M ath ematiques ´ - ECS1
22
P robabilit es discr ´ etes ` .
Lyc´eeLaBruyere` 30avenue deParis 78000 Versailles
2015, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c
22.1 Objectifs du programme.
Tribu d’événements ouσ-algèbre d’événements.
Généralisation de la notion de système complet d’évé- nements à une famille dénombrable d’événements deux à deux incompatibles et de réunion égale àΩ.
NotationA.
On pourra donner quelques exemples significatifs d’événements de la forme :
A=+
∞
\
n=0
An et A=+
∞
[
n=0
An.
On fera le lien avec le cas des univers finis en ex- pliquant queP(Ω) est une tribu.
On pourra introduire différentes tribus sur {1,2,3,4,5,6}et montrer que le choix de la tribu dépend de l’expérience que l’on cherche à modé- liser.
Une probabilité est une application P définie sur la tribu A à valeurs dans [0,1], σ-additive telle que P(Ω)=1.
Tribu engendrée par un système complet d’événe- ments.
Existence admise.
Notion d’espace probabilisé.
Propriétés vraies presque sûrement. Événement négli- geable, événement presque sûr.
Notation (Ω,A,P).
Théorème de la limite monotone. •Pour toute suite croissante (An) d’événements, P
+∞
[
n=0
An
= lim
n→+∞P(An).
•Pour toute suite décroissante (An) d’événements, P
+∞
\
n=0
An
= lim
n→+∞P(An).
Conséquences du théorème de la limite monotone. Pour toute suite (An) d’événements,
•P
+∞
[
n=0
An
= lim
n→+∞P
n
[
k=0
Ak
.
•P
+∞
\
n=0
An
= lim
n→+∞P
n
\
k=0
Ak
.
Les démonstrations de ces formules ne sont pas exigibles.
On pourra donner comme exemple d’événement négligeable la réalisation d’une suite infinie de pilelors d’un jeu depileouface.
Généralisation de la notion de probabilité condition- nelle.
Si AvérifieP(A),0, alors (Ω,A,PA) est un es- pace probabilisé.
Généralisation de la formule des probabilités compo- sées.
Généralisation de la formule des probabilités totales.
Indépendance mutuelle d’une suite infinie d’événe- ments.
22.1 Objectifs du programme. 3
Définition d’une variable aléatoire. Une variable aléatoire réelle sur (Ω,A) est une ap- plication deΩdansRtelle que, pour tout réelx, {ω∈Ω|X(ω)6x}est dans la tribuA.
On adoptera les notations habituelles [X ∈ I], [X=x], [X6x], etc.
On pourra, à l’aide d’exemples, illustrer com- ment obtenir des événements du type [X = x] ou [a6X<b] à partir d’événements du type [X 6 x].
Fonction de répartion d’une variable réelle.
Propriétés.
∀x∈R, FX(x)=P(X6x).
FXest croissante et continue à droite en tout point, lim−∞FX =0, lim
+∞FX=1.
Loi d’une variable aléatoire. La fonction de répartition caractérise la loi d’une variable aléatoire. Résultat admis.
Définition d’une variable aléatoire réelle discrète dé- finie sur (Ω,A).
L’ensemble des valeurs prises par ces variables aléatoires sera indexé par une partie finie ou in- finie deNouZ.
Caractérisation de la loi d’une variable aléatoire dis- crète par la donnée des valeursP(X = x) pour x ∈ X(Ω).
Tribu engendrée par une variable aléatoire discrète. La tribuAX des événements liés àX est la tribu engendrée par le système complet ([X=x])x∈X(Ω). Cette tribu est aussi appelée tribu engendrée par la variable aléatoire X et constitue l’information apportée parX.
Variable aléatoireY =g(X), oùgest définie sur l’en- semble des valeurs prises par la variable aléatoireX.
Étude de la loi deY =g(X).
Espérance d’une variable aléatoire. QuandX(Ω) est infini,X admet une espérance si et seulement si la série X
x∈X(Ω)
xP(X=x) est abso- lument convergente.
Théorème de transfert. Quand X(Ω) est infini, g(X) admet une espé-
rance si et seulement si la série X
x∈X(Ω)
g(x)P(X=x) est absolument convergente, et alors E(g(X)) =
X
x∈X(Ω)
g(x)P(X=x). Théorème admis.
E(aX+b)=aE(X)+b.
Moment d’ordrer(r∈N). Notationmr(X)=E(Xr).
Variance et écart-type d’une variable aléatoire dis- crète.
NotationsV(X) etσ(X).
Calcul de la variance.
V(aX+b)=a2V(X).
Formule de Koenig-Huygens : V(X)=E(X2)−(E(X))2. Cas particulier oùV(X)=0.
Variables centrées, centrées réduites. Notation X∗ pour la variable aléatoire centrée ré- duite associée àX.
Lois discrètes usuelles à valeurs dans un ensemble fini sur l’espace probabilisé (Ω,A,P).
On généralisera les loisB(p),B(n,p) etU([[a,b]]) vues lors du premier semestre.
Loi géométrique (rang d’apparition d’un premier suc- cès dans un processus de Bernoulli sans mémoire).
Espérance et variance.
NotationX,→ G(p).
SiX,→ G(p), pour tout nombre entier naturel non nulk,
P(X=k)=p(1−p)k−1. Loi de Poisson : définition, espérance, variance. NotationX,→ P(λ).
22.2 Le langage des probabilités.
Etant donnée une expérience aléatoire, on lui a associé ununiversΩet pour décrire les résultats de l’expérience, on a introduit la notion d’évènement.
Si on appelleAl’ensemble des évènements deΩ, cet ensembleAmodélisel’infor- mation que l’on peut obtenir à partir des résultats de l’expérience. Pour que la modélisation soit cohérente avec l’intuition, l’ensembleAdoit contenirΩet être stable par les opéra- tions ensemblistes (réunion, intersection et passage au complémentaire) : siA,B∈ Aalors A∪B, A∩B,Adoivent aussi appartenir àA.
Un tel ensemble stable par les opérations de réunion finie et de passage au complé- mentaire est appelé unealgèbredeΩ.On peut avoir A = P(Ω) ensemble de toutes les parties deΩmais on verra que ce n’est pas toujours le cas, certaines parties deΩn’étant pas nécessaires à la description de l’expérience.
Dans certains cas, la notion d’algèbre devient insuffisante pour décrire l’expérience et la bonne notion est alors celle detribu.
