Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚20 D´ enombrement
Exercice 180 (Mod´elisation et lignes d’une compagnie a´erienne)
Une compagnie a´erienne dessert 6 villes : Lille, Rennes, Nice, Bordeaux, Nantes et Dijon. On appelle ligne a´erienne desservie par cette compagnie tout trajet joignant deux de ces villes (Rennes-Nice et Nice-Rennes d´esignent la mˆeme ligne).
1. Combien la compagnie met-elle de lignes en service ?
2. Quel serait le nombre de lignes si la compagnie desservait une ville suppl´ementaire ?
Exercice 181 (Mod´elisation et jeu de d´es)
On dispose de trois d´es : un d´e vert, un d´e bleu et un d´e rouge. On lance les trois d´es.
1. Combien y a-t-il de r´esultats possibles ? 2. Combien de fois peut-on obtenir un 421 ?
Exercice 182 (Mod´elisation et marathon)
Soitn∈N∗.ncoureurs `a pied participent au marathon d’Orl´eans. On suppose qu’il n’y a pas d’ex-æquo dans le classement final.
1. Donner le nombre de classements possibles.
2. Donner le nombre de podiums possibles.
Exercice 183 (Mod´elisation et jetons dans un sac)
Un sac contient 26 jetons portant les lettres de l’alphabet. On tire successivement, sans remise, 6 lettres. Combien peut-on former de mots de 6 lettres :
1. qui soient diff´erents ?
2. tels que les lettres de rang pair soient des voyelles et les autres des consonnes ? 3. tels que les lettres de rang pair soient des voyelles ?
Exercice 184 (Mod´elisation et ´el`eves d’une classe) Dans une salle se trouvent 8 gar¸cons et 8 filles.
1. De combien de mani`eres peut-on les r´epartir en couples fille/gar¸con ?
2. De combien de mani`eres peut-on les disposer en file indienne en alternant les sexes ?
Exercice 185 (Mod´elisation et jeu de dominos) 1. Combien y a-t-il de pi`eces dans un jeu de dominos ?
2. On tire successivement 2 dominos. Combien y a-t-il de tirages de deux dominos ayant un num´ero en commun ?
Exercice 186 (Mod´elisation et jeu de cartes)
On dispose d’un jeu de 32 cartes. Combien peut-on former de mains de 5 cartes comportant : 1. exactement un as ?
2. au moins un as ? 3. une couleur unique ?
4. l’as de tr`efle et 2≪pique≫ exactement ? 5. un as exactement et 2≪pique≫ exactement ?
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Exercice 187 (Formule du crible pour trois parties d’un ensemble fini)
SoitE un ensemble fini. SoientA1, A2, A3 des parties de E. D´eduire du r´esultat du cours sur le cardinal de la r´eunion de deux parties d’un ensemble fini que :
Card(A1∪A2∪A3) = Card(A1) + Card(A2) + Card(A3)
− (Card(A1∩A2) + Card(A1∩A3) + Card(A2∩A3)) + Card(A1∩A2∩A3).
Exercice 188 (Autour du cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini) SoitE un ensemble fini.
1. D´emontrer que l’ensemble
F :={ (A, B)∈ P(E)2|A∪B =E et A∩B=∅}
est fini et calculer son cardinal.
2. D´emontrer que l’ensemble
G:={ (A, B)∈ P(E)2|A⊂B}
est fini et calculer son cardinal.
Exercice 189 (Uplets d’entiers dont les composantes sont rang´ees dans un certain ordre) Soitn∈N∗.
1. D´eterminer le nombre de couples (x, y)∈J1, nK2 tels quex < y.
2. D´eterminer le nombre de couples (x, y)∈J1, nK2 tels quex≤y.
3. D´eterminer le nombre de triplets (x, y, z)∈J1, nK3 tels quex < y < z.
Exercice 190 (Somme des k nk
et somme des k2 nk
, o`un est un entier fix´e) 1. Soitn∈N∗. Calculer la somme
n
X
k=0
k n
k
.
2. Soitn∈N≥2.
(a) Soitk∈J2, nK. Montrer quek(k−1) n
k
=n(n−1) n−2
k−2
.
(b) En d´eduire la valeur de la somme
n
X
k=0
k2 n
k
.
Exercice 191 (Formule de Vandermonde)
Soientaet bdes entiers naturels non nuls. Soitn∈J0, a+bK.
1. SoitEl’ensemble des parties deJ0, a+bK`an´el´ements. Calculer Card(E).
2. Soitk∈J0, nK. SoitEk l’ensemble des parties deJ0, a+bK`a n´el´ements, dont k´el´ements appartiennent
`aJ0, aK. Calculer Card (Ek).
3. En d´eduire que :
n
X
k=0
a k
b n−k
= a+b
n
(Formule de Vandermonde).
4. Que vaut
n
X
k=0
n k
2
?
Exercice 192 (Formule des colonnes)
Soitn∈N∗ et soitp∈J0, n−1K. D´eduire de la relation de Pascal pour les coefficients binomiaux que :
n
X
k=p
k p
= n+ 1
p+ 1
(Formule des colonnes).
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