ECE2 Du 5/11/18 au 16/11/18
PROGRAMME DE COLLES n ◦ 3
APPLICATIONS LIN´ EAIRES
E etF sont deux espaces vectoriels de r´ef´erence.
• Op´erations sur les applications lin´eaires :
— Compos´ee de deux applications lin´eaires, polynˆome d’endomorphisme.
— Utilisation du polynˆome annulateur d’une matrice Apour calculer l’inverse deA.
• Matrice des coordonn´ees dans une base :
— Matrice des coordonn´ees d’une famille de vecteurs dans une base.
— Caract´erisation matricielle des bases, matrice de passage d’une base `a une autre.
— Effet d’un changement de base sur les coordonn´ees d’un vecteur.
• Matrice d’une application lin´eaire :
— Matrice d’une application lin´eaire deE versF dans des bases deE etF.
— Matrice d’un endomorphisme deE dans une base deE.
— Utilisation de la matrice deupour calculer les coordonn´ees deu(x).
— Lien entre le produit matriciel et la composition des applications lin´eaires.
— Caract´erisation des automorphismes deE.
— Effet d’un changement de base sur la matrice d’un endomorphisme (formule ditedu changement de base).
— Matrices semblables, puissance de matrices
• Rang d’une application lin´eaire :
— Lien avec le rang d’une famille de vecteurs.
— Th´eor`eme du rang.
— Application `a la caract´erisation des isomorphismes.
SUITES
• R´evisions g´en´erales :
— Vocabulaire : suite croissante, d´ecroissante, major´ee, minor´ee, born´ee.
— Suite convergente, suite divergente, unicit´e de la limite si elle existe.
— Limites et in´egalit´es : passage `a la limite dans les in´egalit´es larges, th´eor`emes de comparaison et d’encadrement.
• Etude de suites particuli`´ eres :
— Suites arithm´etiques, g´eom´etriques, arithm´etico-g´eom´etriques.
— Comportement des suites monotones.
— Suites adjacentes.
• Compl´ements sur les suites :
— Suite n´egligeable devant une autre suite.
— Suites ´equivalentes.
— Exemples de suites implicites d´efinies parfn(un) = 0.
— Exemples de suites d´efinies par r´ecurrence :
∀n∈N, un+1=f(un) u0∈R
