2 Développements asymptotiques

224 Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.

SoientE un espace métrique,F un espace de Banach surK=RouC, f, g: D⊂E →F et a un point d’accumulation de D. On notera V(a) l’ensemble des voisinages dea.

1 Relations de comparaison

Définition 1. On dit que f est dominée parg au voisinage deaet on notef(x) = O

x→a(g(x))(ouf(x) 4

x→ag(x)) si

∃C>0, ∃V ∈ V(a), ∀x∈V ∩D, kf(x)k6Ckg(x)k.

Remarque 2. f est bornée au voisinage dea ⇐⇒ f(x) = O

x→a(1).

Définition 3. On dit que f est négligeable devantg au voisinage dea et on note f(x) = o

x→a(g(x))(ouf(x)

x→ag(x)) si

∀ε >0, ∃V ∈ V(a), ∀x∈V ∩D, kf(x)k6εkg(x)k.

Notation 4 (Équivalent). f(x) ∼

x→ag(x)⇐⇒ f(x)−g(x) = o

x→a(g(x)).

Remarque 5. Si`∈F, alorsf(x)−−−→

x→a ` ⇐⇒ f(x)−`= o

x→a(1).

Si l’on a déjà précisé que x→a et s’il n’y a pas ambiguïté, on écrira par exemplef(x) =O(g(x))ouf 4g au lieu def(x) = O

x→a(g(x)).

Exemple 6 (suites). E = N∪ {+∞} usuel, a = +∞, F = R. Pour tous α, β >0, γ >1,

1log(n)^αn^βγⁿn!nⁿ (lorque n→+∞).

Exemple 7 (fonctions). E=C“usuel,a=∞,F =C. Pour tout poly- nômeP ∈C[X]de degréd,P(z) =O(z^d)lorsque|z| →+∞.

Attention 8. Il vaut mieux ne plus lire ‘=’ comme une égalité à pro- prement parler, et considérer que Ox→a(g(x)) désigne l’ensemble des fonctions (ou bien l’une d’elles) dominées parg(x)lorsquex→a.

Exemple 9. Si Π(x) est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x, alorsΠ(x)∼_log(x)^x lorsque x→+∞.

Exemple 10. Si(c_n)∈C^Zest la suite des coefficients de Fourier d’une fonctionf C^∞2π-périodique, alors∀k∈N, cn= o

n→±∞(|n|^−k).

Propriétés 11. (Dans les relations ci-dessous, il est sous-entendu quex→a.)

a) f(x) =O(g(x)) ⇐⇒ kf(x)k=O(kg(x)k).

b) “O mange les constantes” :O(λg) =O(g)pour toutλ∈K^∗. c) Si l’on remplace la norme de F par une norme équivalente, on ne

change pasO.

d) O est stable par combinaison linéaire : O(g) +O(g) = O(g) et λ·O(g) =O(g)pour toutλ∈K.

e) Si f(x) =O(g(x))alorskf(x)k^α=O(kg(x)k^α)pour toutα∈R₊. f) Si f₁(x) = O(g₁(x)) et f₂(x) = O(g₂(x)), et si B est bilinéaire

continue, alorsB(f₁(x), f₂(x)) =O(kg₁(x)kkg₂(x)k).

(On a des propriétés analogues pour la relation de négligeabilité.) g) Si f 4g et gest nulle au voisinage dea, alorsf aussi.

h) 4est réflexive ;4etsont transitives.

i) “Unoest unO” :o(g) =O(g).

j) “Un od’unO est uno” :f =O(g) =⇒ o(f) =o(g).

k) “UnOd’un oest uno” :f =o(g) =⇒ O(f) =o(g).

l) Changement de variable. Soient b un point d’accumulation d’une partie D⁰ d’un espace métrique, et ϕ:D⁰ →D telle queϕ(y)→a lorsquey→b. Alorsf(x) = O

x→a(g(x)) =⇒ f◦ϕ(y) = O

y→b(g◦ϕ(y)), et on a la même formule pouro.

Exemple 12. Pour toutP ∈C[X],P(n)e⁻ⁿ=o(1).

Exemple 13. DansE=Mn(K),

det(Id +H) = 1 + tr(H) +O(H²) lorsqueH →0.

