Largeur des raies spectrales et structure hyperfine dans les spectres de rayons X

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Largeur des raies spectrales et structure hyperfine dans

les spectres de rayons X

Daniel Curie

To cite this version:

3~ Valciir ~Ie

Tenant

_compte

de ce

que |cp

(h) |2

est la trans-formée de Fourier de p

(u),

on a aussi

(Fou,

en vertu de r ~ :

Prenant _rij comme axe

_polaire,

on trouve

Manuscrit reçu mai i _I95:J. I3IBLIOGRAPI-IIE.

[1] EWALD P. P. - Ann.

Physik, 1921, 64, 253. _[2] The Annals of the _Computation Laboratory of Harvard

University, 1949, vol. 22.

LARGEUR DES RAIES SPECTRALES ET STRUCTURE

HYPERFINE

DANS LES SPECTRES DE RAYONS X

Par DANIEL _CURIE,

Laboratoire de Luminescence _(P. C. _B.), Faculté des Sciences de Paris.

Sommaire. - Dans des

expériences récentes, Frilley, Gokhale et Valadarès ont constaté l’absence

d’un effet de structure _{hyperfine (élargissement} des raies K sous l’action du moment _{magnétique nucléaire)}

que la théorie prévoyait être d’un ordre de grandeur observable.

Nous donnons ici une _{possibilité d’explication} de ce _résultat, en _{montrant que la théorie usuelle de}

la largeur des raies _spectrales n’est pas valable dans le cas où des _photons de même _fréquence peuvent

être émis par deux niveaux, distincts, mais dont la distance est inférieure à leur _largeur.

La différence avec les résultats _classiques sur la forme des raies se manifeste sous deux aspects

simultanés :

1° doublement des largeurs des raies;

2° déformation de ces _{raies, laquelle peut} atteindre un tel _degré que, si la distance des deux niveaux

reste suffisamment faible, leur _{séparation n’entraîne pas la séparation} des raies _{correspondantes,} en désac-cord apparent avec la relation E = h03BD.

Ces _phénomènes sont liés à l’existence de deux électrons sur la couche K et ne _{peuvent s’interpréter}

que si l’on considère les transitions subies par l’atome dans son _ensemble; on ne les _{aurait pas rencontrés} dans le modèle _simplifié des _spectres X _{quasi hydrogénoïdes.}

LE _JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME _13, NOVEMBRE

_195~,

PAGE 505

Introduction. -- Fermi

[1], puis

Breit

_[2],

_ayant

étudié

_{théoriquement}

la

_{décomposition hyperfine}

des niveaux

K, L,

etc. ont montré _que le niveau K se résout en deux sous-niveaux dont la

sépara-tion AE = h ~v

(1)

est 6 à 8 fois

_plus

grande

que

celle des sous-niveaux

_provenant

du niveau

Li,

(1) Qui a pour expression (Breit) :

où p. est exprimé en _{magnétons nucléaires,} I en unités ~ et

~1:

L’expression obtenue par Fermi, antérieure à celle de Breit,

en diffère par l’absence de la correction relativiste introduite

elle-même

_{légèrement supérieure}

à celle des sous-niveaux résultant de la

_{décomposition}

des autres niveaux L. Chacune des deux raies et

devrait donc être constituée par deux _{groupes de}

raies,

distants

Récemment,

Gokhale,

Frilley

et Valadarès

_[3],

_[4]

ont cherché à observer cet effet

_{expérimentalement.}

Ils ont étudié les

_largeurs

naturelles des raies K des

éléments

_compris

entre Rb et Sn : on devrait

cons-tater une _{anomalie pour} les éléments de

_spin

I et

de moment

_magnétique

_~.

_{particulièrement}

élevés.

Ainsi,

pour le niobium

(Z

= ~.1, I

= t , ia

_=6,1~),

,

cas _pour

_lequel

la

_séparation

est la

_plus

élevée

_parmi

par ce dernier, constituée par le terme en ; et de l’ordre de 5 _pour 100 _{pour Nb.}

tous les éléments

étudiés,

le calcul

fournit,

d’après

Breit,

une

_séparation

AE des sous-niveaux K

_qui,

exprimée

en

_longueurs

d’onde,

_correspond

à

U. X.

_(I

U. X. = IO-3

Â).

Cette valeur étant

plus

petite

que la

largeur

des raies

K,

qui

pour le

niobium est de l’ordre de _o,2; U.

_X.,

les deux

groupes de raies ne

_peuvent

être

_séparés,

mais on devrait s’attendre à observer un

_{élargissement}

anormal des raies K pour cet élément : cet

élar-gissement

serait

_égal

à

o,02~

U.

X.,

soit donc

9 pour 10o de la

_largeur

de la raie.

Or,

l’expérience

a fourni une variation

_régulière

de la

_largeur

des raies avec le nombre

_atomique

Z

r )

et les

_{points correspondant}

aux éléments

de I et p- élevés se

_{répartissent}

sur cette

courbe,

alors

_qu’ils

devraient être situés notablement au-dessus.

D’après

cette

courbe,

la

_précision

des

_expériences

semble

être,

du moins sur les valeurs relatives des

Fig. I. -

Largeurs naturelles /1)B des raies Kal

des éléments _compris entre Rb et Sn _{(d’après Gokhale).}

différentes

_largeurs,

de l’ordre de 3 _pour 1 oo : si

l’élargissement

attendu

existait,

il aurait pu être mis en évidence.

Comme on ne voit

_guère

la

_possibilité

d’incriminer

la théorie de la

_séparation

_{des niveaux par} effet de

structure

_hyperfine,

maintes fois _{vérifiée par ailleurs}

(dans

le domaine

_{optique), j’avais}

été amené dans une Note récente

_[5]

à rechercher une

_explication

dans la voie suivante : la

_séparation

des deux sous-niveaux K _{n’entraînerait pas} la

_séparation

des raies

correspondantes.

Dans cet

_article,

on trouvera un

_{développement}

et une

_{généralisation}

des calculs

_esquissés

dans cette

Note,

ainsi _que

_quelques

autres résultats

_qui

per-mettent de mieux

_{comprendre l’origine}

et le sens

_

des résultats obtenus.

