G2965 – Les premiers en Pythagorie
On considère les triplets pythagoriciens (a,b,c) dont deux des trois termes sont des nombres premiers et auxquels on associe les triangles rectangles ABC de côtés a,b,c.
Recenser tous les triplets tels que le plus petit angle aigu du triangle ABC est supérieur à 2°.
Solution proposée par Nicolas Petroff
Posons et et et .
Les deux côtés de l’angle droit ont pour longueurs CA = et CB , L’hypoténuse a pour valeur AB .
L’angle entre AB et AC est défini par : cos( ) = .
Pour des petites valeurs de , on a cos( ) u = v + 1.
Pour p = 5 et q = 3 , c’est-à-dire pour = 36.869 degrés, on obtient u = 2 et v = 1 .
Supposons que pour toutes les valeurs de admissibles (entre 36.869 degrés et de très faibles valeurs) , la relation u = v + 1 reste vraie
et le tableau suivant :
1 2 4 5 3 0.8 36,869
2 3 12 13 5 0.9231 22,619
5 6 60 61 11 0.9836 10,388
9 10 180 181 19 0.9945 6,025 14 15 420 421 29 0.9976 3,948 29 30 1740 1741 59 0.9994 1,942
Les valeurs de v entre 2 et 5, ainsi que entre 5 et 9, 9 et 14, 14 et 29, ne donnent pas de nombres premiers.
Les triplets admissibles sont pour les valeurs de v = 1,2,5,9,14 les triplets : (3,4,5) , (5,12,13) , (11,60,61) , (19,180,181) , (29,420,421).
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