx) cos(mπy)}









,

∀m, n ∈ N

ave

(m

6= 0

ou

n

6= 0).

(24)

Onvautiliserunesuitedemaillage endrapeauanglais(voirlagure6)etdis rétiséle problèmeenutilisantuneapproximationpolynomiale

P

1

etdesux entrés.Nousutilisons es maillages en drapeau anglais ar ils ont été étudiés à plusieurs reprises pour mettre en éviden e la présen e de modes propres dis rets non-physiques lorsque la méthode de dis rétisationn'étaitpasadaptéeàl'approximationduproblèmespe tral[BDG99,BFGP99, BBG00℄.

Lesrésultats obtenuspourl'approximationnumériquedesvaleurspropressont rassem-blésdansletableau7.On onstatel'existen ededeuxmodespropresnon-physiquesquisont misenvaleurdansletableau(ligneengras).Ons'attendà eque esmodesdisparaissent ave leranementdumaillage maisils demeurent présentsmêmelorsque l'approximation desmodespropresphysiquesdefréquen eangulaireplusélevéeest déjàdebonnepré ision omme ela est le as i i pour les maillages les plus ns. Des représentations graphiques du hamp éle trique

E

du mode propre orrespondant à

ω

2

m,n

= 8π

2

et d'un des modes propres orrespondant à

ω

2

m,n

= 9π

2

sontmontrées aux gures 7(a)et 7(b). On peut les ompareraux omposantes

E

x

et

E

y

orrespondantaupremiermode proprenon-physique et présentéesàlagure7.C'est unmode proprespatialementtrès os illant ontrairement auxmodesphysiques.

Dans [HW04℄,larésolutiondumêmeproblèmebidimensionnel estréaliséeave des ap-proximationspolynomiales àpartirde l'ordre2 et lesauteurs ne mettent pasen éviden e desmodes propresdis retsnon-physiques.Ils en on luent quel'utilisationde ux entrés onvientsansdoutepourdesproblèmesbidimensionnels equesemblentdémentirles al uls

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fig.6Maillageendrapeauanglaisleplusgrossier.

64 256 1024 1936 1 1.0085 1.0021 1.0005 1.0003 1 1.0085 1.0021 1.0005 1.0003 2 2.0429 2.0109 2.0027 2.0014 4 4.1295 4.0338 4.0085 4.0045 4 4.1295 4.0338 4.0085 4.0045 5 5.2364 5.0619 5.0157 5.0083 5 5.2364 5.0619 5.0157 5.0083 8 7.9372 8.1715 8.0434 8.0230 8.5857 8.3390 8.4378 8.4532 9 9.5992 9.1682 9.0430 9.0228 9 9.5992 9.1682 9.0430 9.0228 8.6581 9.0057 9.1087 9.1248 10 10.8060 10.2270 10.0583 10.0310 10 10.8060 10.2270 10.0583 10.0310

Tab.7Approximationnumériquedespluspetitesvaleurspropresnonnullessur le arré unité. Utilisation d'une méthode de Galerkin dis ontinu

P

1

ave ux entrés. Le tableau ontient les valeursde

ω

2

m,n

/π

2

pour diérents maillages et de petites valeursde

m

et

n

. Lapremière olonnereprendlesvaleursanalytiquesetlessuivanteslesvaleurs al ulées.La premièrelignereprendlenombred'élémentssur haquemaillage.

(a)

ω

2

m,n

= 8

π

2

(b)

ω

2

m,n

= 9

π

2

Fig.7Représentationdedeuxmodespropresphysiques.

(a)

E

x

(b)

E

y

Fig.8 Représentationdes omposantes dumodenon-physique orrespondantà

ω

2

m,n

≈

8.5π

2

réalisésave une approximationpolynomiale

P

1

. Les al uls réalisés i i orroborent néan-moins la on lusion des résultats tridimensionnelsfournisdans [HW04, WE06℄ et indique quesi on onsidère unproblème de avité en utilisantune dis rétisationde typeGalerkin dis ontinu et des ux entrés, il est a priori impossible de montrer que le problème est bien posé. Cela neprésagepar ontre enrien de e qui peut sepasserave l'utilisationde onditionsauxlimitesabsorbantesmais elasoulèvedesinterrogationssurl'approximation numériquedeséquationsdeMaxwellenrégimeharmoniqueave l'utilisationdeux entrés.

