Nombre dérivé et tangentes
Classe de 1ère
I - Taux de variation et nombre dérivé
Définition :
On considère une fonction f définie sur un intervalle I. Soienta eth deux réels tels que a et a+h soient dans I et h 6=0.
On appelle taux de variationde f de a à a+h le nombre :
f (a+h)− f (a)
(a+h)−a = f (a+h)− f (a) h
Exemple : Considérons la fonction :
f : IR−→IR x 7−→ −x2
2 +3x
représentée ci-contre dans un repère (O;~i;~j).
Notons A(a; f (a)) et M(a+h;f (a+h))
~i O
~j
Cf
A
M
a f (a)
a+h f (a+h)
h
f (a+h)− f (a)
• Calculons, pour la fonction f , le taux de variation entre 1 et 4 : f (4)− f (1)
4−1 = 4−2,5
3 = 1,5
3 =0,5
• De même, calculons le taux de variation de 1 à 1+h pour un h réel : f (1+h)− f (1)
h = −(1+2h)2+3(1+h)−2,5 h
= −1+2h2+h2+3+3h−2,5 h
= −h22+2h h
= −h 2 +2 Définition :
On considère une fonction f définie sur un intervalle I. Soienta eth deux réels tels que a et a+h soient dans I et h 6=0.
Si le taux de variation f(a+h)h−f(a) de f entre a et a+h tend vers un nombre réel l lorsque h tend vers 0 :
• on dit que f estdérivable en a,
Exemple : D’après le calcul précédent, on a :
f (1+h)− f (1)
h = −h
2 +2 et
limh→0−h
2 +2=2 .
On en déduit que f est dérivable en 1 et que f 0(1)=2.
II - Tangente à une courbe
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I dérivable en un réel a deI et A le point d’abscisse a de la courbeCf.
On appelle tangenteà la courbe Cf au point A la droite passant par A de coefficient directeur f 0(a).
Propriété : La tangente à Cf en A a pour équation : y = f 0(a)(x−a)+ f (a).
Preuve : D’après la définition, la tangente a pour coefficient directeur f 0(a) donc elle possède une équation réduite de la forme y = f 0(a)x +p où p est un nombre réel restant à déterminer.
Or cette tangente passe par le point A(a;f (a))donc f (a)= f 0(a)×a+p ⇔p = f (a)− f 0(a)×a On en déduit que l’équation réduite de la tangente est y = f 0(a)x+ f (a)− f 0(a)×a = f 0(a)(x−a)+ f (a).
Exemple : La tangente au point A(1; 2,5) de la courbeCf a donc pour équation :
~i O
~j A
M
a f (a)
a+h f (a+h)
h
f (a+h)− f (a)
y = f 0(1)(x−1)+ f (1) y = 2(x−1)+2,5
y = 2x +0,5
