L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚6 D´ enombrement
F Exercice 88 : Jouer au loto consiste `a cocher un ensemble de 6 num´eros parmiJ1,49K. Une fois fait, ce choix s’appelle une grille.
1. D´eterminer le nombre total de grilles.
2. SoitF l’ensemble des grilles qui ne comportent aucun num´ero cons´ecutif.
(a) Prouver queF =
(a1, a2, . . . , a6)∈J1,49K
6 : ∀i∈J1,5K ai+1≥2 +ai . (b) SoitG=
(i1, i2, . . . , i6)∈J1,44K
6 : i1< i2< . . . < i6 . D´eterminer Card(G).
(c) i. Montrer que pour tout (a1, a2, . . . , a6)∈F, (a1, a2−1, a3−2, a4−3, a5−4, a6−5)∈G.
ii. Prouver que l’application
f:F →G; (a1, a2, . . . , a6)7→(a1, a2−1, a3−2, a4−3, a5−4, a6−5) est une bijection.
iii. En d´eduire Card(F).
Exercice 89 : Dans une entreprise, il y a 800 employ´es. Parmi eux, 300 sont des hommes, 352 sont membres d’un syndicat, 424 sont mari´es, 188 sont des hommes syndiqu´es, 166 sont des hommes mari´es, 208 sont syndiqu´es et mari´es, 144 sont des hommes mari´es syndiqu´es. Combien y a-t-il de femmes c´elibataires non syndiqu´ees ?
Exercice 90 : Une compagnie a´erienne dessert 6 villes : Lille, Rennes, Nice, Bordeaux, Nantes et Dijon. On appelle ligne a´erienne desservie par cette compagnie tout trajet joignant deux de ces villes (Rennes-Nice et Nice-Rennes d´esignent la mˆeme ligne).
1. Combien la compagnie met-elle de lignes en service ?
2. Quel serait le nombre de lignes si la compagnie desservait une ville suppl´ementaire ?
Exercice 91 : On dispose de trois d´es ; un d´e vert, un d´e bleu et un d´e rouge. On lance les trois d´es.
1. Combien y a-t-il de r´esultats possibles ? 2. Combien de fois peut-on obtenir un 421 ?
Exercice 92 : Soitn∈N∗.n coureurs `a pied participent au marathon d’Amilly. On suppose qu’il n’y a pas d’ex-æquo dans le classement final.
1. Donner le nombre de classements possibles.
2. Donner le nombre de podiums possibles.
Exercice 93 : Combien peut-on former de nombres de 9 chiffres en utilisant trois chiffres 2, deux chiffres 5 et quatre chiffres 7.
Exercice 94
1. Combien y a-t-il d’anagrammes du mot ´ev`enement? 2. Combien y en a-t-il si on enl`eve les accents ?
1
Exercice 95 : Un sac contient 26 jetons portant les lettres de l’alphabet. On tire successivement, sans remise, 6 lettres. Combien peut-on former de mots de 6 lettres :
1. qui soient diff´erents ?
2. tels que les lettres de rang pair soient des voyelles et les autres des consonnes ? 3. tels que les lettres de rang pair soient des voyelles ?
Exercice 96 : Dans une salle se trouvent 8 gar¸cons et 8 filles.
1. De combien de mani`eres peut-on les r´epartir en couples gar¸con/fille ?
2. De combien de mani`eres peut-on les disposer en file indienne en alternant les sexes ?
Exercice 97 :
1. Combien y a-t-il de pi`eces dans un jeu de dominos ?
2. On tire successivement 2 dominos. Combien y a-t-il de tirages de deux dominos ayant un num´ero en commun ?
Exercice 98 : Soit n ∈ N∗. D´eterminer le nombre le surjections d’un ensemble `a n+ 3 ´el´ements dans un ensemble `an´el´ements.
Exercice 99 : Un club de football est compos´e de 20 joueurs dont 3 gardiens de but. Combien d’´equipes diff´erentes de 11 joueurs dont un gardien peut-on former ? (On ne tient pas compte de la place des joueurs, sauf pour les gardiens qui ne peuvent jouer que dans les buts.)
Exercice 100 : On dispose d’un jeu de 32 cartes. Combien peut-on former de mains de 5 cartes comportant : 1. exactement un as ?
2. au moins un as ? 3. une couleur unique ?
4. l’as de tr`efle et 2pique exactement ? 5. un as exactement et 2pique exactement ?
Exercice 101 : SoitE un ensemble de cardinaln(n∈N∗).
1. Combien y a-t-il de couples (A, B) de partiesE tels que : A∪B =E et A∩B=∅? 2. Combien y a-t-il de couples (A, B) de partiesE tels que : A⊂B?
Exercice 102 : Soitn∈N∗.
1. D´eterminer le nombre de couples (x, y)∈J1, nK
2 tels quex > y.
2. D´eterminer le nombre de couples (x, y)∈J1, nK
2 tels quex≥y.
3. D´eterminer le nombre de triplets (x, y, z)∈J1, nK
3 tels quex > y > z.
F Exercice 103 : Soit p ∈ N∗. Combien y a-t-il de nombres strictement inf´erieurs `a 10p dont la somme des chiffres est 8 ?
F Exercice 104 : SoientA, B etC trois parties d’un mˆeme ensemble finiE. On suppose que :
Card(E) = 20 Card(A) = 11 Card(B) = 14 Card(C) = 10
Card(A∩B) = 7 Card(A∩C) = 6 Card(A∩B∩C) = 5.
Calculer Card(B∪C), Card(A∩B), et Card((A∩B)∪(A∩C)∪(B∩C)).
2
F Exercice 105 : Soient x, y, z des variables r´eelles. Soient n ∈ N≥6. Quel est le coefficient de xy3z2 dans le d´eveloppement de (1 +x+y+z)n?
F Exercice 106 1. Soitn∈N∗.
(a) Soitk∈J1, nK. Montrer quek n
k
=n n−1
k−1
.
(b) Calculer la somme
n
X
k=0
k n
k
.
2. Soitn∈N≥2.
(a) Soitk∈J2, nK. Montrer quek(k−1) n
k
=n(n−1) n−2
k−2
.
(b) Calculer la somme
n
X
k=0
k(k−1) n
k
.
3. Calculer la somme
n
X
k=0
k2 n
k
pour toutn∈N≥2.
Exercice 107 : Dans une assembl´ee, se trouvent r´eunisahommes etb femmes (a, b∈N∗). Soitn∈J0, a+bK. On noteE l’ensemble des comit´es constitu´es de npersonnes choisies dans l’assembl´ee et pour toutk∈J0, nK, Ek l’ensemble des comit´es denpersonnes choisies dans l’assembl´ee, qui comportentkhommes.
1. Donner une relation entre Card(E),Card(E0),Card(E1), . . . ,Card(En).
2. Calculer Card(E).
3. Calculer Card(Ek), pour toutk∈J0, nK. 4. En d´eduire que :
n
X
k=0
a k
b n−k
= a+b
n
(Formule de Vandermonde).
5. Que vaut
n
X
k=0
n k
2
?
F Exercice 108 Soitn∈N∗ et soitp∈J0, n−1K.
1. Soit k ∈Jp+ 1, nK. En utilisant la relation de Pascal pour les coefficients binomiaux, exprimer k
p
en fonction de
k+ 1 p+ 1
et k
p+ 1
. 2. En d´eduire que :
n
X
k=p
k p
= n+ 1
p+ 1
(Formule des colonnes).
3