1. L’idée émise ci-dessus semble d’abord en contra-diction avec la formule de Bohr

_qui

fait

corres-pondre

à une

_séparation

àE = h àv des niveaux une

_séparation

dv des raies. Mais il faut remarquer

qu’ici,

les deux niveaux émetteurs sont

_séparés

_par

une distance

_inférieure

à leur

_largeur;

_or, c’est une

idée

_déjà

émise _par Pauli

_[6]

et

_Weisskopf

_[71

en

_{1 g3o,}

_que des

_phénomènes

en désaccord avec la théorie usuelle de la

_largeur

des raies

_peuvent

se

produire

dans le cas où des

_photons

de même fré-quence sont émis au cours de transitions

distinctes;

ces

_phénomènes

_peuvent

être attribués à une sorte de résonance entre ces transitions.

Ainsi,

Weisskopf

et

_Wigner,

_après

avoir établi la théorie

_quantique

des raies

_spectrales

_[7],

avaient

étudié le cas de l’oscillateur

_harmonique,

dans

_lequel

les niveaux sont

_{équidistants}

et _{montré que} l’on

Fig. 2. - Schéma des niveaux de l’oscillateur

harmonique.

échappait

aux conclusions usuelles

_{[8] :}

on

_trouve,

en

_effet,

en ce _{cas, que,} si les raies

_gardent

la forme

classique

autour de

_{l’unique fréquence}

de

Bohr,

v,,

la

_largeur

des raies ne s’obtient pas comme à

l’habi-tude en sommant les

_largeurs

des niveaux initial et

final,

elles ont toutes la

_largeur

du

_premier

niveau excité. Mais le cas de l’oscillateur

_harmonique

ne se

rencontre _{pas dans les}

_spectres

d’émission des atomes réels.

Le

_problème

rencontré ici est tout différent : au lieu d’une résonance exacte entre des transitions successives d’un même

_système,

nous avons une résonance

_approchée

entre deux raies

_susceptibles

d’être émises simultanément par des atomes diffé-rents. Mais là aussi on

_peut

s’attendre à ce _que

la théorie usuelle des raies

_spectrales

ne soit pas valable et nous allons voir

_qu’il

en est

bien,

en

général,

ainsi.

2. Considérons

donc,

dans un _atome, les deux sous-niveaux émetteurs

_KI

et

_{K2 (voir 9 9),}

distants de 3E = h Ll v et dérivant du niveau K par effet

de structure

_hyperfine,

_{ainsi que le niveau} L

Fig. 3.

pour

Koei,

Lu

pour

Ka2)

situé

_plus

bas. Soient VI

et 1)2 les

_fréquences

des deux raies émises

_d’après

Bohr.

La théorie des

_{perturbations (considérant}

la

possibilité

d’émission de lumière par un atome excité comme une

_perturbation

entraînant l’existence de transitions entre les différents états de cet

_atome)

fournit un

_{système d’équations}

diff érentielles entre les

_amplitudes

de

_probabilité

de ces différents _états;

mais

_légèrement

différente du fait de la

_largeur

non nulle des niveaux émetteurs.

La forme de la raie émise sera donnée _par les

(1

=

00) 2.

On écrit ainsi le

_système

suivant :

(i

=

1,

2).

Les H sont les éléments de matrice de

l’hamiltonien d’interaction

_système

électronique-rayonnement ;

ils

_régissent

les

_{probabilités}

de

tran-sition. On en connaît

_{l’expression générale}

à

_partir

des fonctions d’onde des différents états de l’atome

_[9]

(voir (15), § 4),

mais on ne

_peut

les calculer réellement

ici du fait de la

_{dégénérescence, négligée}

ici,

du

niveau

L;

dans une théorie

_rigoureuse,

il conviendrait de

_distinguer

entre les transitions faisant intervenir

les différents sous-niveaux L et d’introduire dans le

°

système d’équations

ci-dessus,

une sommation

sup-plémentaire

sur ces sous-niveaux. Les

dévelop-pements auxquels

on est alors conduit seront

esquissés plus

loin

_(§8).

Nous

_négligerons

donc

d’abord,

pour

simplifier,

la

structure,

et aussi la

_largeur,

du niveau L traité comme niveau d’arrivée

_unique.

Mails il nous faut

alors considérer les H comme- des

_{paramètres posés}

a

_priori.

On _{remarquera que dans les}

_{équations (1)}

on n’a pas écrit de terme

correspondant

à une transition

qui

aurait lieu entre les deux niveaux

_K,

et

_K2.

Une telle transition est effectivement

_interdite,

ces niveaux étant tous deux de nombre

_quantique

orbital nul

_(transition

o

_{- o).}

Les

_{équations (1)}

et

₍₂₎

ont _{même forme que}

celles que l’on rencontre dans la théorie

_quantique

usuelle,

avec cette différence que

_{l’équation (2)}

possède

deux termes, traduisant que le même

plaoion

peut

être émis au cours de l’une des deux transi-tions

_{K1 -+}

L et

_{K2 -+}

L. C’est de l’introduction de ces deux termes, due à la

_{grande proximité}

des

niveaux

_K1

et

_K2,

que

provient

l’écart à la théorie

classique.

Notons que dans le cas de l’oscillateur

_harmonique,

les

équations

aux

_amplitudes

de

_probabilité

sont,

au

_contraire,

les mêmes _{que dans le} cas

_général;

mais comme le même

_photon

a _pu être émis au cours de l’une

_quelconque

des différentes transitions

successives,

la

_probabilité

d’émission de ce

_photon

n’est

_plus

le carré du module d’un seul

b,

mais celui d’une somme de b. Il se

_produit

alors des «

inter-érences de

_{probabilités}

» et de là vient la

modifi-cation à la théorie

_classique.

