Page 164 : N°21, 22, 24 Page 169 : N°65

Corrigés d’exercices

Version du 25/01/2015

Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants :

Page 164 : N°21, 22, 24 Page 169 : N°65

Page 165 : N°39, 42 Page 170 : N°72

Page 166 : N°51 Page 173 : N°86

Page 167 : N°54 Page 174 : N°90

Page 168 : N°59

N°21 page 164

( ) ²

ln 2

a = e = (en utilisant directement ^{∀ ∈ x \ , ln} ( ) ^{e x = x ).}

( ) ³

ln 3

b = e ⁻ = − (idem).

ln 5 5

c = e = (en utilisant directement ∀ ∈ x \ ^* ₊ , e ^{ln x} = x ).

ln 3 ln 3

1 1

d e 3 e

= − = = (idem) ou

ln 1

ln 3 3 1

d = e ⁻ = e = 3 (en utilisant d’abord

* 1

, ln ln

x x

+ x

∀ ∈ \ − = ).

( ) ²

2ln 7 ln 7 2

7 49

e = e = e = = ou e = e ^{2ln 7} = e ^{ln 7}

= e ^{ln 49} = 49 .

( ) ³

3ln 2 ln 2 3

3

1 1

2 2 8

f = e ⁻ = e ⁻ = ⁻ = = ou ^{3ln 2 ln 2}

³ 1 ₃ 1

2 2 8

f = e ⁻ = e

= ⁻ = = .

N°22 page 164

a. ln x = 3

On résout cette équation dans \ ^* ₊ (domaine de définition de la fonction logarithme népérien).

On a : ln x = ⇔ 3 e ^{ln x} = e ³ ⇔ = x e ³ qui est strictement positif.

{ } ^{e 3}

S =

b. 2 ln x + = 6 0

On résout cette équation dans \ ^* ₊ (domaine de définition de la fonction logarithme népérien).

On a : 2 ln x + = ⇔ 6 0 ln x = − ⇔ 3 e ^{ln x} = e ^{− 3} ⇔ = x e ^{− 3} qui est strictement positif.

{ } ^{e − 3}

S =

c. 1 4 ln − x = ln x − 9

On résout cette équation dans \ ^* ₊ (domaine de définition de la fonction logarithme népérien).

On a : 1 4 ln − x = ln x − ⇔ 9 5 ln x = 10 ⇔ ln x = ⇔ 2 e ^{ln x} = e ² ⇔ = x e ² qui est strictement positif.

{ } ^{e 2}

S =

d. ( ) ^{ln x 2 = 1}

On résout cette équation dans \ ^* ₊ (domaine de définition de la fonction logarithme népérien).

On a : ( ) ^{ln x 2 = ⇔ 1} ( ) ^{ln x 2 − = ⇔ 1 0} ( ^{ln x − 1 ln} )( ^{x + = ⇔ 1} ) ^{0 ln x − = 1 0 ou ln x + = 1 0 .}

On a alors :

• ln x − = ⇔ 1 0 ln x = ⇔ = 1 x e .

• ^{ln 1} 1

ln x 1 0 ln x 1 e ^x e x

e + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = .

1 ; e e

⎧ ⎫

= ⎨ ⎬

⎩ ⎭

S

N°24 page 164

a. ^ln ( ^{x + 2} ) ^{= ln 2}

On doit avoir x + > 2 0 , c'est-à-dire x > − 2 . On résout donc cette équation dans l’intervalle ] ^{− + ∞ 2 ;} [ ^.

Pour tout x strictement supérieur à 2 − , on a : ^ln ( ^{x + 2} ) ^{= ln 2 ⇔ + = ⇔ = x 2 2 x 0 qui}

appartient bien à l’intervalle ] ^{− + ∞ 2 ;} [ ^.

{ } ⁰

S =

b. ^{ln 2} ( ^{x − = 5} ) ¹

On doit avoir 2 x − > 5 0 , c'est-à-dire 5

x > 2 . On résout donc cette équation dans l’intervalle 5

2 ;

⎤ + ∞ ⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣ .

