Largeur naturelle des raies spectrales et irréversibilité

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Submitted on 1 Jan 1965

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Largeur naturelle des raies spectrales et irréversibilité

M. Mizushima, D. Robert, L. Galatry

To cite this version:

M. Mizushima, D. Robert, L. Galatry. Largeur naturelle des raies spectrales et irréversibilité. Journal

de Physique, 1965, 26 (4), pp.194-198. �10.1051/jphys:01965002604019400�. �jpa-00205951�

LARGEUR NATURELLE DES RAIES SPECTRALES ET IRRÉVERSIBILITÉ

Par M. MIZUSHIMA (1), ^{D. ROBERT et} L. GALATRY,

Faculté des Sciences, Rennes, ^France.

Résumé. 2014 On présente ^une théorie de la largeur naturelle des raies spectrales, ^{basée sur l’étude}

de l’évolution de l’opérateur densité d’un système composé par ^un atome et par l’ensemble des oscillateurs du champ électromagnétique. ^La largeur ^naturelle apparaît ^comme conséquence ^de

la présence ^{dans les} équations, ^du propagateur ^{de ce} système, propagateur ^{dont on a} calculé les éléments de matrice jusqu’à l’approximation ^{du second} ordre. On a également étudié l’influence de l’intensité du champ ^{sur la forme de la raie} spectrale. Cette dernière correction n’apporte ^de

modification qu’au déplacement ^{du centre de la raie. Le} formalisme utilisé permet ^{de mettre en}

évidence la liaison étroite qui ^{existe entre la} largeur ^{naturelle et le caractère} irréversible de l’évolu- tion du système.

Abstract. - A theory of the natural line shape derived from the study of the time evolution of the density operator ^{for an atom} and field oscillators is proposed. The finite width is a direct consequence of the presence of ^a propagator ^{in the evolution} equations ; the matrix elements of this propagator ^{have been} computed ^{up to} the second order. The influence of the field intensity

has been taken into account to this approximation ^and gives ^a modification of the shift of the line

only. The formalism used here makes obvious the strong relationship between the natural line width and the irreversible character of the evolution.

PHYSIQUE 26, 1965,

1. Introduction.

On considere ^un atome

(Hamiltonien Ha, 6tats propres lot), - ..., p), ... )

et un ensemble d’oscillateurs de champ (Hamil-

tonien H, Hi, 6tats propres In,, ^{..., n9, ...,}

i

ni, ..., na)) ^{contenus dans une cavite} cubique ^de

cote L. Le systeme ^total

(Hamiltonien ^Ha + H, + ^F = Ho ⁺ F)

est decrit par ^une fonction d’état P(t). ^{La varia-} tion, ^{dans le} temps, des coefficients ck(t) ^{du d6ve-} loppement ^de (D(t), ^{dans la base}

; nt, ..., ru, ..., ni,

ng) } = a) },

permet ^{de suivre} 1’evolution du systeme ^{sous l’in-}

fluence du couplage ^F. Weisskopf ^et Wigner [1], [2]

ont montre comment il est possible de r6soudre les equations d’evolution des ck(t), ^en adoptant

pour solution iterative d’ordre zero des quantites

du type exp (- yt/2) ^{8ki. La} transition 6tudi6e

poss6de ^{alors une} demi-largeur ^{naturelle de}

valeur y/2 ^a mi-intensit6, ^au lieu d’etre repre-

sentee par ^une fonction de Dirac. De plus, ^pour

que les equations d’evolution soient satisfaites

identiquement, ^{du moins au} premier ^{ordre en} y, il est n6cessaire [2] que la partie ^{r6elle de} y soit

6gale ^{a la} probabilite ^de transition _par unite de

temps d’émission spontan6e ^entre les deux 6tats relatifs a la transition consid6r6e.

L’etude plus r6cente, presentee par Messiah [3],

consiste en un calcul des elements de matrice de

1’operateur d’evolution du systeme total, qui ^con-

duit a un r6sultat analogue, pour ^un couplage F faible, ^{a celui de} Weisskopf ^et Wigner.

(1) ^Adresse permanente : Department ^of Physics ^and Astrophysics, University ^of Colorado, Boulder, ^Colorado.