Revenons au

_{système (1), (2);}

la résolution s’en

effectue,

si l’on admet

_{qu’initialement}

l’atome est

excité au niveau

_K,

ou

_K2,

avec la même

proba-bilité pour chacun de ces

_niveaux,

en cherchant des

solutions de la forme

La substitution dans

_{l’équation}

₍₂₎

fournit

_b,,,,

puis,

remontant aux deux

_équations

_(1),

on a la

valeur des _{Yi. La}

_{répartition J (1;)}

de l’intensité

dans la raie émise est alors donnée _par

C’est ainsi que l’on

_opère

dans la théorie usuelle. Les résultats _que l’on obtiendrait si celle-ci était

valable seraient les suivants :

_{les yi}

seraient des

constantes,

2yi étant la

probabilité

de transition

Fig. 4.

du niveau

Ki

vers le niveau L. Et l’on aurait deux

raies

_J1

_(v)

et

_J2

_(~),

de forme

_{classique :}

soit donc autour des

_{fréquences respectives}

et V2 avec les

largeurs "

_{( fig.}

D’où,

grosso

modo,

une

raie

_élargie

=

v 1- v 2.

D’après

une formule bien connue, les

_{probabilités}

Pi

de transition

K;- L

_{s’expriment}

par

o étant la densité des

photons susceptibles

d’être

émis;

Yi serait alors

_égal

à

Pi.

2

En

réalité,

il s’introduit dans les

calculs,

non

seulement les deux

_{probabilités}

_P1

et

_P2,

mais aussi

et ce n’est _{que si}

_Pi

est _{nul que l’on} retrouve les

résultats

_classiques.

Sinon les résultats

_dépendent

aussi de

_P12.

Ce

_paramètre

n’a _{d’ailleurs pas} de

signification physique

aussi immédiate que les

proba-bilités de transition

_P1

et

_P2.

poserons pour

l’instant,

d’une manière

plus

géné-rale que

(3),

une solution de la forme

où nous considérons _Yi comme une

_fonction

du

_temps

(finie

à

_l’origine)

à déterminer et les ai comme les

amplitudes

complexes.

initiales,

vérifiant par

consé-quent

- Substituant dans

(2)

et

_intégrant

_par

_rapport

au

temps,

comme

_{indiqué plus}

haut,

il vient

puis

revenant à

_(1),

les deux

_équations

aux

== _l,

2) (2~

·

Dans la théorie usuelle on rencontre de telles

expressions;

mais comme les _y sont alors des

cons-tantes,

on

_peut

écrire immédiatement

_{l’expression}

de

_{l’intégrale}

en 1

_{qui figure}

dans

_(8);

on _remarque ensuite que celle-ci ne

_prend

de valeur notable _que pour v p voisin de VI; ce

_qui

_permet

de

_remplacer

la sommation _{sur p} par une

_intégration

en _1~P

_prise

de à +00,

intégrale

dont l’évaluation est

clas-sique (par

la méthode des

_résidus).

Les

_{y sont}

alors

déterminés _par une

équation algébrique.

Ici,

les ~-i sont contenus dans un

_système

d’équa-tions

_{intégrodiflérentielles, puisque apparaissant}

simultanément sous le

_{signe :}

_{différenciation par}

rapport

au

_temps

et sous le

_signe

if ...

di. p

Quoique

ne

_pouvant

_{pas actuellement calculer}

l’intégrale

en

dl,

_qui

renferme la fonction

inconnue,

’

nous _pouvons

_toujours

admettre

_qu’elle

n’existe

qu’au voisinage

des il

(les

calculs étant

_poussés

jusqu’au

bout,

on constatera _{que les} se

_présentent

sous forme d’une somme de deux

_{exponentielles}

sur

lesquelles

on

_peut

vérifier ce

point).

Il est alors

possible

de

_remplacer

la

_y

_par une

_intégrale;

, p

mais,

au

_préalable,

sortons-en :

où les P sont définis _par

₍₅₎

et

_(6),

Pu

à deux indices (2) Le _{signe ( )* signifie,} comme à faccoutumée : dérivation

par rapport au _temps. L’indice i courant dans la sommation,

a été désigné par 1.

identiques

y étant notés

simplement

Ceci ramène

₍₈₎

à la forme un _peu

_simplifiée

Il semblerait

_qu’il

_{y ait}

_ambiguïté

sur la fré-quence

(v,

ou

_v2)

à

_laquelle

il convient de calculer

_P12;

mais ceci

est,

en

réalité,

sans

_importance,

_puisque

les _{H varient peu} avec la

_fréquence;

on

_peut,

par

exemple,

évaluer les P à la

_fréquence

moyenne .> o v1 + v2 moyenne v o == 2 .

Nous avons alors utilisé l’artifice de calcul décrit ci-dessous :

L’expression

contenue au second membre de

₍₉₎

n’est pas une

_intégrale

double sur v et

_t;

mais on

peut

s’y

ramener en

_désignant,

_par

_{exemple, 1}

_{par -:} sous le

_{signe d’intégration}

_par

_rapport

au

_temps

et

par x en dehors de ce

_signe;

on ne se souviendra

Fig. ’5.

que x = t que dans le résultat final. Il vient alors

l’intégrale

double

à évaluer dans le domaine A

_représenté

sur la

figure

5.

’

Échangeant

l’ordre des

_{intégrations,}

on a d’abord à calculer

puis

une

_expression

de la forme

Cet artifice

_permet

_ainsi,

utilisant les

_propriétés

si x était dans cet

_intervalle,

elle serait

_égale

à

_{f (x).}

Ici, x

est situé exactement à la limite t de l’inter-valle

_{d’intégration;}

ce cas n’est pas

étudié,

à notre

connaissance,

dans la

littérature,

mais il nous semble

justifié, d’après

la

_propriété

de

_parité

de la

fonc-tion

_8,

_{de poser}

Explicitant f (’r),

il nous

_vient,

au lieu du

_système

intégro différentiel

(9),

le

_système

_simplement

diffé-rentiel

où l’on a

_posé

le

_facteurs

_provenant

de celui contenu dans

(11);

en

particulier, T11 (= Il)

et

_{1’22 (_--_ r2)}

sont les

valeurs

_{qu’auraient}

eu

_{respectivement}

_Y1 et _:2 si la théorie usuelle était restée valable

_(voir

para-graphe précédent).