2 Développements asymptotiques

2.1 Définitions et exemples

Définition 14. Uneéchelle de comparaison au point aest une famille E_a de fonctions définies au voisinage dea(sauf peut-être ena) telle que

∀(h, k)∈ Ea2, h6=k =⇒ h

a k ou k

a h .

Exemple 15. {x7→(logx)^αx^βe^cxγ |α, β, c∈R, γ >0}est une échelle de comparaison en+∞pour les fonctions de la variable réelle.

Définition-proposition 16. Soitm∈N^∗. On appelle développement asymptotique à m termes de f:D → F par rapport à une échelle de comparaison Ea au voisinage de a toute expression de la forme c1f1+ c2f2+· · ·+cmfm vérifiant

1. c_i∈Ket f_i∈ Ea pour tout16i6m, 2. fi

a fi+1 pour tout16i < m, 3. f(x) =Pm

i=1cifi(x) + o

x→a(fm(x)).

Si l’on impose de plus quecm6= 0, un tel développement est unique. Dans le cas particulier oùDest un intervalle deR,a∈R, etfi:x7→(x−a)ⁱ, 16i6m, on parle dedéveloppement limité à l’ordremena.

Exemple 17. Soit pn le périmètre du polygône régulier à n sommets inscrit dans le cercle unité. Alorsp_n= 2π−_3n^π₂ +_60n^π5₄ +o(_n¹₅).

Théorème 18 (Formule de Taylor-Young). On suppose que D est un intervalle deRet quef:D→F est dérivablenfois ena∈D. Alors

f(a+h) =f(a) +f⁰(a)h+f⁰⁰(a)h²

2 +· · ·+f⁽ⁿ⁾(a)hⁿ n! + o

h→0(hⁿ).

Exemple 19 ([Gou, p. 90]). tan(x) =x+^x₃³ +^2x₁₅² +^17x₃₁₅⁷ + o

x→0(x⁷).

Applications 20. Les développements asymptotiques permettent de déterminer la limite d’une forme indéterminée, de préciser la position relative d’une courbe par rapport à une tangente ou une asymptote, de calculer les parties polaires de fractions rationnelles.

Exemple 21. Pour toutz∈C,(1 + ^z_n)ⁿ−−−−−→

n→+∞ e^z. Exemple 22. Soitf(x) =x³sin(¹_x)six6= 0etf(0) = 0.

f(x) =x³(_x¹−_6x¹3+_120x¹ 5+o(_x¹5)) =x²−¹₆+_120x¹ 2+o(_x¹2)lorsque x → ±∞. La parabole d’équation y = x²−¹₆ est donc asymptote (par valeurs inférieures) à la courbe représentative def en±∞.

f admet leDL2(0) f(x) =O(x³) =o(x²).f est donc dérivable en0 et f⁰(0) = 0. Pour autant, f n’est pas deux fois dérivable en0.

Exemple 23. Soit la fraction rationnelle f(X) := _X^X3(X+1)²⁺¹ . On a x³f(x) = (x²+ 1)(1−x+x²+o(x²)) = 1−x+ 2x²+o(x²)lorsque x→0, donc la partie polaire def relative au pôle0 est _X¹3−_X¹2 +_X².

2.2 Obtention de développements asymptotiques

Proposition 24 (Comparaison série-intégrale, [Gou, p. 204]).

Soitf une fonction de[n0,+∞[dansR+décroissante. AlorsP

n>n₀f(n) et R+∞

n0 f(t)dt sont de même nature, et 1. s’il y a divergence,Pn

k=n₀f(k)−Rn

n₀f(t)dtconverge dansR₊, 2. sinon,R+∞

n+1f(t)dt6P

k>nf(k)6R+∞

n f(t)dtpour toutn>n₀.

Exemple 25 (Série harmonique). SoitHn :=Pn k=1

1

k, n>1. Il existe γ∈R+ tel queHn= log(n) +γ+o(1)lorsquen→+∞.

Exemple 26. Pour tout0< α <1,Pn

k=1k^−α= _1−α¹ n^1−α+o(n^1−α).

Pour toutα >1,P

k>n 1

k^α = _α−1¹ n^1−α+o(n^1−α).

Théorème 27 (Sommation des relations de comparaison, [Gou]).