Pour tout x strictement supérieur à 5

2 , on a :

( ) ( ) ⁵

ln 2 5 1 ln 2 5 ln 2 5

2

x − = ⇔ x − = e ⇔ x − = ⇔ = e x e + qui appartient bien à l’intervalle 5

2 ;

⎤ + ∞ ⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣ .

5 2 e +

⎧ ⎫

= ⎨ ⎬

⎩ ⎭

S

c. ^{4 ln 1} ( ^{− x} ) ^{= 8}

On doit avoir 1 − > x 0 , c'est-à-dire x < 1 . On résout donc cette équation dans l’intervalle

] ^{−∞ ; 1} [ ^.

Pour tout x strictement inférieur à 1, on a :

( ) ( ) ( ) ^{2 2 2}

4 ln 1 − x = ⇔ 8 ln 1 − x = ⇔ 2 ln 1 − x = ln e ⇔ − = 1 x e ⇔ = − x 1 e qui appartient bien à l’intervalle ] ^{−∞ ; 1} [ ^.

{ ^{1 e 2} }

S = −

d. ^{ln 3} ( ^{x + = 8} ) ^{ln x}

On doit avoir 3 x + > 8 0 et x > 0 , c'est-à-dire 3 8 0 0 x

x + >

⎧ ⎨ >

⎩ .

Or :

3 8 0 8

3 0

0 0

x x

x x

x + > ⎧ > −

⎧ ⇔ ⎪ ⇔ >

⎨ > ⎨

⎩ ⎪ > ⎩

On résout donc cette équation dans l’intervalle \ ^* ₊ . Pour tout x strictement supérieur à 0, on a :

( )

ln 3 x + = 8 ln x ⇔ 3 x + = ⇔ 8 x 2 x = − ⇔ = − 8 x 4 qui n’est pas strictement positif.

S = ∅

N°39 page 165

( ) ( ² ) ²

ln12 ln 4 3 ln 2 3 ln 2 ln 3 2 ln 2 ln 3

a = = × = × = + = +

1 1 3 3

ln 8 ln 8 ln 2 ln 2

2 2 2

b = = = =

ln 9 ln 3 2 2 ln 3

c = = =

ln 3 ln 3 ln 2 d = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 = −

( ) ^{1 1}

ln 2 ln 2 ln ln 2 ln ln 2

2 2

e = e = + e = + e = + (les notations de l’énoncé sont ici plus que malvenues…)

9 2

ln ln 9 ln ln 3 1 2 ln 3 1

f e

e

= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − = − = −

N°42 page 165

( )

ln 4 ln 5 ln 4 5 ln 20

a = + = × =

ln 6 ln 7 ln 6 b = − = 7

1 3

ln 3 ln 5 ln 3 ln 5 ln

2 5

c = − = − =

2 ln 6 ln 6 2 ln 36

d = = =

1 1

ln 2 1 ln ln ln ln

2 2 2

e = − + = + e = ⎛ ⎜ ⎝ × e ⎞ ⎟ ⎠ = e

( )

1 3 1

3ln 5 ln 5 ln ln125 ln ln 125

2 2

f = + = + e = + e = e

N°51 page 166

On a :

2

2

0, 99

5 5

1 0, 99 0, 01 10

6 6

5 5 2 ln10

ln ln10 ln 2 ln10

6 6 ln 5

6 2 ln10

ln 5 ln 6

n

n n

n

P

n n

n

−

−

≥

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇔ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≥ ⇔ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≤ =

⎡ ⎛ ⎞ ⎤ −

⇔ ⎢ ⎢ ⎣ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎥ ⎥ ⎦ ≤ ⇔ ≤ − ⇔ ≥

⇔ ≥ −

−

Comme 2 ln10

25, 26 ln 5 ln 6

−

− , on en déduit que le nombre minimal de lancers pour que l’on ait

n 0,99

P ≥ est n = 26 . Vérifions :