N. B. - A titre de

vérification,

en

_particulier

de

_(11),

on

_peut

aisément évaluer directement le

second membre de

₍₉₎

_par

_intégration

directe en _y

supposant

un instant

les -,,

constants et l’on retrouve

ainsi le second membre de

_(12).

4.

Écrivons

_{explicitement (12)}

sous la forme

Nous obtenons ici le résultat annoncé au

para-graphe

2 : si

_{r 12 == 1’21 ==}

o, les Yz sont des

cons-tantes

_égales

aux

li

définis _par

₍₅₎

et

_(13);

mais si

le

_paramètre

défini « à cheval sur les deux niveaux »

Kl

et

K2

_par

l’expression (6)

n’est pas

nul,

les

doivent nécessairement

_dépendre

du

_temps

comme nous l’avons

supposé

dans le

_paragraphe

précédent.

Ainsi,

en

_général,

on ne saurait

_définir

une « vie »

(que

l’on _suppose

_toujours

_{implicitement}

être une constante

_{déterminée)}

de chacun des deux niveaux

très

_rapprochés

_K1

et

_K2.

Le

_{système (12 b)}

ne

_renferme,

en

_réalité,

_que

trois

_paramètres

réellement

_différents,

on a, en

_effet,

en faisant intervenir l’hermiticité

d’où résulte

tandis que

r1

et

_r2

sont réels. Notons d’ailleurs que vérifie

(inégalité

de

Schwartz) :

L’interprétation

de cette

_inégalité

s’effectue

aisé-ment

_d’après

un calcul de

_Weisskopf

_([8],

_p.

_25),

qui,

lors de son étude de l’oscillateur

_harmonique,

avait

_déjà

rencontré des

_expressions

de la forme

_(6).

Partant de

_{l’expression}

de l’hamiltonien à

l’approxi-mation

_dipolaire

_{[9J ~:}

+

où

_As

est le

_potentiel

vecteur là où est l’atome -+

et le vecteur associé à

_{l’impulsion}

totale de

-+

l’atome p : .

on trouve que

1B, l’2

et sont

_{respectivement}

égaux,

. ’ au facteur

numérique ‘ "

’)

près,

au carré

+

’

-+

+-de la

_longueur

de

_PA1L,

de et au

_produit

-+ -+

scalaire D’où suit

_{l’inégalité}

ci-dessus. Le

_{système (12 b)}

se résout

aisément,

du moins en

_principe,

en

_multipliant

la

_{première équation}

par (X2’ la seconde par oc1 et

soustrayant,

ce

_qui

fournit une

_équation

du

_premier

ordre _{en ~1 - "(2} que l’on résout tout

d’abord;

il est d’ailleurs

indiqué,

par la forme des

expressions

obtenues,

de poser

et de

_{prendre y}

= eyl _comme inconnue. Mais il

vient alors une

_équation

de

Riccati,

ce _que, comme il est bien connu, l’on ne sait _pas

_intégrer

en

_général.

Cependant,

il se _{trouve que si l’on} effectue alors le

changement

de variable

_{classique y}

est

Il.

le coefficient du terme du second

_degré

en _{y .}

(v),

l’équation

en z obtenue est,

après

simplifications,

à coefficients constants :

Des

quadratures

élémentaires sufflsent alors _pour

calculer z, que l’on substitue

succes-sivement dans les deux

_{équations (12}

_b);

des

quadra-tures

_également

élémentaires fournissent alors

sépa-rément ~’1 et "(2- La condition que les

produits

yi 1

soient nuls _pour = o suffit à déterminer toutes les

constantes introduites _par ces diverses

_{intégrations.}

Après

des calculs comme on le voit assez

_laborieux,

il vient

où a et b sont les racines du trinome en z ci-dessus :

d’où,

en

_définitive,

les

_expressions

des

_amplitudes

de

probabilité

des

deux niveaux

K,

et

_{K2 :}

(i

=

1,

2), j

est le second

indice,

différent de

i;

le

_{signe supérieur}

est à _{utiliser pour i} = 1 et le

signe

inférieur

_{pour i}

= _2.

L’amplitude

de

_{probabilité bL,,}

_(t)

s’obtient alors immédiatement par

l’intégration

de

_{l’équation}

₍₂₎

et la _{forme de la raie s’en déduit par}

_(4).

Nous n’écrirons ici _que la forme

_{(plus simple}

que dans le

cas

_général)

_{que l’on}

_peut

donner aux résultats dans

le cas

_particulier

_que nous allons considérer main-tenant.

5. Cas où

_P,

_{= P2}

= -

L’hypothèse

Pi

=

P,

(nous désignerons

par P la valeur commune de ces deux

_paramètres

et _par F _{la valeur}

correspon-dante des

_{rai) signifie}

_que les

_{probabilités}

de transition des deux sous-niveaux

_K1

et

_K2

vers le niveau L sont

_égales.

D’après

les

_règles

de sommation de

_Burger

et

Dorgelo

[10],

ces

_{probabilités}

sont dans le

_rapport

des

_{poids statistiques}

de ces deux

niveaux,

soient 2F + 1, où le nombre

quantique

F

(moment

cinétique

total du

_système

_{noyau +} électron

_K)

a _pour valeur I

± 2

· Donc _ce

rapport

2

est, en

_réalité,

_légèrement

diff éren t de l’ unité

(9

_II pour le niobium pour

lequel

I = 9),

₂

mais,

d’autant

_plus

voisin de 1 _{que l’élément} considéré

a un

_{grand spin}

_1,

ce

_qui

est

_{précisément}

le cas des

éléments

_qui

nous intéressent ici comme seuls

capables

de

_présenter

une structure

hyperfine

déce-lable.

Cette

_{hypothèse simplifie}

_{l’expression}

des racines a

et b et en

_particulier

de

_l’exposant

A :

La

_{justification}

de la seconde

_hypothèse,

_{P12 = P,}

apparaîtra

dans ce

_qui

suit.