Dans cette note, ^on pr6sente ^une approche ^de

la theorie de la largeur naturelle des raies spec- trales bas6e, ^{non sur} Involution d’un 6tat pur D(t),

mais au contraire sur celle de 1’etat statistique

d’un ensemble de systemes (atome ^et oscillateurs du champ). ^Le couplage F est introduit de fagon

soudaine au temps t

0, ^le systeme ^{6tant alors}

dans un 6tat statistique ^decrit par ^un opérateur

densite connu p(O), diagonal ^{dans le} systeme

lex, I ni 1). Par suite de la presence ^de F, p(t) ^est

different de p(0) pour t > 0. Les propri6t6s spec- trales de I’atome en interaction avec le rayon- nement seront obtenues en 6tudiant la proba-

bilit6 p(t) pour que l’occupation ^d’un oscillateur de

champ ^de frequence ^wi

2xv;, ^{de vecteur} de pro-

pagation ^{et de} polarisation donn6s, suppose peuple

par Ni photons ^au temps t

0 soit la meme pour t donne, positif, que pour ^t

0, ^ceci quel

que soit 1’etat d’occupation ^{des autres} oscillateurs et de I’atome au temps ^{t. L’6tat du} systeme pour

t

0 est tel que :

On prendra par la suite la)

loc ; nl, ... ,

’4, ..., n;, ..., nq), ^{ou oc est} 1’etat de base de 1’atome. La probabilite p(t) introduite ci-dessous s’ecrit donc :

o-h l’indice prime ^{restreint la} sommation’ A tous les ensembles I ni dans lesquels ni ^reste identique àN;.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01965002604019400

195 II. evolution de Ilopdrateur ^densit6.

^Pour

calculer p(0)

p(t), ^on introduira la representation

d’interaction :

telle que P’(t) ^{ob6isse a} l’ équation

avec

ou le crochet symbolise ^le commutateur des deux

operateurs F(t) ^{et A.}

Par integration ^de (4), compte ^{tenu de la condi-}

tion initiale (1), ^{on obtient} d’apr6s (2) :

il n’est 6videmment pas possible ^{de calculer} rigou-

reusement l’int6grale ^de (6). ^On obtiendra seule-

ment une expression approch6e ^{de cette} int6grale

en remplaçant le processus d’interaction reel,

soit F # ⁰ pour ^t > 0, par ^un processus fictif of F

0 pour ^t t2 tl. ^On imposera ^de plus

la presence ^d’une transition radiative entre t = t2

et t = t2 + dt2, ^{et on} int6grera ^le r6sultat final sur t2 ^entre les instants 0 et ti. Ce processus revient a negliger l’influence de toutes les tran- sitions radiatives qui surviennent dans le processus

r6e], antérieurement a une transition radiative,

dont on localise 1’eventualite dans l’intervalle de duree dt2. L’integration ^sur dt2 ^{revient a calculer}

la somme des probabilités ^{attach6es aux divers}

processus possibles, c’est-a-dire aux diverses valeurs

-possibles de t2 ^dans l’intervalle t 0, t¡ 1. ^{Dans cette}

approximation ^{on a :}

Par ailleurs puisque ^le systeme ^6volue entre t2 et t1 ^{en suivant son mouvement nature] :}

ou le propagateur G’(tl, t2) ^{est solution de} 1’6qua-

tion :

La resolution, par iteration, ^{de cette} equation,

fournit le r6sultat bien connu :

Si l’on impose ^{a la} premiere ^des transitions radiatives dans l’ordre chronologique ^{de se} pro- duire entre les instants t2 et t2 + dt2, ^{on obtient}

pour G’(tl’ ^{ts), d’après (10), la forme suivante,}

notee Gt.(t1’ ^{t2) :}

En portant (7) ^et (11) ^dans (8), ^et le r6sultat obtenu dans (6), ^{il vient} apr6s integration sur t2 :

(la contribution du terme 1 dans le membre de droite de (11) ^6tant nulle).

III. Calcul des éléments de matrice du propa- gateur.

Puisque 1’operateur G’(tl, t2) ^{est une}

fonction de 1’operateur ^{Fx il est} defini dans 1’es-

paceproduittensoriel de l’espace I ^{ta), ..., 7 1 b))} ... }

par lui-meme [4]. ^{Ses elements de matrice sont}

donc définis par quatre indices. Soit :

ou G’(t1, t2) ^{doit etre} remplac6 par ^sa definition

(equation (10)) ^{et ou} [4] :

Si l’on ne retient dans G’(tl, t2) que le ^terme

constant (ce qui revient a negliger l’influence de toutes les transitions radiatives pouvant ^survenir

entre t

t2 + dt2 ^{et t}

t1), ^on peut ^{voir que}

la forme de p(t) (equation (12)) ^se r6duit, pour des temps ^{t tres} grands, ^{6 une somme de} quantites proportionnelles ^{a t.} 8( Cùab) ^{OÙ wab est la diffé-}

rence 6nerg6tique ^{entre les 6tats non} perturb6s la)

et lb). ^{Dans ce cas la raie ne} poss6de ^aucune largeur.

