g2965. Les premiers en Pythagorie MB
On considère les triplets pythagoriciens (a,b,c) dont deux des trois termes sont des nombres premiers et auxquels on associe les triangles rectangles ABC de côtés a,b,c.
Recenser tous les triplets tels que le plus petit angle aigu du triangle ABC est supérieur à 2°.
Avec u et v entiers, dans le triplet (u² - v², 2uv, u²+v²), 2uv n’est pas premier, et u² - v² est divisible par u – v. Pour que u² – v² ait une chance d’être premier il faut u = v+ 1.
Les triplets sont de la forme (2v+1, 2v(v+1), 2v²+2v+1)
On cherche v tel que 2v+1 et 2v²+2v+1 soient premiers, avec (2𝑣(𝑣+1))2𝑣+1 > tan(2°)
2𝑣+1
(2𝑣(𝑣+1)) > 0,0349207, soit v < 28.
Le plus petit nombre du triplet 2v+1 doit être un nombre premier inférieur à 57 . Il n’existe que les cinq solutions indiquées dans ce tableau.
2v+1 2v(v+1) 2v²+2v+1 (2v+1)/(2v(v+1))
3 4 5 0,750
5 12 13 0,416
11 60 61 0,183
19 180 181 0,105
29 420 421 0,069