De

_plus,

nous revenons aux conditions initiales

particulières exposées

en

_{(3) :}

Il vient

alors,

d’après (18) :

-

L’expression

de

_hL,’)

subit des

_{simplifications}

sup-plémentaires

dues à

_{l’égalité}

(notés

==

H).

Cette

_égalité

est, en

_effet,

nécessaire

°

pour que

l’inégalité

de Schwartz entre les r

_(ci.

paragraphe

précédent)

devienne

_{l’égalité}

_supposée

ici. Si d’ailleurs on se

_reporte

à

_{l’interprétation}

géométrique qui

en a été

donnée,

on voit _{que l’on}

a

_posé

_{l’égalité}

des carrés des

_longueurs

des deux -+

vecteurs

_{P KiL}

et de leur

_produit

scalaire,

ce

_qui

en

implique

l’identité

d’où

_résulte,

_{d’après (15),}

l’identité des

hamil-toniens H eux-mêmes.

Cette identité est évidemment à relier à la

non-dégénérescence spatiale

du niveau K. Elle serait évidente si l’on

_négligeait

l’influence du

_spin

sur les fonctions d’onde

_atomiques,

mais ceci n’est évidemment pas satisfaisant et nous

préférons

la

considérer comme vérifiée a

_posferiori,

l’hypo-thèse

_P12

= P

qui

en découle étant elle-même vérifiée

par ses

_{conséquences (doublage}

des

probabilités

de

transition,

voir

_paragraphe

_suivant).

Il

_convient,

_par

_ailleurs,

de

_rappeler

_{que la}

défi-nition

₍₁₆₎

des vecteurs P

_néglige

la

_{dégénérescence}

du niveau

L,

comme il est

_indiqué

au

_paragraphe

2.

On obtient alors la f ormule très

_simple

où est la

_fréquence

_moyenne

v1 + v2.

Lors du calcul des

modules,

il convient évidemment

de

_distinguer

deux cas, suivant que

A,

défini par

(19),

est réel ou

_imaginaire.

Mais l’on

_parvient

dans les deux cas à la même

_expression

_{de ;}

b 12,

_expression

à

_laquelle

on

_peut

donner une forme

_simple

en

utili-sant des identités de la forme

_(celle-ci

_{s’appliquant}

au cas A

_{réel) :}

Ainsi

La

_forme

de la raie émise en résulte _par

_{(4) :}

En se

_rappelant

_que

il

vient,

en

_définitive,

où l’on a :

vo,

fréquence

moyenne des deux

fréquences

de Bohr

susceptibles

d’être

_émises;

Ov,

écart entre ces deux

_fréquences;

r, valeur,

donnée _par

_(5),

_{qu’auraient}

les

cons-tantes d’amortissement y des

amplitudes

de

probabilité

si la théorie usuelle était valable. On

_peut

d’ailleurs donner au dénominateur une forme différente en utilisant l’identité

(22).

On vérifie

aisément

que

6. Discussion des résultats obtenus. -

Exa-minons d’abord le cas où àv est

nul;

l’expression

alors obtenue

1.1

définit une raie autour de la

_fréquence

_{’V 0’} de f orme

classique,

mais de

_largeur

fil

_{double de celle que l’on}

x

aurait attendue

_d’après

la théorie usuelle. ,

On

_rejoint

là un résultat connu : les

_{probabilités}

d’émission et,

parlant,

les

_largeurs

des raies

K,

sont

doublées par l’existence des deux électrons sur la couche K.

Ce fait est très

_surprenant

_{(4) :}

en

_effet,

dans les

expressions

d’Einstein des

_{probabilités}

_{d’absorption}

et d’émission de

_photons,

c’est la

_probabilité

d’ab-sorption qui

est

_{proportionnelle}

au

_{poids statistique}

du niveau excité et non la

_probabilité

d’émission

qui,

elle,

renferme le

_poids

du niveau fondamental. Mais on

_peut

le rattacher aux

_règles

de

_Burger

et

Dorgelo (voir ci-dessus),

bien établies à la fois

expé-rimentalement

_[10]

par ces auteurs

eux-mêmes,

et

théoriquement,

à

_partir

du

_principe

de

correspon-dance,

par Ornstein et

Burger,

Kronig,

Sommer-feld,

etc.

_{[11], [12], [13] :}

la

_probabilité

d’émission par l’ensemble des deux niveaux K

lorsqu’ils

sont

réunis

_{(poids statistique double)}

doit être double de la

_probabilité

_{d’émission par} un seul de ces deux niveaux

_lorsqu’ils

sont

_séparés.

La

_{justification}

directe de ce

_doublage

des

proba-bilités de transition a été _{donnée par F. Perrin dans}

son Cours au

_Collège

de France elle

repose sur

_{l’expression}

des éléments de matrice du moment

_{dipolaire électrique}

total de l’atome

utili-sant les fonctions d’onde

_{antisymétrisées}

du

système

de deux

électrons;

si

_{Un (i)}

est la fonction d’onde

spatiale

décrivant l’électron i dans l’état n, le

système

des deux électrons est _{décrit par} une fonction

_spatiale

de la forme et non

J2

simplement

par un

_{( I )}

u"2

_(2),

sauf dans l’état f

onda-mental,

Ul~

₍₁₎

uh

_(2),

où ceci

_représente

la co-mbi-naison

_symétrique,

la combinaison

_{antisymétrique}

étant nulle.

"

Nous renvoyons au Cours de F. Perrin pour le calcul

complet,

indiquant

seulement que c’est à l’absence du facteur de normalisation 1 dans

V2

ce dernier cas _{que tient} la

_{multiplication}

_par

_U2

de

l’élément de matrice du moment

_dipolaire,

d’où résulte la

_{multiplication}

_par 2 de la

_probabilité

de transition. Ce raisonnement montre _que le facteur 2

trouvé est bien lié à l’existence des deux électrons sur la couche

K;

il ne se

_{présenterait}

_{pas dans} un modèle d’atome à un seul

électron;

il ne se

présen-terait pas non

_plus

dans le cas de raies d’une autre

série que la série K.