22.2.1 Tribu d’événements
Définition 1. Soit Ω un univers. On appelle tribu ou σ-algèbre de Ω tout sous- ensembleAdeP(Ω) vérifiant :
(i) Ω∈ A
(ii) pour toutE∈ Aon aE∈ A(stabilité par passage au complémentaire) (iii) pour toutI⊂Net toute famille (Ei)i∈Id’éléments deAon a :[
i∈I
Ei∈ A(stabilité par réunion finie ou dénombrable)
On appelle alorsévènementtout élément de la tribuA.
Remarque1.(i) Une tribu contient toujoursΩet∅.
(ii) SiΩest fini, les notions de tribu et d’algèbre coincident puisqueP(Ω)est fini.
Exemple 1. On lance indéfinimeent une pièce à Pile ou Face.
En notantAn l’événement « Pile apparaît aunelancer », l’événementA : « Pile apparaît à tous les lancers » est l’événementA=
∞
\
n=1
An.
Exemple 2. Une puce, initialement placée en O, se déplace sur un axe gradué. Si, à un instant, elle se trouve au point d’abscissei, à l’instant d’après, elle se trouve soit au point d’abscissei−1, soit au point d’abscissei+1.
On s’intéresse au retour de la puce enO, c’est à dire à l’événementA« la puce revient à sa position initiale. »
Posons, pour tout entiern≥3,l’événementAn: « la puce se trouve enOà l’instantn. » On a alorsA=
∞
[
n=3
An, la réunion n’étant pas disjointe.
Définition 2. On appelleespace probabilisabletout couple (Ω,A) oùΩest un univers etAune tribu surΩ.
22.2 Le langage des probabilités. 5
Proposition 1. SoitΩun univers etAune tribu surΩ.
Pour tout I ⊂ Net toute famille (Ei)i∈I d’événements deAon a\
i∈I
Ei ∈ A. (Aest stable par intersection finie ou dénombrable.)
Exemple 3. Quelques exemples de tribus. SoitΩun univers.
(i) {∅, Ω}est une tribu appeléetribu grossière ou triviale.
(ii) SiA⊂Ωalors{∅, A, A, Ω}est une tribu surΩ. (iii) P(Ω) est une tribu surΩappeléetribu discrète.
(iv) SiΩ =Ralors{E∈P(R)|EouEest fini ou dénombrable}est une tribu surR.
Exercice1.Ecrire à l’aide des opérations ensemblistes et des évènements de la famille (Aj)j∈Nsuivants les évènements suivants :
(a) tous les événementsAkse réalisent.
(b) une infinité d’événementsAkse réalisent (c) un nombre fini d’événementsAkse réalisent (d) une infinité d’événementsAkne se réalisent pas
(e) à partir d’un certain rang, tous les événementsAkse réalisent
Proposition 2. SoitΩun univers et I un ensemble non vide.
Si(Ai)i∈I une famille quelconque de tribus surΩalors\
i∈I
Aiest une tribu surΩ.
Tribu engendrée par une famille d’événements .SoitΩun univers et X un sous en- semble deP(Ω).
Il existe une unique tribuAvérifiant (i) X⊂ Aet
(ii) toute tribuA0surΩcontenant X contient aussiA: i.e. siA0est une algèbre et si X⊂ A0alors X⊂ A0
As’appellela tribu engendrée parX : c’est la plus petite tribu (au sens de l’inclusion) contenant X.
Exemple 4. (i) SiA⊂Ωla tribu engendrée parAest{∅, A, A, Ω}.
(ii) PourΩ ={1,2,3,4,5}etX={{1,2},{3,4}}, la tribuAengendrée parXdoit contenir : Ω, ∅, {1,2}, {3,4}, puis{1,2}={3,4,5}, {3,4}={1,2,5}
puis
{1,2} ∪ {3,4}={1,2,3,4}et enfin{1,2,3,4}={5}.
On vérifie ensuite que
nΩ, ∅, {1,2}, {3,4}, {3,4,5}, {1,2,5}, {1,2,3,4}, {5}o est une tribu surΩ, pour conclure que c’est la tribuA.
Corollaire 3. Si X, Y sont deux parties de P(Ω) telles que X ⊂ Y alors la tribu engendrée par Y contient la tribu engendrée par X.
Définition 3. Soit (Ω,A) un espace probabilisable.
On appellesystème complet d’événementsdeΩtoute famille (Ei)i∈I finie ou dénom- brable d’événements deΩréalisant une partition deΩ, i.e. :
(i) Iest fini ou dénombrable
(ii) Ei∩Ej=∅pour tousiet jdansItels quei,j (iii) [
i∈I
Ei= Ω
Exemple 5. Un entier naturel non nulnest choisi au hasard puis on lancenpièces à P ou F.
Pourk∈N∗, on appelleEkl’événement "on choisit l’entierk". La famille (Ek)k∈N∗forme un système complet d’événements.
Exemple 6. On lance indéfiniment une pièce à P ou F.
On noteE0l’événement « P n’apparaît jamais » et pour toutk∈N∗, on noteEkl’événement
« P apparaît la première fois aukelancer. »
La famille (Ek)k∈Nforme un système complet d’événements.
22.3 Loi de probabilité.
22.3.1 Définitions et propriétés
Définition 4. Soit (Ω,A) un espace probabilisable. On appelle probabilité sur (Ω,A) ou simplement surΩtoute applicationP:A →[0,1] vérifiant
(i) P(Ω)=1
(ii) pour tout famille dénombrable (En)n∈Nd’événements deΩdeux à deux incompa- tibles, la sérieX
n≥0
P(En) converge et sa somme vaut
+∞
X
n=0
P(En)=P
[
n∈N
En
Remarque2.La propriété (ii) s’appelle propriété deσ-additivité deP.
Définition 5. Tout espace probabilisable (Ω,A) sur lequel est définie une probabilitéP est appelé espace probabilisé et noté (Ω,A,P).
Remarque3.Quelques remarques importantes.
(1) En prenantEn =∅pour toutn∈N, la sérieX
n≥0
P(En)converge doncP(En)→0. Une suite constante tendant vers0est la suite nulle doncP(∅)=0.
22.3 Loi de probabilité. 7
(2) SiAetBsont deux évènements incompatibles alorsP(A∪B)=P(A)+P(B). Il suffit de compléter la famille(A,B)avec une suite d’èvènements impossibles∅et d’utiliser
laσ-additivité deP.
(3) SiAest finie ce qui est vrai siΩest fini, laσ-additivité dePest équivalente à l’additi- vité deP(pour tous événementsE,Fincompatibles,P(E∪F)=P(E)+P(F)).
