Lycée Paul Rey Denis Augier
Correction du DM du 29 avril 2019.
Ex 15 page 216 a) ÝÝÑ
AB¨ÝÑ AC “ 1
2 ˆ
ÝÝÑ AB2`
ÝÑAC2´
ÝÝÑ BC2
˙
“ 1
2p32`72´52q “ 33
2 (Puisque ABCD est un parallélo- gramme, on aAB“BC)
b) ÝÝÑ BA¨ÝÑ
CA“ ´ÝÝÑ
AB¨ p´ÝÑ ACq “ 33
2 c) ÝÝÑ
DA¨ÝÝÑ BC“ÝÝÑ
AD¨ÝÝÑ
DA“ ´AD2 “ ´25 (Puisque ABCD est un parallélogramme, on aÝÝÑ AD“ÝÝÑ
BC) Ex 32 apge 217
a) pÝÑu ` ÝÑvq2 “kÝÑuk2`kÝÑvk2`2ÝÑu ¨ ÝÑv “9`4`10“23 b) pÝÑu ´ ÝÑvq2 “kÝÑuk2`kÝÑvk2´2ÝÑu ¨ ÝÑv “9`4´10“3
c) pÝÑu ` ÝÑvq ¨ pÝÑu ´ ÝÑvq “kÝÑuk2´kÝÑvk2“9´4“5 45 page 218.
a) ÝÑu ¨ ÝÑv “kÝÑukˆkÝÑvkˆcospÝÑu;ÝÑvq “2ˆ8ˆcospÝÑu;ÝÑvq “8?
2ôcospÝÑu;ÝÑvq “
?2
2 ñα “ π
4 P r0, πs b) ÝÑu ¨ ÝÑv “kÝÑukˆkÝÑvkˆcospÝÑu;ÝÑvq “2?
3ˆ6ˆcospÝÑu;ÝÑvq “ ´18ôcospÝÑu;ÝÑvq “ ´? 3
2 ñα“ 5π
6 P r0, πs c) ÝÑu¨ÝÑv “kÝÑukˆkÝÑvkˆcospÝÑu;ÝÑvq “?
2ˆ4ˆcospÝÑu;ÝÑvq “ ´4ôcospÝÑu;ÝÑvq “ ´? 2
2 ñα“ ´3π
4 P r´π,0s Ex 50 page 219
1. (a) ÝÝÑ BA¨ÝÝÑ
BC “
ˆ´4´ p´1q 1´2
˙
¨
ˆ1´ p´1q
´4´2
˙
“ ´3ˆ2` p´1q ˆ ´6“0, donc les vecteursÝÝÑ BAetÝÝÑ
BC sont orthogonaux donc le triangle ABC est rectangle en B.
(b) AC2 “ p1´ p´4qq2 ` p´4´1q2 “ 50 et BA2 `BC2 “ p´3q2 ` p´1q2`22 ` p´6q2 “ 50, donc AC2“BA2`BC2 donc le triangle ABC est rectangle en B.
2. Avec le théorème d’Al-kachi :
BC2“AC2`AB2´2ˆABˆACcosp{BACq ô22`p´6q2“32`12`52`p´5q2´2ˆ
?10ˆ
?50 cospBAC{q
ôcosp{BACq “ 40´10´50
´2? 10?
50 “
?5
5 ñ{BAC “arccos ˆ?
5 5
˙
»63˝
Sinon l’on peut remarqué que comme ABC est rectangle en B, le projeté orthogonal de C sur pABq est B, donc
ÝÝÑ AB¨ÝÑ
AC “AB2“10“ABˆACcosp{BACq “? 10?
50 cosp{BACq
Et l’on conclue de la même façon. Enfin Avec la somme des angles dans un triangle, on obtient :
{BCA“180´{ABC´{BAC »27˝
Premiére S 2018-2019 1