F. Perrin

_signale

d’ailleurs

_qu’il

est _{naturel que}

les

_{probabilités}

_{d’absorption K}

_{soient doublées par} la

_présence

des deux électrons K et _que les

proba-bilités d’émission

doivent,

dès

_lors,

être aussi

doublées,

d’après

la loi

_{d’équiprobabilité}

_des

pro-cessus élémentaires en

_Cinétique

_statistique

_[14].

Les calculs ci-dessus

_permettent

du reste de

montrer

_{qu’il n’y}

a _pas, en

_réalité,

contradiction

entre ces résultats et les formules d’Einstein : ces formules renferment les

_poids

_statistiques

comme

.

indiqué

ci-dessus et aussi un coefficient dont on a

à

_prendre

la _moyenne sur toutes les transitions (4) C’est là l’expression même _employée par Burger et

512

possibles,

de sorte _que ces formules ne doivent être valables

_qu’en

_moyenne.

Or,

il

_intervient,

dans nos

_calculs,

_trois

para--+

mètres r : les

_longueurs

des deux vecteurs et leur

_produit

scalaire;

c’est à ce dernier que tiennent

Fig. 6. - La

probabilité de la même transition de la couche L vers la couche K

est double dans le cas à deux électrons.

les désaccords envers les résultats

_classiques.

Mais la _{valeur moyenne d’un}

_produit

scalaire est

_nulle,

et

nous avons vu

_qu’en

ce cas il

_n’y

a _pas de tel désaccord. Le cas des raies de la série K est celui

où ces deux vecteurs sont

_identiques

et c’est alors que le désaccord est maximum.

-+

Le cas

_opposé

serait celui où les deux vecteurs

_P,,L

seraient de même

_longueur

et

_opposés;

dans ce cas

aussi,

nous avons _{pu pousser} les calculs

_jusqu’au

bout.

_{Lorsque Du}

est

_nul,

on obtient une raie en ô : intensité nulle pour,

~ v o,

indéterminée pour v =

~o*

Bien

entendu,

une telle raie ne

_peut

être émise _et, en

_fait,

on constate _que

aussi

_grand

_{que soit} t.

7. Il y a, dans ce fait de retrouver le

_doublage

des

probabilités

de

transition,

une _{preuve à}

_l’appui

de

l’hypothèse

faite

_P12

=

P,

donc de la validité de la

formule donnant J

_(v).

Considérons maintenant le cas _{où ,v n’est pas}

nul,

c’est-à-dire où il _y a structure

hyperfine.

Il s’ouvre alors un trou au centre de la raie : J

_(vo)

= o. On voit mal la raison

physique

de son existence. Ce trou nul

_disparaît

_{dès que} les trois

paramètres

P ne sont

_plus

_égaux;

et

d’ailleurs,

même en ce cas,

_bLlvo

ne s’annule _{que pour}

Le trou

_sépare

deux raies

_{dissymétriques}

dont les maxima se situent exactement aux

_fréquences

de

Bohr V1 et v2.

Lorsque Av

croît,

il

s’élargit,

sépa-rant les deux

_composantes

_qui,

_pour Ai

_grand,

deviennent deux raies

_symétriques

de

largeur

moitié de celle de la raie obtenue initialement

pour Av

= o.

Tant

_{que Ai}

reste

_petit

la forme des bords extérieurs de la raie reste

_inaltérée;

plus

précisément,

cette forme reste celle des raies

classiques, l’élargissement

dû à la structure

_hyperfine

étant du second ordre

_(en

_:2)

et non

_simplement

égal

Le calcul montre, en

_effet,

_{que l’ordonnée} des maxima

_{est .}

_quel

_{que soit}

dv,

tandis que l’abscisse des

_points

à demi-hauteur

_2Ir

est

Ainsi,

dans le cas du

niobium,

cas où la

sépara.

tion des deux sous-niveaux K est la

_{plus grande,}

on s’attendait à un

_{élargissement}

Llv

_égal

à 9 _pour 100 de la

_largeur

totale de la raie.

_{L’élargissement}

calculé ici _est, en

_réalité,

d’un facteur

E2,

où E =

o,og,

soit donc seulement de i _pour 100, ce

_qui

est, cette

fois,

inférieur aux erreurs

_{d’expérience}

de l’ordre de 3 ou

₄

_pour i oo.

D’autre

_part,

la

_demi-largeur

du trou central est

également

du second ordre et l’on

_conçoit

que

l’expérience

ne

_puisse

montrer son existence. Dans la

figure

7, les abscisses sont considérablement

exagérées

pour montrer les déformations des

raies;

mais si l’on observe les

_profils

des raies _{fournies par}

le

_{microphotomètre,}

on _{voit que les}

_profils

fournis par les deux versants

opposés

du trou seraient confondus.

De

_plus,

on a

_négligé

la

_largeur

du niveau

L,

qui

n’est que de l’ordre du dixième de celle du niveau

K,

mais ceci est _{suffisant pour masquer} le trou

_qui,

en

réalité,

ne

_pourrait

exister _{que lors de} l’arrivée sur un niveau de

_{largeur négligeable.}

Fig. 7. -

Séparation des _{composantes hyperfines} pour dv croissânt.

-

est la _largeur attendue _d’après la théorie _classique et

2013

celle de la raie observée. Dans la réalité, la raie est « empâtée »

par la largeur additionnelle du niveau L.

8.

_{Remarques. -}

A. Vie des niveaux 1(.

-La

_probabilité

de

_présence

sur le niveau

Ki,

(t)

;2,

décroît avec le

_temps

en _exp

_(--

₄

_{r t)}

est nul.

Lorsque A,,)

n’est pas

nul,

on constate _{que la}

décroissance s’effectue de moins en moins

_vite,

au début sensiblement encore en _exp

_(-

₄

_{r t)}

et à la fin en _exp

_[-

2 ce second terme

ayant

un coefficient nul

_lorsque

= _o.

B.

_Questions

de

_phase.

--

Dans les calculs de

34

néglige

la

_question

des

_{phases, posant}

_égale

à i,

et non à eÚ3,

l’amplitude

de

_probabilité

au

_temps

zéro de l’état initial

_(qui

est alors

_unique).