Les propriétés vis à vis de la monotonie, de la réunion et du passage au complémen- taires s’étendent au cas des univers dénombrables.
Proposition 4. Soit(Ω,A,P)un espace probabilisé et E,F deux évènements deΩ. (1) P(F\E)=P(F)−P(E∩F)
(2) P(E∪F)=P(E)+P(F)−P(E∩F) (3) P(E)=1−P(E)
(4) si E⊂F alors P(E)≤P(F).
Exercice2.On lance deux dés jusqu’à ce qu’une somme de 5 ou 7 apparaisse.
(a) SoitEnl’évènement " une somme de 5 apparait aun-ème double jet et sur lesn−1 premiers jets ni la somme de 5 ni celle de 7 apparait". CalculerP(En).
(b) Quelle est la probabilité qu’on s’arrête sur une somme de 5 ? (c) Quelle est la probabilité qu’on s’arrête sur une somme de 7 ? (d) Quelle est la probabilité que le jeu ne s’arrête jamais ?
Remarque4.Il n’est pas nécessaire de définirPsur la tribuAtout entière mais la définition dePsur une famille d’évènements engendrantAest suffisante.
Exemple 7. On considère une cible circulaire de centreOde diamètre 2 partagée en sec- teurs concentriques : le secteur 1 est la couronne circulaire délimitée par les cercles centrés enOde rayon12et 1, le secteur 2 est la couronne circulaire délimitée par les cercles centrés enOde rayon 14 et 12, etc... le secteurnest la couronne circulaire délimitée par les cercles centrés enOde rayon 2n+11 et21n.
On lance une flèche sur la cible et on s’intéresse au numéro du secteur touché en supposant une précision illimitée.
L’univers estΩ =N∗, la tribu surΩest celle engendrée par les évènements élémentaires{k} pourk∈N∗. Il suffit donc de définir une probabilité sur la famille dévènements élémentaires ({k})k∈N∗.
En posant pourn ≥ 1, P({n}) = 1
n, on ne définit pas une probabilité car la série X
n≥1
1 n diverge.
En revanche, en posant pourn≥1, P({n})= 1
2n, on définit une probabilité puisque la série X
n≥1
1
2n converge et
+∞
X
n=1
1
2n =1=P(Ω).
Quelle est la probabilité d’atteindre un secteur pair ?
Quelle est la probabilité que la flêche soit à une distance d’au plus 1
2n du centre de la cible ?
La proposition suivante étend les propriétés des systèmes complets d’événements au cas dénombrable.
Proposition 5. Soit(Ω,A,P)un espace probabilisé et A un événement deΩ.
(1) Si(Ek)k∈Nest un système complet (dénombrable) d’événements deΩalors la série X
k≥0
P(Ek)converge et on a
+∞
X
k=0
P(Ek)=1.
(2) Si(Ei)i∈Nest un système complet (dénombrable) d’événements deΩalors la série X
k≥0
P(A∩Ek)converge et on a P(A)= +
∞
X
k=0
P(A∩Ek).
Exemple 8. On considère des urnes en nombre infini, numérotées 1,2,. . . , n,. . . L’urne numérotéencomportenjetons numérotés de 1 àn.
On choisit une urne et on tire toutes les boules une à une sans remise.
L’urne numérotéenest choisie avec probabilité 1 2n.
Quelle est la probabilité d’obtenir les numéros dans l’ordre croissant ?
22.3.2 Théorème de la limite monotone
Théorème de la limite monotone .Soit(Ω,A,P)un espace probabilisé.
(1) Si(En)n∈Nest une suite croissante d’événements (pour l’inclusion) alors P
[
m∈N
Em
= lim
n→+∞P(En)
(2) Si(En)n∈Nest une suite décroissante d’événements (pour l’inclusion) alors P
\
m∈N
Em
= lim
n→+∞P(En)
Corollaire 6. Pour toute suite d’événements(En)n∈NdeΩ, on a
(1) P
[
m∈N
Em
= lim
n→+∞P
n
[
k=0
Ek
(2) P
\
m∈N
Em
= lim
n→+∞P
n
\
k=0
Ek
Exemple 9. Le jeu de Pile ou Face. On lance une pièce parfaitement équilibrée à plusieurs reprises et on cherche la probabilité que la pièce montre Face à tous les lancers.
1.) On faitNlancers.
L’universΩest{P,F}N et on le munit de la tribu discrète.
La probabilité choisie est la probabilité uniforme (la pièce est parfaitement équilibrée).
AppelonsAl’évènement :« la pièce montre Face à tous les lancers. »
22.4 Indépendance et conditionnement 9
Cet événement correspond à l’événement élémentaire{(F,F, . . . ,F)}et est donc réalisé avec probabilité 1
2N.
2.) On suppose que le nombre de lancers est infini et qu’ils sont indépendants.
Un résultat est une suite formée d’éléments de{P,F}.
L’universΩest donc{P,F}N∗: il n’est pas dénombrable.
On admettra qu’on peut le munir d’une tribuAet que « len-ème lancer donne Face » est un évènementAndeT. Comme len-ème lancer donne P ou F et que la pièce est symé- trique, on admet aussi qu’il existe une probabilitéPdéfinie surT de telle sorte que :
∀n∈N∗, P(An)=1 2.
L’événement « la pièce montre Face à tous les lancers » correspond à l’évènement E= \
n∈N∗
An.
D’après le théorème de la limite monotone, P(E)= lim
n→+∞P
n
\
k=1
Ak
.
Comme les lancers sont indépendants, on a : P(
n
\
k=1
Ak)= 1 2×1
2×. . .×1 2 = 1
2
!n
de sorte queP(E)= lim
n→+∞
1 2n =0.
Cela ne veut pas dire queE est l’événement impossible, puisqueE ,∅mais on dit qu’il est quasi-impossible d’obtenir Face à tous les lancers.
Définition 6. Soit (Ω,T,P) un espace probabilisé.
(a) Un événementEest dit négligeable ou quasi-impossible siP(E)=0 etE,∅ (b) Un événementEest dit presque-sûr ou quasi-certain siP(E)=1 etE,Ω. (c) Si une propriété est vraie sur un ensemble de probabilité 1, on dit qu’elle est
presque-sûrement vraie (on note p.s-vraie).
22.4 Indépendance et conditionnement
22.4.1 Probabilités conditionnelles
La définition d’une probabilité conditionelle dans le cas des univers infinis est iden- tique à celle donnée dans le cas des univers finis.
Formule des probabilités composées
La formule des probabilités composées s’étend au cas des univers infinis : la formule est identique à celle donnée dans le cas des univers finis.
