http://xmaths.free.fr TS − Étude et représentation graphique − Exercices page 1 / 1
Exercice C3
On appelle fonction cosinus hyperbolique (notée ch) la fonction définie sur IR par : ch(x) =ex + e-x 2 . On appelle fonction sinus hyperbolique (notée sh) la fonction définie sur IR par : sh(x) =ex - e-x
2 .
Partie A
1°) a) Montrer que les fonctions ch et sh sont dérivables sur IR et déterminer les fonctions (ch)' et (sh)'.
b) Calculer les limites des fonctions ch et sh en -∞ et +∞.
2°) a) Donner le tableau de variations de la fonction sh puis celui de la fonction ch.
b) Soit f = ch - sh ; étudier le signe de f et en déduire la position relative des courbes de sh et de ch.
Déterminer la limite de f en +∞. Que peut-on en déduire en ce qui concerne les courbes représentatives de sh et ch ?
3°) Tracer les courbes des fonctions sh et ch dans un repère orthonormé (O;→i,→j) d'unité 1cm.
La courbe de ch est appelée "chaînette".
Partie B
De façon analogue à la trigonométrie circulaire, on peut développer une trigonométrie hyperbolique.
Dans toute cette partie, a et b sont des réels quelconques.
1°) Calculer ch2(a) + sh2(a) et ch2(a) - sh2(a).
2°) Justifier que ch(a + b) = ch(a) ch(b) + sh(a) sh(b) ; ch(a - b) = ch(a) ch(b) - sh(a) sh(b) et sh(a + b) = sh(a) ch(b) + ch(a) sh(b) ; sh(a - b) = sh(a) ch(b) - ch(a) sh(b) En déduire ch(2a) et sh(2a) en fonction de sh(a), sh(b), ch(a) et ch(b).
3°) Les formules sont-elles identiques aux formules de trigonométrie circulaire ?
Partie C
On définit sur IR la fonction tangente hyperbolique (notée th) par : th(x) = sh(x) ch(x) .
1°) Déterminer la fonction (th)', d'une part en fonction de ch, d'autre part en fonction de th.
2°) Calculer les limites de th en +∞ et en -∞. Donner le tableau de variations de th .
3°) Tracer la courbe représentative de la fonction th dans un repère orthonormé (O;→i,→j) d'unité 1cm.