Cela est

_permis,

car

eZÕ

reste en facteur dans toutes les

_équations

écrites et,

finalement,

s’élimine lors du calcul des

modules aboutissant à la forme de la raie.

Ici intervient le

_déphasage

_{(p entre} les

_amplitudes

des deux états initiaux

_possibles;

_posons

Le

calcul,

fait

_toujours

dans

_{l’hypothèse}

Pi

=

-p2

-’

P12’

donne

On voit

_{que a}

s’élimine,

mais non _{y :}

Mais un tel résultat _{n’est pas}

_acceptable.

En se bornant pour

simplifier

au cas Llv =

o, on a, en

_effet,

immédiatement :

et non i, ce

_{qui signifierait}

_{que le niveau K}

reste-rait indéfiniment excité :

Comme les

_phases

des fonctions d’onde sont

dépourvues

de sens

_physique,

il est délicat de

conclure,

surtout sans étude

_préalable

du

méca-nisme d’excitation des atomes avant l’émission du

spectre

X. A

_priori,

l’on

_peut

admettre,

si les deux niveaux

Ki

sont suffisamment

_rapproché5,

que les

probabilités

d’excitation sur ces deux états sont

égales

2

(2)

avec des

_phases

initiales

_réparties

au

hasard,

comme on le ferait s’ils étaient

confondus,

les deux états

Ki

étant alors les deux états de

dégénérescence spatiale

du niveau K. Il faut alors

faire une _moyenne sur les

ai.

La manière d’effectuer

cette _moyenne

_{dépend toujours}

du

_problème

_qui

se

présente.

Le résultat

_qui

_précède

montre,

qu’à

moins

d’accepter

la

conclusion,

qui

paraît

inadmissible,

que les atomes restent indéfiniment

excités,

cette

moyenne doit revenir à

_prendre

_cr = _{o et} l’on

obtient alors les résultats décrits dans les

para-graphes

précédents.

C’est d’ailleurs

_{précisément}

à l’absence de relation de

_phase

entre les deux états

_K,

et

_K2,

entraînant

l’additivité des

_{probabilités}

de transition et non des

_amplitudes,

_{que tient le fait que la}

_probabilité

de transition à

_partir

du niveau K

_(obtenu

_lorsque

les deux états I~i sont

_confondus)

est la

_[somme

des

_{probabilités}

de transition à

_partir

des deux niveaux

Ki

séparés,

c’est-à-dire le

_doublage

des

probabilités

de transition

signalé

ci-dessus.

Notons que la moyenne revenant à faire _p = _o

n’est ni une _moyenne

_{arithmétique}

sur

_{l’amplitude}

de

_probabilité

ni une _moyenne sur la

proba-bilité d’émission elle-même J

_(v).

C.

_Esquisse

de la théorie

_rigoureuse.

- Dans _ce

qui précède,

on a

_négligé,

comme

_indiqué

au

para-graphe

2,

la

_{dégénérescence}

de

_spin

du niveau L

(double

pour

LI,,

quadruple

pour

Lm)

ainsi que la

-+

dégénérescence

d’orientation du vecteur F

(somme

des

_spins

du _noyau et des

_électrons),

_{introduite par} la structure

_hyperfine

_{elle-même; ainsi,}

les deux états

Ki

ont les

_{poids respectifs}

I et

_1-~--

i

(c f .

§

5).

Fig. 8.

Même si ces différents états de

_{dégénérescence}

correspondent

à des niveaux

_{d’énergie pratiquement}

confondus,

il convient dans une théorie

_complète

d’introduire leurs

_amplitudes

de

_probabilité

respec-tives,

ainsi que les éléments de matrice de l’hamil-tonien

_{correspondant}

à toutes les transitions

_possibles

entre eux. Seuls ceux-là

_peuvent

être réellement

calculés à

_partir

des fonctions d’onde des différents

états du

_système

_noyau + électrons.

Considérons donc le schéma

_général

de la

_figure

_8,

constitué _par ni niveaux

Ki

et _{nj niveaux Lj.}

On écrit avec des notations évidentes :

Le

_{système (1), (2),}

_{ainsi que le}

_système

considéré

Un calcul similaire à celui du

paragraphe

4

_donne,

pour déterminer les y, : -.

où l’on a

_posé

(Pzji

est la

_probabilité

de

_transition,

_{calculée pour} un

_électron,

de l’état

Ka

vers l’état

_Li)

et

On voit _{que l’on obtient} un

_système

_{d’équations}

différentielles de même forme _que

_(12);

si même on considère le cas ni = 2

_(deux

niveaux

_Ki

et

_K2,

distants de

_~~~),

on a

quel

que soit

j,

de sorte _{que l’on retombe} exactement

sur

₍₁₂₎

en

_posant

Ainsi,

les conclusions relatives aux _Yi i sont alors

exactement tes mêmes _{que ci-dessus}

_quel

_{que soit le}

nombre des sous-niveaux

_Lj

à

_{considérer, et,}

en

parti-culier,

leur

_dépendance

du

_temps

d’où résulte l’écart à la théorie

_classique

_lorsque

= o.

On

_rapprochera

cette insensibilité au nombre des

niveaux d’arrivée des résultats du

_paragraphe

suivant.

Mais le calcul effectif de la forme de la raie semble alors devenir en

_général

_{inextricable,}

car, cette

fois,

l’égalité simplificatrice

n’est

_plus

_{nécessitée par}

_{l’égalité}

des trois

fil.

Donc, le

doublement des

_{probabilités}

de transition

lorsque Ov

=

o,

auquel

est lié l’absence

d’élargis-sement de la raie est

_petit,

_{subsiste; mais,}

n’étant _{pas actuellement parvenus} à calculer effec-tivement les éléments de matrice nous ne pouvons calculer la forme de la raie émise réellement par

l’atome,

qui

diffère

_peut-être

de celle obtenue lors du cas

_simple

étudié dans les

_paragraphes

précédents,

où les calculs _{avaient pu être}

_poussés

jusqu’au

bout. En

_particulier,

_{le trou central} pour-raît ne

_{plus apparaître}

_(5).