Formule des probabilités totales
La formule des probabilités totales se généralise au cas d’un système complet d’évé- nements dénombrables.
Formule des probabilités totales .Soit(Ai)i∈N∗ un système complet d’évènements tel que : pour tout i∈N∗, P(Ai)>0.
Alors pour tout évènement E, P(E)= +
∞
X
i=1
PAi(E)P(Ai)
Formule de Bayes générale
On peut énoncer une formule de Bayes généralisée.
Formule de Bayes .Soit(Ei)i∈I un système complet d’événements tel que pour tout i∈I,P(Ei)>0. On a
PA(Ei)= PEi(A)P(Ei) X
i∈I
PA(Ei)P(A)
22.4.2 Indépendance
Définition 7. Soit (Ek)k∈N∗ une famille d’événements. Les événements de la famille (Ek)k∈N∗sont dit mutuellement indépendants si pour toute partie finieJdeN∗:
P(\
j∈J
Ej)=Y
j∈J
P(Ej)
Proposition 7. Si les événements E1, . . . ,En, . . .sont mutuellement indépendants alors E˜1, . . . ,E˜n, . . . sont mutuellement indépendants où E˜jdésigne Ejou son complémen- taire Ej
22.5 Variables aléatoires discrètes
Définition 8. Soit (Ω,A) un espace probabilisable etX:Ω→R. On dit queXest une variable aléatoireréelle sur (Ω,A) si :
. . . .
Remarque5.SiΩest muni de la tribu discrète alors toute applicationX : Ω→ Rest une variable aléatoire réelle.
Proposition 8. Soit(Ω,A)un espace probabilisable et X une application deΩdansR telle que X(Ω)est fini ou dénombrable.
Si, pour tout x∈X(Ω), [X=x]∈ Aalors X est une variable aléatoire réelle discrète.
22.5 Variables aléatoires discrètes 11
Définition 9. Unevariable aléatoire réelle discrèteest une variable aléatoire réelle dont l’imageX(Ω) est . . . .
Soit (Ω,A) un espace probabilisable etXune variable aléatoire discrète surΩ.
— La famille ([X=x])x∈X(Ω)est un . . . appelé
. . . .
— La tribu engendrée par ce système complet d’èvènements s’appelle
. . . ..
C’est la plus petite tribu surΩpour laquelleX est une variable aléatoire surΩ: elle constitue l’information apportée parX. On la noteAX.
22.5.1 Loi d’une variable aléatoire
La définition de la loi d’une variable aléatoire vue dans le cas des variables aléatoires finies s’étend au cas des variables aléatoires discrètes infinies.
Définition 10. Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé etXune vard surΩ.
On appelleloi de la variable aléatoireX(ou loi deX) l’application PˆX :X(Ω) → [0,1]
x 7→ P([X=x])
Exemple 10. On lance une infinité de fois une pièce qui donne Pile avec probabiltép∈]0,1[
et on note X la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier Pile. Alors
X(Ω)=. . . et pour toutk∈N∗, P(X=k)=. . . . Exemple 11. Une urne contient des boules blanches en proportionpet des boules noires.
On fait des tirages successifs avec remise d’une boule de l’urne. On noteYla v.a.r égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule blanche. Alors
Y(Ω)=. . . et pour toutk∈N∗, P(Y=k)=. . . . Remarque6.Les deux exemples précédents montrent que . . . .
. . . .
Proposition 9. Si X est une variable aléatoire discrète alors X
x∈X(Ω)
P([X=x])=. . . .
Récproquement, si(aj)j∈Jest une famille finie ou dénombrable de nombres positifs telle queX
j∈J
aj=1alors . . . .
Exemple 12. Pour toutn∈N∗on posean= 4
n(n+1)(n+2). Vérifier que
+∞
X
k=0
ak=1
22.5.2 Fonction de répartition
Fonction de répartition.
La définition de la fonction de répartition d’une variable aléatoireXest indépendante de son type. Qu’elle soit discrète ou non, elle est définie par
FX(x)=P(X≤x), pour tout réelx.
Théorème .L’application FX est . . . surR, elle possède une li- mite à gauche et une limite à droite en tout point deR:
limx→x0
x<x0
FX(t)=. . . lim
x→x0
x>x0
FX(t)=. . . . Elle est continue à droite et continue en tout point deR\X(Ω).
La fonction FXpossède des limites en±∞:
t→−∞lim FX(t)=. . . , lim
t→+∞FX(t)=. . . .
Proposition 10. Deux variables X et Y ayant même fonction de répartition suivent la même loi. On dit que la fonction de répartition caractérise la loi.
Proposition 11. Soit X une variable aléatoire réelle discrète.
Pour tout x∈R
FX(x)=X
t∈X(Ω)
t≤x
P([X=t])
Proposition 12. Soit X une variable aléatoire réelle discrète.
La fonction de répartition permet de déterminer la loi de X : pour tout x∈X(Ω) P([X=x])=. . . .
où. . . .et. . . .
22.6 Moments d’une variable aléatoire. Espérance et variance. 13
22.5.3 Transformation d’une variable aléatoire
Théorème .Soit X une variable aléatoire discrète et g : X(Ω) → Rune application.
Alors Y =g(X)est une variable aléatoire discrète surΩ.
Proposition 13. Soit X une variable aléatoire discrète et g:X(Ω)→Rune application.
La loi de Y =g(X)est donnée par
P([Y=y])= X
x∈X(Ω)
g(x)=y
P([X=x]).
Exercice3.On considère une variable aléatoireXprenant ses valeurs dansN∗telle que P(X=k)= λ
k(k+1)(k+2) pour toutk∈N∗. (1) Déterminerλ.
(2) Montrer queY =X2−4X+4est une variable aléatoire discrète puis donner sa loi.
22.6 Moments d’une variable aléatoire. Espérance et variance.
22.6.1 Espérance
La définition de l’espérance d’une variable aléatoire s’étend au cas des variables aléa- toires discrètes infinies en remplaçant les sommes finies par des sommes infinies sous ré- serve de convergence absolue.
Définition 11. SoitXune variable aléatoire discrète sur un espace probabilisé (Ω,A,P).
On dit queXadmet uneespérancesi la série X
x∈X(Ω)
xP(X =x) converge absolument et dans ce cas, on appelle espérance deXla somme encore notéeE(X) de cette série
E(X)= X
x∈X(Ω)
xP(X=x)
Exemple 13. SoitXune variable aléatoire telle queX(Ω) =N∗de loi donnée par P(X = n)= 1
n(n+1). AlorsXn’admet pas d’espérance puisque la sérieX
n≥1
1
n+1 diverge.