Nous considerons, ^en premier lieu, ^{le cas ou}

1’hamiltonien d’interaction F est lin6aire par rap- port ^a l’amplitude ^des oscillateurs du champ. ^Les

elements de matrice de F entre 6tats identiques

sont alors nuls. (L’influence ^{du terme} de F pro-

portionnel ^{au carr6 du} potentiel vecteur est exa-

minee au paragraphe V.)

Le calcul montre que les ^{termes non} diagonaux

de G’(t1, t2) ^sont uniquement ^{des sommes de}

termes oscillants avec t1 ^et avec t2, dont l’in- fluence dans la contribution finale, pour ^t 2013> oo, est n6g]igeable ^{devant celle des termes} diagonaux.

On n6gligera donc par la suite les elements de matrice ^non diagonaux ^du propagateur.

Le recours a une representation graphique ^pour

le calcul du d6veloppement des elements de

matrice du propagateur permet alors, pour cal-

culer les elements diagonaux restants, d’utiliser le

théorème fondamental [5], [6] :

196

ou 1’etat de vide rèdéfini 10) ^{a ete choisi} identique à ba) ^{et ou} G§c, ^nombre scalaire, rapr6sente ^la

somme des. contributions de tours les diagrammes

isol6s connexe, ^en admettant que le diag’ramme

d’ordre zero, qui correspflndf ^{au terme 1 dans}

le developpement ^de G’(tl, t2), ^{est un} diagramme

lie et non un diagramme ^{isol6 connexe.}

Les diagrammes intervenant dans (15) ^sont

relatifs a des elements de matrice entre vecteurs de 1’espace tensoriel d6fini au d6but du para-

graphe ^{III. Ces} vecteurs seront notes 10), IP), IQ), ^etc...

La contribution de Goc ^a,u premier ^{ordre (fig. I)}

est nulle dans le cas considere :

FIG. I.

FIG. II.

Celle du second ordre (fig. IIa) ^{s’ecrit :}

ou encore,

En faisant tendre L vers l’infini, ^ce qui perm’et

de consid6rer comme continu le spectre ^{de Hr et}

d’introduire la fonction (( mab) [2], ^on obtient done pour contribution diagonale, ^{en se limitant au}

second ordre en F du d6veloppement ^de Goc:

avec :

L’equation (17) ^{n’est valable} que si (tl

t2)-1

est inférieur a l’intervalle de f requence A, ^sur lequel p( Wi) .1(aIFld) 2 (of p désigne ^la densité des etats du champ électromagnétique) ^{varie de} fagon appreciable [7]. ^Or o(wi)

87r 3 2 ^{vi 2 et} I( a I F I d )1 2

c3

est proportionnel ^{a ni vi-1 ou à} (ni +.1). vi1. ^Les

relations (18) ^{sont donc} valables si (t1 - t2) »A-I,

et si la population ^{des 6tats ni est} sensiblement constante sur l’intervalle A. En choisissant, par

exemple, A

v/10 ^{on en deduit} que t1- t2 > ^10T (ou ^{Test la} p6riode ^de l’oscillateur de champ ^mis

en jeu) constitue la condition de validite de (18).

Nous supposerons, par la suite, que ^cette condi- tion est remplie, ^ce qui ^{revient à} négliger ^{les devia-}

tions a 1’.egalite (17) lorsque ti - t2 ;::s 10 ^{T. Souli-}

gnons de plus ^{que cette} equation (17) ^{a ete obtenue}

en n6gligeant ^dans 1’argument ^de l’exponentielle

tous les termes d’ordre sup6rieur ^{a deux en F. La}

consideration de ces termes entrainerait une forme naturelle de la raie spectrale qui differerait, par

sa demi-largeur, ^du profil de Lorentz obtenu plus

bas [equation (22)].

IV. Calcul du profil spectral ^en absorption.

En portant (17) ^et (13) ^dans (12) ^{il vient succes-}

sivement :

avec :

ou :

Seule nous int6resse la probabilite par unite de

temps définie par : .

Or on montre [8] que, pour t ^tres grand, ^l’int6- grale ^de (20) ^est 6gale ^a t f( iû)ba ⁺ rba), ^soit

d’apres ^{(20) et (21) :}

197

Puisque ^{F ne} peut introduire que des transitions a un seul quantum wi, ^{on a :}

suivant que la transition b - d comporte ^{la crea-}

tion ou l’annihilation d’un photon ^de frequence wi/27r. ^La probabilité Pest ^{la somme de deux}

series de termes r6sonants et non resonants, ^corres- pondant ^{a toutes} les transitions possibles ^entre

6tats non perturb6s ^{de I’atome. A} chaque ^terme resonant, correspond ^un profil de Lorentz centre

sur la f requence ( wBa ⁺ yba) ^{et de} demi-largeur yba.

