Description microscopique de la pression

MPSI2, Louis le Grand

Description microscopique de la pression

ticulairen^?stationnaire. On note #»v la vitesse d’une particule, de coordonnées carté- siennes(v_x, v_y, v_z). On notew =q

< v_x²>+< v²_y>+< v_z>² la moyenne quadra- tique de leurs normes. Parisotropiedistribution des vitesses, on a nécessairement :

< v²_x>=< v²_y>=< v_z²>=w²/3.

I Modèle naïf

Dans ce modèle, les particules ont toutes la même vitesse en norme et ne peuvent que se diriger selon les directions+e#»_x,−e#»_x,+e#»_y,−e#»_y,+e#»_z,−e#»_z. Toujours par isotropie la proportion des particules se dirigeant dans chacune de ces directions est¹/6. La vitesse de chacune doit de plus êtrewpour que la moyenne quadratique de toutes les vitesses restew.

On détermine la force exercée sur une sur- face élémentaire dS perpendiculaire àe#»z, en considérant les molécules qui viennent la frapper. D’après la loi fondamentale de la dynamique, la variation pendantδtde la quantité de mouvement#»p d’une molécule s’exprime à l’aide de la forceδF#»_S→mexer- cée par la paroi sur la molécule selon :

∆#»p =δF#»_S→mδt.

dSe#»_z

v_zδt

v_zδt

D’après le principe des actions réciproque, la force exercée par la paroi sur la molécule est donc :

δ#»

F_m→S =−δ#»

F_S→m=−∆#»p δt .

• seules les molécules se propageant selon+e#»z peuvent atteindre la paroi, on ne doit donc prendre en compte que¹/6de la densité totale,

• les molécules qui atteignent la paroi pendantδtétaient celles contenues dans le cylindre de baseδSet de hauteurvz=w: leur nombre est doncδN =n^?δSwδt/6,

• on peut considérer pour simplifier que chaque molécule rebondit sur la paroi, sa variation de quantité de mouvement est alors :∆#»p =−2mwe#»z.

En sommant sur toutes les molécules atteignant la paroi pendantδt, on obtient : δ#»

F_m→S = 2mw²n^?δS 6

e#»z→P = δ#»

Fm→S

δS = n^?mw² 3 ,

cohérent avec l’interprétation de la température en termes d’énergie cinétique de trans- lation comme vu en cours.

II Calcul rigoureux de la pression cinétique

Loi de distribution des vitesses. On caractérise la distribution des vitesses des parti- cules à l’aide de ladensité de probabilitéP(#»v), stationnaire. La probabilité élé- mentaire pour une particule d’avoir le vecteur vitesse#»và dvx,dvy,dvzprès, notée dP(#»v)ou dP(vx, vy, vz)est dP(vx, vy, vz) =P(#»v)dvxdvydvz. Comme les proba- bilités des composantesvx, vyetvzsontindépendantes, la probabilité d’avoir une vitesse#»v donnée peut se mettre sous la forme d’un produit de probabilités d’avoir vx,vyetvzindépendamment. On peut donc définir des densités de probabilités Px(vx),Py(vy)etPx(vx)telles que finalement :

dP(vx,vy, vz) =Px(vx)Py(vy)Pz(vz)dvxdvydvz.

Parisotropiede la distribution des vitesses les fonctionsP_x,y,zsont paires : une particule a autant de chance de se diriger selon+#»e_xque selon−#»e_xpar exemple.

Notons par ailleurs que l’isotropie assure également que les fonctionsP_x,y,zsont les mêmes.

On obtient, pouri=x, y, z: Z ∞

i=−∞

P_i(v_i)dv_i= 1

puisque la somme des probabilités de toutes les vitesses possibles est 1, Z ∞

i=−∞

P_i(v_i)v_idv_i=hv_ii= 0par isotropieⁱde la distribution des vitesses, Z ∞

i=−∞

P_i(v_i)v²_idv_i=hv_i²i= 1

3w²>0par isotropie de la distribution des vitesses,

iou par imparité de la fonctionP(vi)vi.

Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 1/2 2019–2020

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Description microscopique de la pression

Calcul de la pression. On considère une surface élémentaire # »

dS=dS#»ez.

On va calculer la pression qu’elle subit de la part du gaz à sa gauche (voir le sché- ma ci-contre) en estimant les quantités de mouvement incidenteδ#»p_iet émergente δ#»p_esur la surfacedSpendant un tempsδt. On « trie » pour cela les particules selon leur vecteur vitesse.

