Calculs asymptotiques Feuille 20
o, O, ∼
Exercice20.1
Calculer le développement limité à l’ordre 3 au voisinage de0decos(√
t+t2): on attend des calculs précis et justifiés.
Exercice20.2
DL3(0)def(x) =xesinx−√ 1 +x.
Exercice20.3
Développement limité à l’ordre 3 au voisinage de0deesint.
Exercice20.4
Déterminer la limite lorsquextend vers 1 de xx−x 1−x+ lnx.
Exercice20.5
Calculer la limite en0, si elle existe, desin(x) sin Å1
x2 ã
,(1 + tanx)sinx1 ,tanx−sinx
x3 et sin(xlnx)
x .
Exercice20.6
Donner un équivalent simple en0et en+∞de 1 x − 1
x2 et deln(4x4−2 cosx+ 3).
Exercice20.7
Donnez des équivalents de 1
√3
1 +t3 au voisinage de−1. chx−cosx
(ex−1)52 au voisinage de0et de+∞. lnt
√1−t au voisinage de0et de1.
Exercice20.8
Calculer lim
x→1+
xx−1 ln2(1 +√
x2−1)
Exercice20.9
• Donner un développement asymptotique deun=
(−1)n√
nsinÄ 1
√n
ä
√n+ (−1)n .
• On posean= Å
1 + 1
√n ã−n
. Montrer quean=o Å 1
n2 ã
.
Exercice20.10
Calculer la limite lorsquentend vers+∞de
n
X
k=1
sin k n2.
Quentin De Muynck Sous licencecbea
FEUILLE XX - CALCULS ASYMPTOTIQUES
Exercice20.11
Soit(un)la suite définie paru0= 1et, pour toutn∈N, un+1 = sin(un). 1. Montrer queun−−−−−→
n→+∞ 0.
2. Déterminerα∈Ztel queuαn+1−uαn−−−−−→
n→+∞ `∈R∗+. 3. Donner un équivalent deun.
Exercice20.12
Calculer la limite en+∞, si elle existe, dexsin Å1
x ã
, Å x4
x−1 ã13
−x,cos√
x+ 1−cos√
xet sh√ x2+ 2 ex .
Exercice20.13
Donner des équivalents de :
• f(x) = lnx
√x(1−x)32 au voisinage de0+et de1−.
• f(x) = sinax
ex−1 au voisinage de0.
• f(x) = th 3x−th 2x
x au voisinage de+∞et de0.
Exercice20.14
Soit(an)une suite de réels positifs ou nuls.
Montrer quean−−−−−→
n→+∞ 0⇔ean ∼ 1 +an
n n
.
Exercice20.15
DL100(0)def(x) = ln
99
X
k=0
xk k!
! .
Exercice20.16
On note(un)la suite définie paru1 = 1et, pour toutn≥1, un+1= (n+un−1n )n1. 1. Déterminer la limite deun.
2. Donner un développement deuneno Å1
n ã
.
Exercice20.17
Soitf etgdeux applications deRdansRtelles quef(x) =o(g(x))lorsquextend vers+∞.
Montrer qu’il existe une applicationhdeRdansRtelles quef(x) = o(h(x))eth(x) = o(g(x)), lorsquex tend vers+∞.
Exercice20.18
Déterminer une applicationf :R∗+ →Rtelle qu’au voisinage de+∞, pour tout n∈N∗, lnnx=o(f(x))etf(x) =oÄ
x1nä .
Exercice20.19
Donnez des équivalents au voisinage de+∞de :
• un=
Åln(n+a) ln(n+b)
ãnlnn
• an= arccos Å2
πarctann2 ã
Quentin De Muynck 2 Sous licencecbea
FEUILLE XX - CALCULS ASYMPTOTIQUES
Exercice20.20
DL2(1)def(x) =p x+√
x.
Exercice20.21
Soitf:x7−→tanx− x2 x+ 1
Pourn∈N∗, montrer quefa un seul zéro notéxndansi
nπ, nπ+π 2
h. Donner un développement dexnlorsquentend vers+∞, à la précisiono
Å 1 n3
ã .
Exercice20.22
1. Montrer que, pour toutn∈N, il existe un uniquexn∈R∗+tel queln(xn) +nxn= 0.
2. Montrer quexn−−−−−→
n→+∞ 0.
3. Donner un équivalent dexn.
Exercice20.23
1. Pour toutn∈N∗, montrer que l’équation
n
X
k=1
xk= 1admet une unique solution sur[0,1]notéean. 2. Montrer que la suite(an)est strictement décroissante.
3. Montrer que la suite(an)converge vers une limite`que l’on calculera.
4. Donner un équivalent dean−`.
Exercice20.24
Soit(fn)n∈Net(gn)n∈Ndeux suites d’applications deR+dansR+telles que, pour toutn∈Netx∈R, fn(x)≤ fn+1(x)etgn+1(x)≤gn(x).
On suppose de plus que, pour toutn∈N, fn(x) =o(gn(x)).
Montrer qu’il existe une application H de R+ dans R+ telle que, pour tout n ∈ N, fn(x) = o(H(x)) et H(x) =o(gn(x))lorsquextend vers+∞.
Séries
Exercice20.25
Donner un équivalent simple de
n
X
k=1
1 k+√
k lorsquentend vers l’infini.
Exercice20.26
Déterminer la nature de la série de terme généralun=
n
X
k=1
lnk
nα , oùα∈R.
Exercice20.27
Nature deX
unoùun= ln
√n+ (−1)n
√n+a , aveca∈R.
Exercice20.28
Nature de la série de terme généralan= cos
Å πn2 2n2+an+ 1
ã
, oùa∈R.
Exercice20.29
Déterminer la nature de la série de terme généralun= cos(π√
n2+n).
Quentin De Muynck 3 Sous licencecbea
FEUILLE XX - CALCULS ASYMPTOTIQUES
Exercice20.30
Soitα∈R. On poseun= 1
lnn+ (−1)nnα. Déterminer la nature deun.
Exercice20.31
Soitα∈R. Déterminer la nature de la série de terme généralan= 1 nα
Ä(n+ 1)1+n1 −(n−1)1−1nä .
Exercice20.32
Nature deX
anoùan= arccos Å2
πarctan(n2) ã
Exercice20.33
Déterminer la nature deX
n≥1
(−1)n
√n
n! .
Quentin De Muynck 4 Sous licencecbea