La détermination des

éléments de matrice est, du

_moins,

_{théoriquement}

possible,

sur la base des relations

_(15).

(5) On _peut montrer que la condition nécessaire et suffi-sante _{d’apparition} du trou central nul est _{précisément l’égalité}

Les niveaux L sont toujours traités comme de _largeur nulle.

9. Cas des niveaux d’arrivée différents. 2013

Soit maintenant L le niveau excité

_unique

et

Ki

(i = z, ~)

les deux niveaux fondamentaux pos-sibles.

Là aussi la

_possibilité

d’émission du même

photon

hvo

lors d’une

_quelconque

des deux

tran-sitions _{v1 et :12} se traduit _{par l’existence d’un terme}

supplémentaire

dans les

_équations

_{fournies par} la théorie des

_{perturbations;}

celles-ci

s’écrivent,

en effet

On recherche une solution de la forme

et, la

_probabilité

d’émission du

_photon

_hvp

étant

Fig. 9.

la forme de la raie est _{donnée par}

Le résultat

est,

qu’ici, il

n’y a

pas de

différence

avec les résultats

_classiques.

Si les

_{probabilités}

des

deux

transitions vi

sont

on trouve

et

La raison en _{est que les} niveaux

_Ki,

ici

fonda-mentaux, ont une

_largeur

_nulle;

de sorte _que, même si leur distance est inférieure à la

_largeur

de la raie

émise, il

n’y a

pas la superpositzon

des niveaux à

laquelle

tiennent les écarts

_signalés

_plus

haut. Cette

distance est

_simplement

inférieure à la

_largeur

d’un

autre niveau situé très loin d’eux

_(L),

ce

_qui

ne saurait avoir de

_{conséquences.}

mais c’est bien

_{l’expression}

donnée

_plus

haut

_qu’il

convient

d’écrire,

expression

de la

_probabilité

d’un

état

_dégénéré

_{pourvu que les fonctions} de base

soient

_{orthogonales [15].}

Ceci

_permet

de

_reprendre,

d’un

_point

de vue nouveau, la discussion faite au

_paragraphe

6 sur

la nécessité de considérer l’ensemble des électrons de l’atome.

Si l’on

_adopte

le modèle élémentaire des

_spectres

_X,

spectres

à un

_électron,

l’électron

_passant

de la couche L sur la couche K pour l’émission d’une raie

Koc,

on est conduit au schéma de la

_figure

9 et l’on ne rend pas

_compte

des

_phénomènes

observés

(absence

de structure

_hyperfine).

Si,

avec Condon et

_Shortley

_[16]

on considère l’atome dans son

_ensemble,

on _{dira que l’atome} passe du « niveau K », c’est-à-dire un électron K

éjecté

de

_l’atome,

au « niveau L _», c’est-à-dire un électron L

_éjecté.

Il

_s’agit

_{naturellement,}

_pour

_Ka2,

du niveau

Lu,

correspondant

à un trou sur la

couche 2

2P,,

pour du niveau

Lni,

un trou

sur la couche 2 2P ;. ’ 2

Cela revient au

_même,

comme on

_sait,

_pour la

prévision

des

_fréquences

des raies émises. Mais on

est alors conduit au schéma de la

_figure

3

_{qui prévoit}

des raies

_élargies

et déformées. On constate donc la

nécessité,

pour

prévoir

correctement les

_largeurs

et

les formes des raies

_spectrales,

de considérer les transitions subies par i’atome dans son ensemble.

Dans le cas de l’atome

_{hydrogénoïde,}

les deux

façons

de voir doivent évidemment être

équiva-lentes. C’est bien le cas, le

paramètre P12

étant alors

nul dans le cas de la

_figure

3.

Pour

_terminer,

_signalons

_{que l’on}

_{peut espérer}

observer de tels effets sur les raies

spectrales

ailleurs

que dans le domaine des rayons

X,

par

exemple

dans le domaine du

visible,

soit en faisant encore

appel

à la structure

_hyperfine,

soit en utilisant l’effet Zeeman. Ce

_{qui précède}

est, en

_effet,

_indépendant

de la cause

_qui

_provoque la

_séparation

des niveaux émetteurs. Il

_s’agirait

alors d’étudier l’effet

Zeeman,

non avec les

_champs

usuellement

_utilisés,

mais avec des

_champs

assez _{faibles pour} ne pas amener la

séparation

des raies

_composantes

(6).

Je ne _{saurais manquer de remercier ici M.}

Weiss-kopf,

Professeur

_d’échange

à l’Université de Paris

en

_1950-1951

et MM.

_Frilley

et

Valadarès,

de l’Ins-titut du

_Radium;

_j’exprime

d’autre

_part

toute ma reconnaissance à MM. les Professeurs Francis Perrin

et Louis de

_Broglie

pour diverses

suggestions

qui

m’ont été fort utiles.

Manuscrit reçu le 6 juin 1952.

(6) En _particulier, en se bornant à l’étude des raies, soit

aboutissant, soit _partant d’un niveau à _séparation nulle

(tels sont les niveaux à J nul et aussi

_{4 D}

_{6 G,}

à facteur

3 "7

de Landé _nul), on _aurait, suivant les cas, des schémas

ana-logues à celui de la figure 3 ou à celui de la figure 9. Le dou-blement des _{probabilités} de transition n’est, croyons-nous, à attendre que pour un niveau émetteur _nS, mais un écart

aux résultats _classiques dont s’observer dès que r n’est

plus nul.

La théorie _complète dans le cas de l’effet Zeeman serait

plus simple que dans celui de la structure hyperfine; pour l’effet Zeeman, il suffirait de considérer les états du _système

électronique seul avec la _{dégénérescence} due au nombre

quantique magnétique, tandis que lors de la structure

hyper-fine, la théorie _rigoureuse nécessiterait la considération des états du _système total _{noyau-cortège électronique,} avec la

dégénérescence supplémentaire due à F. Toutefois, le calcul resterait _{plus complexe que celui effectué ici} sur le schéma de la _figure 3.

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