ECE2 Du 10/12/18 au 21/12/18
PROGRAMME DE COLLES n ◦ 5
VARIABLES AL´ EATOIRES DISCR` ETES : G´ EN´ ERALIT´ ES
• Variables al´eatoires discr`etes : d´efinition, loi de probabilit´e, fonction de r´epartition.
• Lois discr`etes usuelles : loi uniforme sur [[1, n]], loi de Bernoulli, loi binomiale, loi g´eom´etrique, loi de Poisson.
Pour chacune des lois discr`etes, on connaˆıtra : sa d´efinition, son esp´erance, sa variance et on saura la reconnaˆıtre en situation (sauf pour la loi de Poisson).
• Couples de variables al´eatoires discr`etes :
— Loi d’un couple (ou loi conjointe) de deux variables al´eatoires discr`etes.
— Lois marginales.
— Loi conditionnelle deX sachant [Y =k] pourk∈Y(Ω).
• Ind´ependance :
— Ind´ependance de deux variables al´eatoires discr`etes : d´efinition.
— SiX etY sont ind´ependantes, alors toute variable al´eatoire fonction deX est ind´ependante de toute variable al´eatoire fonction deY.
— Ind´ependance mutuelle denvariables al´eatoires discr`etes. Lemme des coalitions.
• Sommes :
— Loi d’une somme de deux variables al´eatoires discr`etes et ind´ependantes.
— Somme denvariables al´eatoires de Bernoulli mutuellement ind´ependantes de mˆeme loiB(p).
— Somme de deux variables al´eatoires binomiales ind´ependantes de lois respectivesB(n1, p) etB(n2, p).
G´en´eralisation `a la somme denvariables al´eatoires binomiales ind´ependantes de loiB(ni, p).
— Somme de deux variables al´eatoires de Poisson ind´ependantes (d´emonstration `a connaˆıtre).
G´en´eralisation `a la somme denvariables al´eatoires de Poisson ind´ependantes.
• Exercices classiques avec les lois discr`etes usuelles :
— Lois de couples, lois conditionnelles, lois marginales.
— Loi de Poisson conditionn´ee en loi binomiale.
— Calcul deP(X =Y).
— Loi du maximum, minimum d’un couple de variables al´eatoires discr`etes.
— Loi du maximum, minimum denvariables al´eatoires discr`etes.
VARIABLES AL´ EATOIRES DISCR` ETES : ESP´ ERANCE, VARIANCE, COVARIANCE
• Esp´erance :
— D´efinition, formules de base.
— Transfert : variable al´eatoireZ =g(X), esp´erance de g(X).
— Moments d’une variable al´eatoire discr`ete.
— Transfert : variable al´eatoireZ =g(X, Y), esp´erance de g(X, Y).
La convergence et la m´ethode de calcul de la s´erie double donnantE(g(X, Y))seront admises par l’´enonc´e.
— Lin´earit´e de l’esp´erance, croissance de l’esp´erance.
— Esp´erance de la somme denvariables al´eatoires discr`etes.
— Esp´erance d’un produit :
Si X et Y ont un moment d’ordre 2, alorsXY admet une esp´erance. Calcul deE(XY).
Si X et Y sont ind´ependantes et ont une esp´erance, alorsXY a une esp´erance etE(XY) =E(X)E(Y).
• Covariance :
— D´efinition, formule de Huygens (Cov(X, Y) =E(XY)−E(X)E(Y)), bilin´earit´e, interpr´etation du signe.
— Covariance de deux variables al´eatoires ind´ependantes.
— Coefficient de corr´elation lin´eaire : d´efinition, interpr´etation du cas o`u il vaut −1 ou 1.
• Variance :
— D´efinition, formules de base.
— Variance de la somme de deux variables al´eatoires discr`etes, cas de deux variables ind´ependantes.
— Variance de la somme denvariables al´eatoires discr`etes, cas denvariables ind´ependantes.
