Master 2 EADM 2011-2012 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
UE 12 CAPES externe Oral 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 13 Th` eme : ´ Equations diff´ erentielles en STS
L’exercice propos´e au candidat
Une r´eaction chimique implique deux r´eactifs A et B. Les vitesses de dispa- rition des r´eactifs A et B d´ependent lin´eairement de la concentration en A, mais B agit de plus comme un catalyseur : il acc´el`ere la disparition de A. On d´emarre d’une concentration de 15 g/l pour le r´eactif A et de 8 g/l pour le r´eactif B. On cherche `a savoir combien il restera de r´eactif B `a la fin de la r´eaction.
On mod´elise cette situation par les ´equations diff´erentielles suivantes sur les concentrations a et b des r´eactifs, suppos´ees d´erivables en fonction du temps :
(a0(t) = −k (a + 2b), b0(t) = −k a,
o`u k est la vitesse de r´eaction d´ependante des conditions physiques de l’exp´erience (temp´erature, pression), consid´er´ees ici comme constantes.
1. Quelles ´equations v´erifient les fonctions c(t) = a(t) + b(t) et d(t) = a(t) − 2 b(t)?
2. Calculer les fonctions c(t) et d(t) solutions g´en´erales de ces ´equations.
3. En d´eduire les solutions a(t) et b(t) solutions de la mod´elisation, puis les concentrations solutions et enfin la r´eponse au probl`eme.
Une r´eponse d’´el`eve `a la question 3.
Les fonctions exp(kt) et exp(−2kt) sont solutions g´en´erales, donc n’im- porte quelle combinaison lin´eaire est solution de la mod´elisation. La r´eaction faisant disparaitre plus de A que de B, on a a(t) = 15 exp(−2kt) pour avoir a(0) = 15. La r´eaction ne s’arrˆete jamais, mais on v´erifie que la concentration en A tend vers z´ero.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Pr´esenter les principaux r´esultats, la nature des m´ethodes et les diff´erents outils utilis´es dans la r´esolution de cet exercice.
2. Analyser la r´eponse de l’´el`eve.
3. Illustrer cet exercice `a l’aide d’un logiciel de votre choix.
4. Proposer des exercices sur le th`eme des ´equations diff´erentielles en S.T.S.
en cherchant des applications aux sciences et techniques.
