Master 2 EADM 2013-2014 Capes externe
UE 11 Epreuve sur dossier
DOSSIER An 4 Thème : Fonctions exponentielles et logarithmes
L’exercice
Soit a un nombre réel.
1) Déterminer suivant les valeurs de a le nombre de solutions de l’équation :
!
ex = x + a 2) Déterminer suivant les valeurs de a le nombre de solutions de l’équation :
!
ln x = ax2
La solution proposée par deux élèves à la question 1
Elève 1J’utilise le logiciel Geogebra. Je trace la courbe de la fonction
!
ex . J’introduis un curseur a et je trace les droites d’équation
!
y = x + a
Je vois ainsi que : si a < 1 , il n’y a pas de solution ; si a =1, une seule solution ; si a > 1 , il y a deux solutions.
Elève 2
On a vu en cours que la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d’abscisse 0 a pour équation
!
y = x "1
On a aussi démontré que la courbe est située au-‐ dessus de sa tangente.
Or, les droites d’équation y = x + a sont parallèles à cette tangente.
Donc, vu la forme de la courbe de la fonction exponentielle, il est évident que :
Si a > 1, la droite est située au -‐dessus de cette tangente et rencontre donc la courbe en deux points. L’équation a deux solutions.
Si a =1, il n’y a qu’une solution
Si a < 1 , la droite est située au-‐ dessous de cette tangente et ne rencontre donc pas la courbe, l’équation n’a pas de solution.
Le travail à exposer devant le jury
1. Indiquer quels sont les savoirs et savoirs faire mobilisés dans ces deux exercices.
2. Analysez les productions des deux élèves. Quelles compétences peut-on déceler et quelles sont celles qu’il convient de développer ?
3. Exposez une correction de la question 2 de cet exercice comme vous le feriez devant une classe de terminale scientifique.
4. Proposez deux autres exercices sur le thème « Fonctions logarithmes et exponentielles ».