SoientPun ∈F et Pvn ∈R+deux séries telles que un=o(vn).

1. SiPvn converge, alorsPun cv. (abs.) etP

k>nun=o(P

k>nvn).

2. SiPv_n diverge alorsP

k6nu_n=o P

k6nv_n .

Exemple 28. Soit pour toutn>1,εn:=Hn−log(n)−γ.

Alorsεn−εn+1=−_n+1¹ +log(1+¹_n) =_2n¹2+o(_n¹2), doncεn= _2n¹ +o(_n¹).

D’oùH_n= log(n) +γ+_2n¹ +o(_n¹)lorsquen→+∞.

Exemple 29 (Sinus itéré, [Gou, p. 219]). Soient u0 ∈ ]0,^π₂] et pour n>1,u_n = sin(u_n−1). Alorsu_n =»₃

n −³

√3 10

logn n√

n +o(^log_n^√n_n). Dév. 1 Théorème 30 (Intégration des relations de comparaison, [Gou]).

Soient f: [a, b[ → K, g: [a, b[ → R+ deux applications localement intégrables sur[a, b[(−∞< a < b6+∞) telles quef(x) = o

x→b⁻

(g(x)).

1. Sig est intégrable, alorsf aussi etRb

xf(t)dt= o

x→b⁻

ÄRb xg(t)dtä

. 2. Sig n’est pas intégrable alorsRx

a f(t)dt= o

x→b⁻

Rx a g(t)dt

. (Lesthéorèmes 27et 30admettent des énoncés analogues pourO.) Exemple 31 (Logarithme intégral, [Gou, p. 169]).

Z x

2

dt logt = x

logx

n

X

k=0

k!

log^kx+o x logⁿ⁺¹x

!

lorsquex→+∞.

Applications 32. Les développements asymptotiques peuvent être uti- lisés pour étudier la convergence d’une série ou d’une intégrale.

Exemple 33 ([Gou, p. 214]). P

>2 (−1)ⁿ

(−1)ⁿ+n^α converge ssiα >¹/2. Exemple 34. La sériePsin(π√

n²+ 1)est convergente.

2.3 Autres méthodes

Théorème 35 (Méthode de Laplace, [Far, casn= 1 ou2, p. 103]).

Soient f: [a, b[→Retϕ∈ Cⁿ([a, b[,R)(n>1) telles que : (i) f est continue enaetf(a)6= 0;

(ii) ϕadmet enaun minimum global strict,ϕ(b⁻)> ϕ(a),ϕ⁽ⁱ⁾(a) = 0 pour tout16i < net ϕ⁽ⁿ⁾(a)>0;

(iii) il existe t₀ > 0 tel que x 7→ e^−tϕ(x)f(x) est Lebesgue-intégrable pour toutt>t₀.

Alors, en notant Γla fonction Gamma d’Euler, Dév. 2 I(t) :=

Z b

a

e^−tϕ(x)f(x)dx ∼

x→a

Γ(¹/n) n f(a)ⁿ

  n!

ϕ⁽ⁿ⁾(a)te^−ϕ(a)t.

Application 36 (Formule de Stirling). Γ(t+ 1) ∼

t→+∞

√2πt^t+1/2e^−t. Théorème 37 (Formule d’Euler-Maclaurin, [Gou, p. 301]). Soient m < ndansZ,r∈N^∗ etf ∈ C^r([m, n],C). Alors

n

X

k=m

f(k) = Z n

m

f(t)dt+1

2[f(m) +f(n)] +

r

X

k=2

bk

k![f^(k−1)(n)−f^(k−1)(m)]

+(−1)^r+1 r!

Z n

m

B˜r(t)f^(r)(t)dt,

où – (B_k)_k∈N est la suite des polynômes de Bernoulli définie parB₀= 1 et B_k⁰ =kB_k−1, R1

0 Bk(x)dx= 0pour toutk>1,

– pour toutk∈N,bk=Bk(0)et B˜k est la fonction1-périodique sur Rqui coïncide avecBk sur]0,1[et vaut ¹₂(Bk(0) +Bk(1))en0.

Application 38. Hn= logn+γ+_2n¹ +Pr−1 k=2

(−1)^k−1b_k

k n^−k+O(n^−r) pour toutr∈N^∗.