On constate d’apr6s (18) que la demi-largeur

naturelle est la somme des demi-largeurs ^attach6es

a chacun des niveaux mis en jeu. ^{Par ailleurs le} deplacement ^{de la raie est} egal ^{a la} difference des

deplacements ^{de ces niveaux.}

V. Effet d’intensit6 sur le pr0fil spectral.

^Par

suite de la ^non lin6arit6 de F par rapport ^a l’ampli-

tude des oscillateurs du champ

les elements de matrice de F entre 6tats identiques

deviennent non nuls et il apparait ^{une nouvelle}

contribution pour les 616ments de matrice dia- gonaux du propagateur.

Soit, ^au premier ^{ordre en F} ( fig. I)

ou

La contribution du second ordre en F, provenant

du terme en A2 e2/2mc2. correspond ^{à un dia-}

gramme non connexe (fig. IIb). D’apres ^{la for-}

mule (15) elle n’intervient _pas dans les elements

diagonaux ^du propagateur.

On obtient alors pour expression ^de (baIG’(t1, t2)lba),

compte ^tenu de 1’effet d’intensite du mode vi :

avec :

La demi-largeur ^reste inchang6e, tandis que le

deplacement ^{se trouve modifié} par ^un facteur additif : 1i-l[(bIFlb)

(alFia)] qui ^{n’est autre} que la difference des deplacements ^{des niveaux} I a) ^et I b) calcul6e a l’aide de la theorie de perturbation ^au premier ^ordre.

En outre, par suite de la ^non lin6arit6 de F,

nous obtenons a partir ^de (12), ^{au lieu de} (19), ^la

relation :

Re I (aIF(t1)lb) (bIF(t2)la) (baIG’(ti, t2)1ba) (1

8ab) }.Pa{O)

(26) d’où en tenant compte ^de (21), (24) ^et (25) :

Ainsi, quoique les elements de matrice (ajf[a)

soient maintenant consid6r6s comme diff6rents de

zero, ^{ils ne} contribuent pas ^a l’intensit6 de 1’absorp- tion, ^{car ils ne} correspondent pas a des transitions.

effectives pour 1’ensemble du systeme (atome ^‘et

oscillateurs de champ).

VI. Irréversibilité et largeur naturelle.

L’equation (12) exprime explicitement que, dans Involution du systeme, ^deux transitions radiatives

sont intervenues, ^la premiere entre t2 et t2 ⁺ dt2,

la seconde entre t1 et t, + dt1; ^cette equation

tient 6galement compte, par la presence du pro-

pagateur G’(t1, t2), ^de l’influence de toutes les autres transitions radiatives possibles entre t2 + dt2

et tl. Ces transitions peuvent done faire en sorte

qu’h 1’instant t1 ^le systeme ^ne soit pas dans le meme 6tat statistique qu’h l’instant t2 + dt2 (par exemple par emission spontan6e ^du quantum vi absorbe en t2 ^{sur un autre} mode i 0 1, ^de polari-

sation et de direction de propagation différente) ;

dans ce cas l’interaction intervenant entre t1 ^et t1-E- dt1 ^ne peut plus ^{ramener le} systeme ^dans

1’6tat initial ou il ^se trouvait antérieurement a t2.

Si le volume contenant le rayonnement ^devient

infiniment grand, ^le nombre de modes possibles

tend vers l’infini. Ainsi 1’excitation pr6sente ^sur

l’atome au temps t imm6diatement post6rieur ^à t2 ⁺ dt2, ^et qui ^est pass6e par action de G’(tl, t2)

sur un oscillateur du rayonnement ^autre que vi,

possede ^une probabilite infiniment faible de revenir, toujours par action de G’(t1, t2) ^{sur l’atome avant}

l’instant tl. ^La presence ^du propagateur ^{dote donc}

le processus considere d’un caract6re irreversible.

C’est aussi la presence ^de G’(tl, t2) qui ^introduit

une largeur finie pour la raie spectrale (pour G’(tl, t2)

1, ^le profil ^{se r6duit a une} fonction de

Dirac).

Ainsi largeur ^{naturelle et} irréversibilité de l’inter- action entre atome et oscillateurs du champ ^sont

intimement li6es.

L’evolution du systeme, ^telle qu’elle ^{a ete consi-}

d6r6e ci-dessus, ^est sch6matis6e dans la figure ^IIIa,

FIG, IIIa.

FIG. IIIb.

Il est possible ^de generaliser ce ^{schema 4} des pro-

cessus a plusieurs quanta ^en introduisant entre t

0 et t = t2 ^une s6rie de processus analogues ^a

celui qui ^est sch6matis6 dans la figure ^{IIIa entre}

t

0 et t = t1 (fig. //7&).

Manuscrit requ le ²⁶ f6vrier 1965.

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