Exercice 4.Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansN. Montrer que X admet une espérance si et seulement si la sérieX
n≥0
P(X≥n)converge.
Exercice5.Soitλ∈R,p∈]0,1[etXune variable aléatoire prenant ses valeurs dansN∗ telle que∀n∈N∗, P(X=n)=nλpn. Déterminerλet calculerE(X).
Remarque7.(a) La convergence absolue est indispensable pour l’existence de l’espérance.
(b) SiX(Ω)=ZalorsXadmet une espérance si et seulement si les sériesX
n≥0
nP(X =−n) etX
n≥0
nP(X=n)convergent.
Linéarité et positivité de l’espérance (HP)
Les propriétés de linéarité et de positivité de l’espérance restent valables dans le cas des variables aléatoires discrètes infinies.
Théorème .Soient X,Y deux variables aléatoires discrètes admettant une espérance.
(1) Si X est positive alors . . . .
(2) Pour toutλ∈R, λX+Y est une variable aléatoire admettant une espérance et . . . .
(3) Si X≤Y alors . . . .
Inégalité de Markov.
L’inégalité ci-dessous, appelée inégalité de Markov1donne un majorant de la proba- bilité qu’une variable aléatoire à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive.
Inégalité de Markov .Soit X une variable aléatoire positive sur un espace probabilisé (Ω,A,P)admettant une espérance. Alors pour tout réelλ >0:
. . . .
22.6.2 Théorème de transfert
Le théorème de transfert vu dans le cadre des variables aléatoires finies s’étend au cas des variables aléatoires infinies en remplaçant les sommes finies par des sommes infinies sous réserve de convergence absolue.
Théorème de transfert .Soit X une variable aléatoire discrète sur un espace probabi- lisé(Ω,A,P).
La variable aléatoire Y = g(X) admet une espérance si et seulement si la série X
x∈X(Ω)
g(x)P(X=x)converge absolument et dans ce cas
E(g(X))= X
x∈X(Ω)
g(x)P(X=x)
1. Markov Andrei Andreievitch, né en 1856 et mort en 1922. Elève de Chebyshev (à Saint-Pétersbourg), il fournit une preuve rigoureuse du théorème de la limite centrée (commencée par Chebyshev). Il contribua à l’étude des processus aléatoires en introduisant le concept de dépendance dans une suite de variables aléatoires (chaînes de Markov). Ses travaux ont eu une grande influence sur le développement des probabilités comme science mathématique exacte.
22.6 Moments d’une variable aléatoire. Espérance et variance. 15
Théorème .Soient X une variable aléatoire discrète sur un espace probabilisé (Ω,A,P)et a et b deux réels.
Si X admet une espérance alors aX+b est une variable aléatoire admettant une espé- rance et E(aX+b)=aE(X)+E(b).
Exemple 14. SoitXune variable aléatoire de Poisson de paramètre 3. Etudier l’espérance si elle existe deY = 1
1+X.
Définition 12. On dit qu’une variable aléatoireXadmet un moment d’ordrer∈Nsi la variableXradmet une espérance.
On note alorsmr(X)=E(Xr).
Remarque8.(1) Une variable aléatoire admet toujours un moment d’ordre0.
(2) L’existence du moment d’ordre1revient à celle de l’espérance.
(3) Une variable aléatoire finie admet des moments de tout ordre.
Proposition 14. Un variable aléatoire discrète admettant un moment d’ordre r ∈ N admet un moment à tous les ordres inférieurs à r.
Exemple 15. SoitXune variable aléatoire admettant un moment d’ordrek ∈ N∗etαun réel strictement positif. Alors grâce à l’inégalité de Markov,
P(|X| ≥α)=. . . .
22.6.3 Variance
Définition 13. SoitXune variable aléatoire discrète admettant un moment d’ordre 2.
La variableY =X−E(X) admet aussi un moment d’ordre 2 appelévariance de Xet notéV(X) :
V(X)=. . . .
Formule de Koenig-Huygens .Soit X une variable aléatoire discrète admettant un moment d’ordre2. La variance est donnée par
V(X)=E(X2)−(E(X))2.
Remarque9.Pour des lois faisant intervenir des factorielles ou des coefficients binômiaux, il est parfois très pratique de calculer la variance en employant la formule
V(X)=E(X(X−1)+E(X)−E(X)2
Définition 14. SoitXune variable aléatoire admettant un moment d’ordre 2. On appelle écart-typede la variableXla racine carrée de la variance. Ce nombre est notéσ(X) :
σ(X)=. . . .
SiE(X)=0 etσ(X)=1 on dit que la variable aléatoireXest . . . .
Proposition 15. Soit X une variable aléatoire admettant une variance non nulle. La variable aléatoire Y = . . . .est la variable aléatoire centrée réduite dite associée à X.
Théorème .Soient X une variable aléatoire discrète sur un espace probabilisé (Ω,A,P)et a et b deux réels.
Si X admet une variance alors aX+b est une variable aléatoire admettant une variance et V(aX+b)=a2V(X).
Le résultat ci-dessous connu sous le nom d’inégalité de Bienaymé2-Cheyshev3 sera très utile dans les questions de convergences pour établir des estimations.
Inégalité de Bienaymé-Chebychev .Soit X une variable aléatoire admettant un mo- ment d’ordre2. On poseµ=E(X)etσ=σ(X). Alors
∀ε >0, P(|X−µ| ≥ε)≤. . . .
2. Bienaymé Irénée Jules, 1796-1878. Polytechnicien, occupe en 1836 le poste d’inspecteur général des Finances, qu’il perd pour des raisons politiques (révolution de 1848). Bienaymé se spécialise en statistique en appliquant la théorie des probabilités aux calculs financiers et aux problèmes démographiques. Il obtient une chaire de probabilités à la Sorbonne qui sera donnée à Lamé en 1850 et la même année, il réintègre sa charge d’inspecteur général des Finances. Disciple de Pierre Simon de Laplace, il défend dans différents mémoires les idées de celui en s’opposant aux points de vues de Poisson et de Cauchy. En statistique et probabilités, on lui doit en particulier des compléments sur la méthode des moindres carrés et prouve quelques années avant Chebychev, l’inégalité de Bienaymé-Chebyshev utilisée pour la preuve (incomplète) du théorème de la limite centrée, énoncé auparavant par de Moivre puis Laplace et finalisée par Markov. Bienaymé entra à l’Académie des sciences en 1852 et fut un des membres fondateurs de la société mathématique de France (1872).