• Soit une particule de vitesse (v_x, v_y, v_z) donnée. Comme illus- tré sur le schéma ci-contre, elle atteint la surface pendantδtsi elle se situait dans le cylindre de base dS, de hau- teurvzδtet dirigé par #»v, de volume dV =dSvzδt.

dS#»e_z

v_zδt

b

vδt

Le nombre total de particules dans le volume dV est simplement dN_tot = n^?dV. Parmi celles-ci, le nombre de particules ayant la vitesse (v_x, v_y, v_z) considérée, à dvx,dvy,dvzprès, est dNv_x,v_y,v_z =dNtotdP(vx), soit :

dN_vx,vy,vz =n^?dSv_zδtP_x(v_x)P_y(v_y)P_z(v_z)dv_xdv_ydv_z.

Comme toutes ces particules ont la même quantité de mouvementm#»v, la quantité de mouvementδ#»p_i,vx,vy,vzde ces dN_vx,vy,vzparticules est :

δ#»pi,vx,vy,vz =dNvx,vy,vzm#»v

=n^?dSvzδtm(vx#»ex+vy#»ey+vz#»ez)Px(vx)Py(vy)Pz(vz)dvxdvydvz.

• On doit maintenant sommer sur toutes les valeurs possibles dev_x, v_y, v_zpour déterminer la quantité de mouvement incidente totaleδ#»p_i. Les composantes v_xetv_ypeuvent prendre n’importe quelle valeur dans[−∞,+∞]maisv_zdoit être positive pour que la particule se dirige effectivement vers la paroi.

On doit donc calculer des intégrales de la formeⁱⁱ: Z ∞

v_z=0

P_z(v_z)v_z Z ∞

v_y=−∞

P_y(v_y) Z ∞

v_x=−∞

P(v_x)v_xv_zdv_x

dv_y

!

dv_z pourδ#»p_ix (1) Z ∞

v_x=−∞

Px(vx) Z ∞

v_y=−∞

Py(vy) Z ∞

v_z=0

P(vz)v²_zdvz

dvy

!

dvx pourδ#»piz. (2)

iiOn peut ici permuter sans problème l’ordre des intégrations.

Les deux intégrales du type (1) sont nulles comme vu précédemment. La quantité de mouvementδ#»pin’a donc pas de composantes surxni sury. Le seul terme non nul est alorsR∞

v_z=0P(vz)v_z²dvz, qui vaut, par parité dePz(vz),

1 2

R∞

−∞P(v_z)v²_zdv_z=^hv₂^2zi, soit¹₆w². L’intégrale (2) vaut donc :

Z ∞

vx=−∞

Px(vx) Z ∞

vy=−∞

Py(vy) Z ∞

vz=0

P(vz)v_z²dvz

dvy

! dvx

= Z ∞

vx=−∞

Px(vx) Z ∞

vy=−∞

Py(vy)hv²_zidvy

! dvx

=hv²_zi Z ∞

v_x=−∞

Px(vx) Z ∞

v_y=−∞

Py(vy)dvy

!

| {z }

=1

dvx=hv²_zi.

Ce terme donne la composante sur#»ezdeδ#»pi. On a donc finalement : δ#»p_i=1

6n^?mw²dSδt#»e_z.

• Il reste à calculer la quantité de mouvementδ#»peémergente. On pourrait pro- céder de la même manière en considérant les distributions des vitesses des particules émergentes. Cependant celles-ci sont les mêmes que pour les par- ticules incidentes pour que la distribution des vitesses soit stationnaireⁱⁱⁱ. Le calcul deδ#»pedonne donc un résultat similaire à celui deδ#»pi, à la différence importante qu’on doit maintenant considérer les seules particules pour les- quellesv_z<0. On obtient doncδ#»p_e=−¹₆n^?mw²dSδt#»e_z=−δ#»p_i.

• La pression exercée par le gaz est donc : P =δ#»p_i−δ#»p_f

dSδt ·#»ez= 1

3n^?mw².

On retrouve exactement (ieau facteur numérique près) l’expression obtenue précédemment.

iiiOn pourrait s’inquiéter du fait que la variation de quantité de mouvement moyenne des particules après rebond change la distribution de vitesse puisqu’elle communique une quantité de mouvement selon−#»ezau gaz. Cependant si le gaz est dans une enceinte fermée et rigide, il existe une paroi symétrique communiquant la quantité de mouvement exactement opposée au gaz. La distribution globale est donc bien stationnaire.

Julien Cubizolles, sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 2/2 2019–2020