25

26

1 5 0, 989 517 6

1 5 0, 991 265 6

− ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠

− ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠

N°59 page 168

1. Commençons par les limites.

On a :

0

0 différence

0 0 0

0

lim ln

lim ln 2 lim 2

x x

x x x

x

x

x x x

→ >

→ >

→ >

= −∞⎫

⎪⎪ ⇒ ⎛ − ⎞ = −∞

⎬ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

= +∞⎪

⎪⎭

0 0 ( )

0 0

lim ln 2 lim

x x

x x

x g x

→ x →

> >

⎛ − ⎞ = = −∞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

De façon analogue :

différence

lim ln

lim ln 2 lim 2 0

x

x x

x

x x x

→+∞

→+∞

→+∞

= +∞⎫

⎪ ⇒ ⎛ − ⎞ = +∞

⎬ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

= ⎪ ⎭ 2 ( )

lim ln lim

x x x g x

→+∞ x →+∞

⎛ − ⎞ = = +∞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Voyons maintenant pourquoi la fonction g s’annule sur ] ^{0 ; + ∞} [ en une unique valeur x ₀ comprise entre 2,3 et 2,4.

La fonction g est dérivable, et donc continue, sur ] ^{0 ; + ∞} [ en tant que différence de deux fonctions dérivables sur cet intervalle (fonction logarithme népérien et, au facteur

multiplicatif 2 près, la fonction inverse). Pour tout réel x strictement positif, on a :

( ) ^{1 2} ₂

'

g x = + x x

Comme x est strictement positif, on a immédiatement 1

x > 0 , 2 ₂

x > 0 et donc ^{g '} ( ) ^{x > 0 .}

Ainsi, la fonction g est strictement croissante sur ] ^{0 ; + ∞} [ ^.

Enfin, on a vu précédemment : ( )

0 0

lim

x x

→ g x

>

= −∞ et ^lim ( )

x g x

→+∞ = +∞ .

D’après le théorème de la bijection, on peut conclure que l’équation ^{g x} ( ) ^{= 0} admet une unique solution dans ] ^{0 ; + ∞} [ . Nous la notons : x ₀ .

On a : ( ) ^{2,3 ln 2, 3} ( ) ^{2 0, 036 7 0}

g = − 2,3 − < et ( ) ^{2, 4 ln 2, 4} ( ) ^{2 0, 042 1 0}

g = − 2, 4 > .

On en déduit finalement :

La fonction g s’annule sur \ ^* ₊ en une unique valeur x ₀ comprise, strictement, entre 2,3 et 2,4.

2. D’après la question précédente, on a : g x ( ) 0 = 0 , c'est-à-dire : ₀

0

ln x 2

= x .

Il vient alors : ( ) 0 ^{0 0} 2

0 0 0 0 0

5 2

5ln 2 1 10

x x 5

f x x x x x x

×

= = = × × = .

( ) 0 2 0

f x 10

= x

N°54 page 167

1. Dérivation d’un produit : ^{f '} ( ) ^{x 1 ln x x 1 ln x 1}

= × + × = x +

2. Dérivation d’un rapport : ( )

( ) ² ( ) ²

1 ln 1

ln 1 '

ln ln

x x x x f x

x x

× − × −

= =

3. Dérivation de la puissance d’une fonction : ^{f '} ( ) ^{x 2 ln x 1 2 ln x}

x x

= × × =

4. Dérivation d’un produit : ^{f '} ( ) ^{x 1 sin x ln x cos x sin x ln x cos x}

x x

= × + × = + ×

N°65 page 169

a. Le premier terme de la suite ( ) u n est strictement positif et sa raison est strictement supérieure à 1. On en conclut immédiatement que la suite ( ) u n est (strictement) croissante.

On peut redétailler …

Pour tout entier naturel n, on a : ₀ 4 5 1, 2

n n

u n = × u q = × .

Il vient donc : 1 ¹ ( )

4 4 4 4

1, 2 1, 2 1, 2 1, 2 1 1, 2 0, 2

5 5 5 5

n n n n

n n

u ₊ − u = × ⁺ − × = × × − = × × et on a immédiatement : 4

1, 2 0, 2 0 5

× n × > . D’où le résultat.

