SERIE D’EXRCICE
Mr. KARMOUS Abdelhamid EXERCICE N°1
Dans la figure ci-contre ABCD e s t un Losange de centre O et les triangles CDE et EDF sont des triangles rectangles isocèles de sommets principaux respectifs D et F.
On suppose que le plan est oriente.
I ) On considère R la rotation d' angle ( -
2
) qui envoie A en B.
a) Construire l e centre I de R et le point A'=R(D) b) Préciser la nature du triangle A'BC.
2) Sort s la similitude directe telle que S(D)=C et S(A) = A ' . a) Déterminer son rapport et une mesure de son angle.
b) Prouver que E est le centre de S.
3) Soit B'=S(B) et J = C•B'. Montrer que S(0)=J.
4) Soit H=SJ(A') . Montrer que (FD). (CH) et CH=2FD.
EXERCICE 2
Dans Ie plan orients on considère trois points A, B et C non alignes. A', B' et C' sont trois points a l'extérieur du triangle ABC, tels que Ies triangles A'BC, B'CA et C'AB soient équilatéraux .
J, K, L sont les centres de gravité respectifs des triangles A'BC, B'CA et C'AB.
1) Soit SA la similitude directe de centre A qui transforme le point K en C.
Montrer que le rapport de cette similitude est 3 .
2) Soit SB la similitude directe de centre B qui transforme le point C en J. Démontrer que SB O S A est une rotation R dont on précisera une mesure de l'angle.
3) En déduire que le triangle J,KL est équilatéral en montrant que le point L est Ie centre de la rotation R.
EXERCICE 3
Dans le plan orienté on considère un triangle ABC rectangle et isocèle en A. On suppose que ( , )
2
[2]
On note A' le symétrique de A par rapport au point C.
I) Déterminer le rapport et l'angle de la similitude directe S qui transforme A' en C et C en B.
2) Quelle est la transformée de la droite (AC) par la similitude S.
3) Soit le centre de la similitude. Démontrer que le triangle CB est rectangle isocèle. En déduire une construction de .
EXERCICE 4
Dans le plan oriente, on considère un rectangle OABC tel que OA = 20C et ( , ) 2
[ 2] . ( Pour la figure, on
prendra OA = 4 (en cm )).
La médiatrice du segment [ OB ] coupe la droite ( OA ) en I et la droite ( OC ) en I'. Soit J le symétrique du point 0 par rapport au point I et J' le symétrique du point 0 par rapport a I'.
1) a – Montrer que les triangles OBJ et OBJ' sont rectangles en B.
b – En déduire que les points B, J et J' sont alignes.
2) Soit S Ia similitude directe telle que S(J) = 0 et S(0) = J '.
a – Déterminer une mesure de l'angle de S.
b – Montrer que le point B est le centre de la similitude S . c – Donner le rapport de la similitude S.
3) Soit g la similitude indirecte telle que g (J) = 0 et g( 0 ) = J'.
a – Donner le rapport de g
b – En déduire que la similitude g admet un unique point invariant que L'on notera . c – Déterminer gog (J) et en déduire que le point appartient a la droite (JJ').
d – Construire le point ainsi que l'axe D de la similitude g