3. Chebyshev Pafnouty Lvovitch, 1821-1894. né le 16 mai 1821 à Okatovo, dans l’ouest de la Russie, est un mathématicien russe. Issu d’une famille de militaires, riche et cultivée, il est d’abord éduqué chez ses parents.
Il reçoit alors de très bons enseignements en mathématiques, mais aussi en français. Son enfance est marquée par un handicap (il a une jambe plus longue que l’autre) qui l’empêche de pratiquer certaines activités, et aussi d’envisager une carrière militaire. En 1837, il entre à l’université de Moscou, où il apprend les mathématiques sous la direction de Brashman. Alors qu’il commence à obtenir ses premiers résultats, sa situation financière change dramatiquement en 1841 quand une famine frappe durement la Russie. Ses parents doivent quitter Moscou et ne peuvent plus subvenir à ses besoins. Tchebychev persiste à continuer ses études. Il soutient sa thèse en 1846, où il poursuit le programme de Bernoulli et de Poisson consistant à donner un cadre théorique aux théorèmes limites des probabilités. En 1847, il devient professeur à Saint-Petersbourg. Tchebychev est célèbre pour ses travaux en probabilités et en arithmétique. En 1850, il démontre le postulat de Bertrand, à savoir qu’il existe toujours un nombre premier compris entrenet 2n, dès quen>2. Il étudie également le nombreπ(n) de premiers inférieurs à n. Confortant une conjecture de Gauss, il obtient que siπ(n) lnn nadmet une limite quandntend vers l’infini, alors cette limite est nécessairement 1.Il aime combiner les aspects théoriques et appliquées des mathématiques et est très habile de ses mains : il a conçu plusieurs machines arithmétiques et mécaniques ( à voir sur http ://tcheb.ru).
C’est dans un article consacré à la mécanique qu’il a introduit les polynômes dits de Tchebychev. A la suite de cela, il est le premier à ébaucher une théorie des polynômes orthogonaux. L’orthographe de Tchebychev : on peut écrire Chebyshev, Tchebicheff, Chebychov sans se tromper... (bibmath.fr)
22.7 Lois discrètes infinies 17
Exercice6.On considère une variable aléatoire Xsuivant une loi de Poisson de para- mètreλ >0. Démontrer queP(X≥λ+1)≤λetP
X≤ λ
3
≤ 9 4λ.
22.7 Lois discrètes infinies
22.7.1 Loi géométrique
On lance une infinité de fois une pièce donnant Pile avec probabilitép∈]0,1[ et Face avec probabilité 1−p.
Les lancers étant supposés indépendants.
On noteT le rang d’apparition du premier Pile.
On poseraT =0 si Pile n’apparaît jamais.
(1) DéterminerT(Ω).
(2) Etablir la loi deT. (3) CalculerE(T) etV(T).
Définition 15. Soitp ∈]0,1[. Une variable aléatoireXtelle queX(Ω)=. . . .et pour toutk∈X(Ω)
P(X=k)=. . .
est appeléevariable aléatoire géométrique de paramètrep. On dit encore queXsuit une loi géométrique de paramètrepet on noteX,→ G(p).
Proposition 16. Soit p∈]0,1[et X,→ G(p).
E(X)=. . . , V(X)=. . . .
Exemple.Une urne contientNboules blanches etMnoires (avecN≥1 etM≥1).
On tire des boules une par une avec remise jusqu’à apparition d’une boule noire.
Quelle est la proabilité qu’il faille exactementntirages ?
Quelle est la proabilité qu’il faille au moinsktirages ? (n∈N∗etk∈N∗) 22.7.2 Loi de Poisson comme limite de lois binômiales
Soitλun réel strictement positif et (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires binômiales telles que pour toutn∈N∗, Xn,→ B(n,λn).
Soitn∈N∗. On étend la loi deXnde la façon suivante : pour tout j∈N, P(Xn= j)=( n
j
(λn)j(1−λn)n−j si j∈~0,n,
0 si j≥n+1.
(1) Montrer que pour tout j∈N, la suite (P([Xn= j]))n≥1admet une limiteπ(j) à détermi- ner.
(2) Vérifier queπest la loi d’une variable aléatoire.
(3) SoitXune telle variable aléatoire. Etudier l’espérance et la variance deX.
Définition 16. Soit λ un réel strictement positif. Une variable aléatoire X telle que X(Ω)=. . . .et pour toutk∈X(Ω),
P(X=k)=. . .
est appeléevariable aléatoire de Poisson de paramètreλ. On dit encore queX suit une loi de Poisson de paramètreλet on noteX,→ P(λ).
Proposition 17. Soitλun réel strictement positif et X,→ P(λ).
E(X)=. . . , V(X)=. . . .
Conséquence : le résultat prouvé en (1) est très utile pour les calculs numériques. En effet, lorsqu’une loi binômiale a un paramètrengrand et un paramètreppetit, ce résultat permet de remplacer la loi binômiale par la loi de Poisson de paramètreλ = np. On constatera en informatique que cette approximation est assez satisfaisante. On pourra faire les calculs avec l’exemple suivant : pour effectuer un contrôle de qualité, on procède au tirage au hasard de 20 objets dans une fabrication industrielle. Supposons savoir que 5% des objets de cette fabrication sont défectueux. On suppose que le nombre total d’objets fabriqués est très grand. On fait l’hypothèse que le nombreX d’objets défectueux prélevés suit une loi binômiale de paramètresn=20 etp=0,05.
k P(X=k) π(k) 0 0,358 0,368 1 0,377 0,368 2 0,189 0,184 3 0,060 0,061 4 0,013 0,015
Table22.1 Comparaison entre la loi binômiale et la loi de Poisson pour les premières valeurs dekavec n=20, p=0.05etλ=np=1.
Exemple. On considère l’expérience qui consiste à mesurer le nombre de particules α émises en l’espace d’une seconde par un gramme de matière radioactive (uranium, par exemple).
Des expériences ont montré qu’en moyenne le nombre de particulesαémises est 3,2.
On demande une bonne approximation pour la probabilité qu’au plus deux particules αsoient enregistrées.
22.8 Exercices.
Généralités.
Exercice7. SoitΩ ={1,2,3,4,5}. Déterminer la tribu engendrée parA={{1,2},{2,4}}.
22.8 Exercices. 19
Exercice8. Ecrire à l’aide des opérations ensemblistes et des évènementsA1,A2, . . .An
suivants les évènements suivants : (a) tous les évènementsAkse réalisent.