La suite ( ) u n est (strictement) croissante.

b. On a : 4 5

100 1, 2 100 1, 2 100 1, 2 125 ln1, 2 ln125

5 4

n n n

u n ≥ ⇔ × ≥ ⇔ ≥ × ⇔ ≥ ⇔ n ≥ .

Comme 1, 2 1 > , on a ln1, 2 > 0 d’où : ln125 ln1, 2 ln125

ln1, 2

n ≥ ⇔ ≥ n .

Comme ln125

ln1, 2 26,5 on aura u _n ≥ 100 pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 27.

n 100

u ≥ pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 27.

N°72 page 170

On pose X = ln x .

On a donc, en considérant les exponentielles : e ^X = e ^{ln x} = x . Alors :

( ) ^{ln 2 2}

x e X

x = X puis :

( ) ^{2 2}

lim lim

ln

X

x X

x e

x X

→+∞ = →+∞ .

On ne peut conclure directement, la limite classique : lim

X X n

e

→+∞ X = +∞ , pour tout n entier naturel, n’étant officiellement plus au programme.

Classiquement, le dénominateur étant un carré, on fait apparaître un carré au numérateur :

2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

1 2 4

2 2

X

X X X X

X e

e e e e e

X X

X X X X

× ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ ⎛ ⎜ ⎞ ⎟

= = = ⎜ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎜ ⎜ ⎝ × ⎟ ⎟ ⎠ = × ⎜ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎠

On a alors :

( )

composition 2 2

composition 2

2

lim 2

lim 1

lim croissance comparée lim

2 4

1 2 lim 4

X

X X

t X

t X

X

e

X e

e t X

α α

→+∞

→+∞

→+∞ →+∞

→+∞

⎫ ⎫

= +∞ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⇒ = +∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ = +∞

= +∞ ⎪⎭ ⎬ ⎪ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎝ ⎠

= +∞⎪ ⎪

⎭

On a donc :

( )

2 2

2 2

lim lim lim 1

ln 4

2

X X

x X X

x e e

X X

→+∞ x →+∞ →+∞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= = ⎜ ⎟ = +∞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

( ) ²

lim

x ln x

→+∞ x = +∞

N°86 page 173

1. VRAI

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

( ) ^{1 1 n ln 1 1} ( ) ^{1 ln 2 ln 2}

f n = × + = × =

On en déduite donc que pour tout entier naturel non nul n, le point A 1; ln 2 appartient à ( )

la courbe C _n ^.

2. VRAI

On a d’abord : u 1 = f 1 ( ) 2 = × 2 ¹ ln 1 2 ( + ) = 2 ln 3 . Puis : pour tout entier naturel non nul n, on a :

( ) 2 2 ⁿ ln 3 2 ln 3 2 ^{n 1} 1 2 ^{n 1}

n n

u = f = × = × ⁻ = × u ⁻

On en déduit immédiatement que la suite ( ) u n est une suite géométrique de raison q = 2

et de premier terme u ₁ = 2 ln 3 .

3. VRAI

Pour tout entier naturel non nul n, on a :

( ) ¹ ( ) ¹

' ln 1

1

n n

f n x n x x x

x

= − × + + ×

+

D’où : ( ) ¹ ( ) _N

0 0

' 0 0 ln 0 1 0 1 0

0 1

n n

f n n ⁻

= =

= × × + + × =

+ .

Ainsi, le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse 0 est toujours nul : la tangente est horizontale.

4. FAUX

Pour tout entier naturel non nul n et tout x dans l’intervalle [ ] 0 ; 1 , on a :

( ) ( ) ¹ ( ) ( ) ( ) ( )

1 ⁿ ln 1 ⁿ ln 1 ⁿ ln 1 1

n n

f ₊ x − f x = x ⁺ x + − x x + = x x + × − x

• x ≥ ⇒ 0 x ⁿ ≥ 0 .