4 Résolution et pré onditionnement du système linéaire

Onprésentedans ettese tiondeste hniquesexistantespourlarésolutiondessystèmes linéairesdetypepoint-selleet ertainesspé i itésdontilfauttenir omptepourles équa-tions de Maxwell. Les stratégies proposéespeuvent être onsidérées omme des points de départ pour mettre en pla e des méthodes de résolution plus e a es dans une perspe -tivede al ulséquentielouàtitre desolveurlo al dansune méthodededé ompositionde domaine.

4.1 Résultats génériques pour les systèmes de type point-selle

Pourobtenirune é riturematri ielle,prenons

(V

i

)

1≤i≤N

h

une basede

V

h

.Lesve teurs

E

et

H

, ontenant les oe ients de

E

h

et de

H

h

dans ette base,sontalors solution du système:

 A

B

t

−B

C

 H

E



=

Q

H

Q

E



,

(25)

oùlesmatri eset ve teurssontdénisdelamanièresuivante :

∀i, j ∈ J1; N

h

K, (A)

ij

= a(V

j

, V

i

), (B)

ij

= b(V

j

, V

i

), (C)

ij

= c(V

j

, V

i

),

∀i ∈ J1; N

h

K, (Q

H

)

i

=

X

F∈Γ

a

Z

F

1

2

N

t

n

_F

N

n

_F

H

inc

− N

n

t

_F

E

inc

t

V

i

ds.

(Q

E

)

i

=

X

F∈Γ

a

Z

F

1

2

N

n

F

N

t

n

_F

E

inc

− N

n

_F

H

inc

t

V

_i

ds.

Dans le as quinousintéresse,onutilisedesve teursdebaseàvaleursréelleset au un oe ient omplexe n'apparaîtdans la dénition de

b

en (15), on a don

B = B

. Cette stru tureestbienentenduvalablequeleproblèmesoitbi-outridimensionnel.Onsetrouve ainsifa eàunsystèmedetypepoint-selle, 'est-à-diredelaformesuivante :

M

H

E



=

 A

B

t

−B

C

 H

E



=

Q

H

Q

E



.

(26)

quipeutaussiêtre onsidérésousuneformesymétrique:

M

s

H

E



=

A

B

t

B

_−C

 H

E



=

 Q

H

−Q

E



.

(27)

Pour résoudre e type de systèmes, des appro hes ouplée ou dé ouplée peuvent être envisagées;l'arti le[BGL05℄présenteuninventairedesméthodesquiontétéutiliséespour résoudre etypedesystème.Onenrappellequelquesélémentsgénérauxquipourraientêtre utiliséspournotre as.

4.1.1 Appro he dé ouplée

Dans le as d'une appro he dé ouplée, on réalise une élimination de Gauss par blo s pourrésoudre d'abord unsystème d'in onnue

E

et ensuite unsystème d'in onnue

H

(ou inversement).L'éliminationparblo s onduitainsiàunsystèmedelaforme:

A B

t

0

S

 H

E



=



Q

H

Q

E

+ BA

−1

_Q

H



(28)

où

S

désignele omplément deS huret est égalà

C + BA

−1

_B

t

. Onrésout ainsi parune méthodeitérativelesystème:

iωSE = iω(Q

E

+ BA

−1

Q

H

).

(29)

La multipli ation parle s alaire

iω

est réaliséei i pourque lesystème puisse être vue ommeune dis rétisationparti ulièreduproblèmeduse ondordre:

rot

1

µ

rot E

− ω

2

_{εE =< source >,}

(30)

ave les onditionsauxlimites adéquates.Une foisl'in onnue

E

al ulée,l'in onnue

H

est lasolutiondusystème:

AH = Q

H

− B

t

_E

_.

(31)

Un avantage dans le as des méthodes de typeGalerkin dis ontinu est quela matri e

A

−1

est reuse,diagonaleparblo setpeutse al ulerdemanièreexpli itelorsd'unephase depré-traitement( e n'estpasle as néanmoinspourlesux dé entrés présentésen (9) ); lamatri edu omplémentdeS hurpeutdon être omplètementassembléeetlarésolution d'unsystèmedematri e

A

orrespondjusteàunproduitmatri e-ve teur.

Onpeutaussienvisagerdenepasassemblerlamatri edu omplémentdeS hur, l'essen-tielétantdesavoirtout demêmeee tuer e a ementunproduit matri e-ve teurave

B

et

B

t

etdesrésolutionsdesystèmesdematri e

A

.L'in onvénientmajeurdenepasdisposer expli itementdelamatri eest ladi ultéensuitepourla onstru tiond'un pré ondition-neur.