(b) une infinité d’évènementsAkse réalisent (c) un nombre fini d’évènementsAkse réalisent (d) une infinité d’évènementsAkne se réalisent pas
(e) à partir d’un certain rang, tous les évènementsAkse réalisent
Calculs de probabilités parσ-additivié, limite monotone,. . . .
Exercice9. On lance deux dés jusqu’à ce qu’une somme de 5 ou 7 apparaisse.
(a) SoitEnl’évènement " une somme de 5 apparait aun-ème double jet et sur lesn−1 premiers jets ni la somme de 5 ni celle de 7 apparait". CalculerP(En).
(b) Quelle est la probabilité qu’on s’arrête sur une somme de 5 ? (c) Quelle est la probabilité qu’on s’arrête sur une somme de 7 ? (d) Quelle est la probabilité que le jeu ne s’arrête jamais ?
Exercice10. Un joueur joue au « craps » comme suit : il lance deux dés réguliers.
— Si la somme des faces obtenues est 2,3, ou 12, il perd.
— Si la somme des faces est 7 ou 11, il gagne.
— Dans les autres cas, il continue à lancer les dés jusqu’à ce que la somme des faces soit égale au premier résultat qu’il a obtenu ou qu’ elle soit égale à 7.
— Si c’est 7, il perd.
— Si c’est son résultat initial, il gagne.
On cherche la probabilité de gagner à ce jeu.
On noteE l’événement : « le joueur gagne » et pouri ∈ ~2,12, l’événementEi est :« la somme obtenue initialement estiet le joueur finit par gagner. »
(1) Exprimer l’événementEen fonction des événementsEi, 2 ≤i ≤12 et en déduire P(E) en fonction desP(Ei),2≤i≤12.
(2) Donner les probabilitésP(E2),P(E3),P(E12).
(3) Calculer les probabilitésP(E7) etP(E11).
(4) On cherche maintenant la probabilitéP(E4).
(a) Pour n ∈ Ntel que n ≥ 2, on note Fn l’événement : « la somme obtenue initialement est 4 et le joueur gagne aun-ème coup. »
ExprimerE4en fonction des événementsFn, n∈N, n≥2.
(b) Pour toutn∈N∗, calculerP(Fn). En déduireP(E4).
(5) Par un raisonnement analogue, calculer les probabilitésP(E5),P(E6),P(E8),P(E9), etP(E10).
(6) Conclure.
Exercice11.(1) Montrer que pour toutx∈R+, on a 1−x≤e−x.
(2) Soit (Ak)k∈N∗une suite d’événements. On considère les événementsF: « une infinité d’événementsAkse réalisent » etG: « une infinité d’événementsAkse réalisent à la suite. »
Exprimer les événementsFetGen fonction des événementsA1,A2, . . . ,An, . . ..
On dispose d’une urne vide au départ.
Le premier jour, une personne met une boule numérotée 1 dans l’urne, la tire, note son numéro et la remet dans l’urne ( !).
Ensuite, à chaque nouvelle journée, elle ajoute une boule qui porte le numéro du jour considéré, elle tire alors une boule au hasard, note le numéro de cette boule et la remet dans l’urne.
Le processus se poursuit indéfiniment . . .
(3) (a) Soient ` ∈ N∗ et E1,E2, . . . ,E` une famille de ` événements indépendants.
Montrer que l’on aP T
1≤i≤`Ei≤e−
`
P
i=1P(Ei)
. oùEest l’événement contraire de l’événementE.
(b) On noteAkl’événement « la boule numérotée 10 sort lors dukèmetirage. » Que vaut la probabilité deAk?
(c) Quelle est la probabilité que la boule 10 sorte au moins une fois à partir du nèmetirage, oùnest un entier positif fixé ?
(d) Quelle est la probabilité que la boule numérotée 10 sorte une infinité de fois (pas nécessairement à la suite) ?
(e) Calculer la probabilité que le 10 sorte une infinité de fois à la suite.
(4) On suppose cette fois que la personne remplit l’urne de sorte qu’il y ait dans l’urne n2boules, numérotées de 1 àn2, lenèmejour (elle met donc une boule numérotée 1 le premier jour, trois boules numérotées 2,3,4 le deuxième jour, cinq boules le troisième, . . .). Comme à la question précédente, elle tire alors une boule, note son numéro et la remet immédiatement dans l’urne.
(a) Soient`∈N∗etE1,E2, . . . ,E`une famille de`événements . Montrer que l’on a :P S
1≤i≤`Ei)≤
`
P
i=1
P(Ei).
(b) Quelle est la probabilité que le nombre 10 sorte une infinité de fois ?
Indépendance et conditionnement.
Exercice 12. Une puce se déplace par sauts successifs sur les sommets A,B,C et le centre 0 de gravité d’un triangle équilatéral.
At=0, elle est enOpuis elle saute en l’un des pointsA,BouCde façon équipro- bable.
Par la suite, elle saute du point où elle se trouve en l’un des autres points de façon équiprobable.
(a) Calculer la probabilité qu’elle revienne enOpour la première fois au tempst=n.
(b) Calculer la probabilité que la puce revienne enO.
22.8 Exercices. 21
Exercice13. Une puce évolue sur 3 casesC1,C2,C3. At=0, elle est enC1.
Puis, si, au tempst=kelle est enC1ouC2, au tempst=k+1, elle saute sur l’une des deux autres cases de façon équiprobable.
Si, au tempst=k, elle est enC3, elle y reste définitivement.
On appelleEnl’évènement « la puce est enC1àt=n»,Fnl’évènement « la puce est enC2àt=n» etGnl’évènement « la puce est enC3àt=n. »
On poseun=P(En),vn=P(Fn),wn=P(Gn).
(a) Etablir des relations de récurrence entreun+1,vn+1,wn+1etun,vn,wn. (b) Calculerwnen fonction denet déterminer limwn.
Exercice14. On effectue une suite indéfinie de lancers d’une pièce équilibrée. Pour tout n ∈ N∗, on désigne parpnla probabilité qu’au cours desnpremiers lancers le résultat Pile n’ait pas été obtenu trois fois de suite.
(1) Calculerp1,p2etp3.
(2) Montrer que pour tout entiernsupérieur ou égal à 3, on a : pn=1
2pn−1+1
4pn−2+1 8pn−3
(3) Proposer une méthode pour calculerpnen fonction den.
Exercice15. On lancendés non pipés.
On noteAnl’évènement " la somme des numéros amenés est pair."
Montrer que la suite (P(An))n∈N∗est constante.