• ^{x ≥ ⇔ + ≥ ⇔ 0 1 x 1 ln 1} ( ^{+ x} ) ^{≥ ln1 ⇔ ln 1} ( ^{+ x} ) ^{≥ 0 .}

• x ≤ ⇔ − ≤ 1 x 1 0 .

En définitive, pour tout x dans l’intervalle [ ] 0 ; 1 , on a : ^{x n ln} ( ^{x + × − ≤ 1} ) ( ^{x 1} ) ^{0 , soit} ( ) ( )

1 0

n n

f ₊ x − f x ≤ .

N°90 page 174

1. Soit a un réel quelconque fixé.

Pour tout réel x strictement positif, on a :

( ) ( ^ln ) ¹

f a x x a

= + × x D’où :

( )

( )

0 somme

0

0 produit

0 0

0 0

0

0 0

lim ln

lim ln

lim 1

lim ln lim 1

x x

x x x

x x

x

x x

x

x a a a

x a x x

→ >

→ >

→ > →

>

→ >

= −∞ ⎫ ⎫

⎪ ⎪

⇒ + = −∞⎪

= ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⇒ ⎡ ⎢ ⎣ + × ⎤ ⎥ ⎦ = −∞

= +∞⎪ ⎪

⎭

0 ( )

0

lim _a

x x

f x

→ >

= −∞

On a aussi : a ( ) ^ln

x a f x

x x

= + . D’où :

( ) _somme

lim ln 0 croisssance comparée

lim ln 0

lim 0

x

x x

x

x a x

a x x

x

→+∞

→+∞

→+∞

= = ⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⇒ ⎛ ⎜ ⎝ + ⎞ ⎟ ⎠ =

⎪⎭

( )

lim _a 0

x f x

→+∞ =

2. La fonction f est dérivable sur \ ^* ₊ comme rapport de deux fonctions dérivables sur cet intervalle et pour tout réel strictement positif x, on a :

( ) ( )

2 2

1 ln 1

ln 1

a '

x x a

x x a f x

x x

× − + × − − +

= =

( )

*

2

ln 1

, _a ' x a

x f x

+ x

− − +

∀ ∈ \ =

3. Comme x > ⇒ 0 x ² > 0 , le signe de f a ^' ( ) x est celui de − ln x a − + 1 . On a : − ln x − + ≥ ⇔ a 1 0 ln x ≤ − + ⇔ ≤ a 1 x e ^{− + a 1} .

On en déduit immédiatement :

• Pour tout réel x de ⎤ ⎦ 0 ; e ^{− + a 1} ⎤ ⎦ , on a : f a ^' ( ) x ≥ ⁰ et la fonction f _a est croissante.

• Pour tout réel x de ⎡ ⎣ e ^{− + a 1} ; + ∞ ⎡ ⎣ , on a : f a ^' ( ) x ≤ ⁰ et la fonction f _a est croissante.

On en déduit immédiatement que la fonction f _a admet un maximum en x _a = e ^{− + a 1} et on

a : ( ) ( ¹ ) 1

1 1 1

ln ^a 1 1 _a

a a a a a

e a a a

y f x e

e e e

− +

−

− + − + − +

+ − + +

= = = = = .

La fonction f _a admet un maximum en x _a = e ^{− + a 1} et on a : y a = f x ( ) a = e ^{a − 1} .

4. Comme on l’a vu précédemment, on a : a ( ) a ¹ a ₁ ¹ a

y f x

e ^{− +} x

= = = . Ainsi, le point

( a ^; a )

A x y appartient à la courbe représentative de la fonction inverse.

Le point A x ( a ^; y a ) appartient à la courbe représentative de la fonction inverse.

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous les courbes représentatives de quelques fonctions f _a pour 1

a = − 2 , 0, 1 et 2. Pour une valeur de a donnée, le sommet de la courbe est

noté S _a . En bleu, on a fait apparaître la partie de la courbe représentative de la fonction

inverse correspondant aux abscisses strictement positives.