A416 – Des échelles …pythagoriciennes
On cherche les solutions dans lesquelles les six segments AC, AB,CB,CD,AD et PH sont des nombres entiers. Les triangles ABC et ACD sont donc pythagoriciens. Les triangles
pythagoriciens (a,b,c) dits « primaires » sont respectivement par valeur croissante de a : (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17), (9,40,41), (11,60,61), (12,35,37),…(20,21,29) ,…
tandis que les triangles pythagoriciens dits « secondaires » sont de la forme : (3*a,4*a,5*a), (5*a,12*a,13*a), (7*a,24*a,25*a), etc…
Par ailleurs les triangles CPH et CAD étant semblables entre eux de même que les triangles APH et ABC, on a les relations PH/AD = CH/AC = (AC-AH)/AC = 1 – AH/AC = 1 – PH/CB. Il en résulte 1/PH = 1/AD+1/CB PH = AD*CB/(AD+CB)
D’où toute une batterie de solutions qui satisfont les conditions sur la largeur de l’allée et la hauteur du point P.Elles sont classées par valeur croissante de la largeur de l’allée :
La solution qui paraît la plus économique tout en étant compatible avec la largeur de l’allée et la hauteur du point P est repérée par la ligne verte.
L’allée a une largeur de 240 cm, les échelles ont respectivement 300 et 348 cm de longueur, le points P est à une hauteur de 105 cm et les points d’appui des échelles le long des murs sont à 180 et 252 cm de hauteur.
largeur catégorie distance longueur catégorie distance longueur hauteur P
de l'allée T.P.P. AD échelle 1 T.P.P. CB échelle 1
224 1 168 280 4 420 476 120
240 1 180 300 8 252 348 105
280 1 210 350 2 672 728 160
288 2 120 312 7 840 888 105
315 4 168 357 5 1400 1435 150
384 2 160 416 7 1120 1184 140
Catégories de Triangles Pythagoriciens Primaires retenues:
1 (3,4,5)
2 (5,12,13)
3 (7,24,25)
4 (8,15,17)
5 (9,40,41)
6 (11,60,61) 7 (12,35,37) 8 (20,21,29)