Exercice16. Une urneU1contient 1 boule noire et 5 boules blanches.
Une urneU2contient 4 boules noires et 2 blanches.
On effectue dans ces urnes une suite de tirages d’une boule de la manière suivante : Le premier tirage se fait au hasard dans l’une ou l’autre des deux urnes.
Pourn∈N∗,
— si len-eme tirage donne une boule blanche alors len+1-eme tirage se fera dans la même urne que len-ème tirage ;
— si len-ème tirage donne une boule noire, on change d’urne pour effectuer le n+1-ème tirage.
Chaque boule tirée est aussitôt remise dans l’urne d’où elle provient.
On notepnla probabilité d’effectuer len-eme tirage dans l’urneU1etqnla proba- bilité de tirer une boule blanche aun-ème tirage.
(a) Déterminerpn. (b) Déterminerqn.
Exercice 17. Trois joueursA,B,Cparticipent à un tournoi. Les joueurs AetBjouent en premier, le vainqueur joue ensuite contreC, puis le vainqueur joue contre le perdant du match précédent, et ainsi de suite. Est déclaré gagnant celui qui aura remporté deux jeux consécutifs.
On suppose que les joueurs ont une probabilité1
2 de remporter un match et que les matchs sont indépendants.
Quelle est la probabilité que chacun des joueurs soit gagnant ?
Exercice18. On désigne parnun entier naturel tel quen≥2.
Une urne contient une boule blanche etn−1 boules noires.
Trois joueursA,BetC tirent à tour de rôle une boule de cette urne dans l’ordre suivant :Ajoue en premier,Bjoue aprèsA,Cjoue aprèsB, puisAjoue aprèsCetc.
Le gagnant est le premier des trois qui tire la boule blanche.
On note, pourn∈N,
—Anl’événement «Agagne aunetirage »
—Bnl’événement «Bgagne aunetirage »
—Cnl’événement «Cgagne aunetirage »
On noteA(respB,C) l’événement « le joueurA(resp.B,C) est le gagnant . » (1) On suppose dans cette question que les tirages se font avec remise de la boule tirée.
(a) Pour toutk∈N, calculerP(A3k+1), P(B3k+2), P(C3k+3).
(b) En déduireP(A),P(B) etP(C). Vérifier queP(A)>P(B)>P(C).
(2) On suppose dans cette question que les tirages se font sans remise de la boule tirée.
(a) Montrer que pour tout entierktel que 3k+3≤n, P(A3k+1)=P(B3k+2)=P(C3k+3)= 1
n.
(b) On suppose quen=3m+1 oùm∈N. Montrer que P(A)= m+1
3m+1, P(B)=P(C)= m 3m+1. (c) On suppose quen=3m+2 oùm∈N. Montrer que
P(A)=P(B)= m+1
3m+2, P(C)= m 3m+2. (d) On suppose quen=3m+3 oùm∈N. Montrer que
P(A)=P(B)=P(C)= 1 3.
Variables aléatoires discrètes.
Exercice 19. Un commerçant estime que la demande d’un certain produit est une va- riable aléatoireXtelle que
∀k∈N, P(X=k)= pk (1+p)k+1
oùpest le prix de la campagne publicitaire pour ce produit.
22.8 Exercices. 23
(1) Vérifier que la loi de la variable aléatoireXest bien une loi de probabilité.
(2) Montrer queXadmet une espérance et la calculer.
(3) Montrer queXadmet une variance et la calculer.
(4) Le commerçant prévoit un stock desarticles de ce produit. Quelle est la probabilité de rupture de stock ?
Exercice 20. Un candidat se présente chaque année à trois concours indépendants. Il a une probabilité de réussite à chaque concours de 1
3. On noteX le nombre d’années nécessaires pour intégrer. Etudier la loi et l’espérance deX.
Exercice 21. On lance une pièce honnête jusqu’à obtenir face pour la deuxième fois.
SoitXle nombre de lancers nécessaires. Etudier la loi et l’espérance deX.
Quelle est la probabilité que le nombre de lancers nécessaires soit pair ?
Exercice 22. On dispose de N urnes dans lesquelles on lance des balles l’une après l’autre. On s’arrête lorsque une balle tombe dans l’urne numérotée 1.
Quelle est la probabilité quenlancers soient nécessaires ? Quelle est la probabilité que plus denlancers soient nécessaires ?
Exercice23. Le nombreXd’oeufs pondus par une maman tortue au cours d’une ponte est une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètreλ >0.
Un œuf a la probabilitépd’éclore.
On noteY la variable aléatoire égale au nombre de bébés tortues au cours d’une ponte.
(1) Rappeler pour toutn∈N,l’expression deP(X=n).
(2) (a) Quel est l’ensembleY(Ω) des valeurs possibles pour la variableY?
(b) Soitn ∈ Netk ∈ N. CalculerP[X=n](Y = k). (On pourra distinguer les cas k≤netk>n.)
(3) A l’aide de la formule des probabilités totales, calculer, pour toutk∈N, la proba- bilitéP(Y =k).
(4) En déduire l’espérance et la variance deY. N
Exercice24. Des objets en nombre illimité sont placés successivement dans des cases, en nombre finiN, dont la capacité est illimitée. On suppose que ces cases sont vides au départ et qu’ à chaque fois qu’un objet est placé, la probabilité qu’il le soit dans une case donnée est 1
N.
On supposeN=3 et on effectue les placements comme indiqué ci-dessus.
On note :
— Y le nombre d’objets placés lorsque pour la première fois deux cases exactement sont occupées par au moins un objet,
— Z le nombre d’objets placés lorsque pour la première fois les trois cases contiennent chacune au moins un objet
On admet queYetZsont deux variables aléatoires.
(1) (a) Que vautP(Y =1) ?
(b) Soitkun entier supérieur ou égal à 2.
— De combien de façons peut on placer kobjets distincts dans 3 cases distinctes ?
— De combien de façons peut on placer lesk−1 premiers objets dans une même case et lek-ème objet dans une autre case ?
(c) En déduireP(Y=k) pourk≥2.
(2) Soientl,kdeux entiers naturels non nuls.
(a) Que vautP[Y=k](Z=l) lorsquek≥l? (b) CalculezP[Y=k](Z =l) lorsque 2≤k<l (c) Que vautP(Z =l) pourl≤2 ?
(d) Pourl>2, à l’aide de la formule des probabilités totales, montrez que P(Z=l)= 2
3
!l−1
− 2 3l−1
(3) Montrez queZ etZ2 admettent une espérance que l’on déterminera. Calculez la varianceV(Z).