3 Autres exemples de développements asymptotiques

Exemple 39 ([BBR, p. 27]). Soit pour toutn ∈N^∗, dn le nombre de diviseurs (dansN^∗) de l’entiern. Alors

X

n6x

d_n=xlogx+ (2γ−1) + O

x→+∞(√ x)

oùγest la constante de l’exemple 25.

Exemple 40. Lorsquex→+∞, Z x

0

sint t dt= π

2 −cosx

x −sinx

x² + 2cosx

x³ + 6sinx x⁴ +o

Å1 x⁵

ã .

Exemple 41 ([Die, p. 98]). Pour toutn∈N, Z +∞

x

e^−t2dt=e^−x2

n

X

k=0

(−1)^k(2k)!

k!2^2k+1x^2k+1 + o

x→+∞

Ç e^−x2 x²ⁿ⁺¹

å .

Exemple 42 (Perturbation d’une équation différentielle). Soit E_ε:

® x⁰⁰+x+εx²= 0

x(0) = 0, x⁰(0) = 1, ε>0.

La solution deE0 estx0(t) = sin(t).

On peut chercher une solution deEεau premier ordre enε:xε(t) = x0(t) +εω(t) +O(ε²)uniformément ent, avecω(t)à déterminer. En réinjectant dansEε,ω(t)doit vérifierω⁰⁰+ω+ sin²t= 0,ω(0) = 0, ω⁰(0) = 0. On trouvex_ε(t) = sin(t) +ε4 cos(t)−cos(2t)−3

6 .

e^x 1 +x+^x₂²+· · ·+^x_n!ⁿ+o(xⁿ)

cosh(x) 1 +^x₂² +^x₂₄⁴ +· · ·+_(2p)!^x2p +o(x^2p+1) sinh(x) x+^x₆³ +₁₂₀^x5 +· · ·+_(2p+1)!^x2p+1 +o(x^2p+2) tanh(x) x−^x₃³+^2x₁₅⁵ −^17x₃₁₅⁷+o(x⁸)

cos(x) 1−^x₂²+^x₂₄⁴+· · ·+ (−1)^{p x}_(2p)!^2p +o(x^2p+1) sin(x) x−^x₆³ +₁₂₀^x5 +· · ·+ (−1)^{p x}_(2p+1)!^2p+1 +o(x^2p+2) tan(x) x+^x₃³+^2x₁₅⁵ +^17x₃₁₅⁷+o(x⁸) (1 +x)^{α (α∈R)} 1 +αx+^α(α−1)x₂ ² +· · ·+α(α−1)···(α−n+1)xⁿ

n! +o(xⁿ)

1

1−x 1 +x+x²+· · ·+xⁿ+o(xⁿ)

log(1 +x) x−^x2

2 +^x₃³+· · ·+ (−1)^n−1xn

n +o(xⁿ) arctan(x) x−^x3

3 +^x₅⁵+· · ·+ (−1)^{p x2p+1}

2p+1 +o(x^2p+2) arcsin(x) x+^x₆³+^3x₄₀⁵+· · ·+

2p p

x^2p+1

4^p(2p+1) +o(x^2p+2) argth(x) x+^x₃³+^x₅⁵ +· · ·+^x_2p+1^2p+1+o(x^2p+2) argsh(x) x−^x3

6 +^3x₄₀⁵ +· · ·+ (−1)^p

2p p

x^2p+1

4^p(2p+1) +o(x^2p+2)

Figure1 – Développements limités des fonctions usuelles.

Références

[BBR] NicolasBonnault, Jean-FrançoisBurnolet PhilippeRoche: Analyse, Math Sup & Math Spé : exercices corrigés posés à l’oral des concours.

[Die] JeanDieudonné: Calcul infinitésimal. 2^ème édition.

[Far] JacquesFaraut: Calcul intégral.

[Gou] XavierGourdon: Analyse. 2^ème édition.

[Rou] François Rouvière: Petit guide de calcul différentiel à l’usage de la licence et de l’agrégation. 3^ème édition.

Autres développements possibles

— Méthode du col [Die].

— Méthode de la phase stationnaire [Die].

— Développements asymptotiques de fonctions arithmétiques.