Mécanique II

Mécanique II

Par Tilahun Tesfaye

African Virtual university Université Virtuelle Africaine Universidade Virtual Africana

Mécanique II

Note

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Table des maTières

I. Mécanique II ______________________________________________ 3 II. Connaissances préalables ____________________________________ 3 III. Échéancier________________________________________________ 3 IV. Matériel didactique _________________________________________ 4 V. Fondements du module______________________________________ 4 VI. Contenu__________________________________________________ 4 6.1 Présentation générale____________________________________ 4 6.2 Sommaire ____________________________________________ 5 6.3 Représentation graphique _________________________________ 6 VII. Objectifs généraux _________________________________________ 7 VIII. Objectifs spécifiques d'apprentissage ___________________________ 7 IX. Évaluation préliminaire ______________________________________ 9 X. Activités d'apprentissage ___________________________________ 16 XI. Concepts-clés (glossaire) ___________________________________ 89 XII. Liste exhaustive des lectures obligatoires _______________________ 93 XIII. Liste exhaustive des ressources pertinentes _____________________ 97 XIV. Liste exhaustive des liens utiles ______________________________ 99 XV. Synthèse _______________________________________________ 104 XVI. Évaluation sommative _____________________________________ 105 XVII. Références bibliographiques _______________________________ 121 XVIII. Biographie de l'auteur ____________________________________ 122 XIX. Structure des fichiers _____________________________________ 123

i. mécanique ii

Par Tilahun Tesfaye de l’Université Addis Ababa en Éthiopie

Fig. 1 : La roue de vélo effectue un mouvement de rotation, l’axe tourne autour du point de suspension, afin que le plan de rotation de la roue demeure vertical.

ii. Connaissances préalables

Pour bien comprendre les notions contenues dans ce module, il faut avoir complété le module mécanique I.

iii. Échéancier

La durée d’apprentissage de ce module est de 120 heures.

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iV. matériel didactique

Le matériel listé ci-dessous est nécessaire pour effectuer les exercices du module.

1. Ordinateur : Un ordinateur personnel équipé d’un logiciel de traitement de texte et d’un tableur électronique.

2. Une balle et une ficelle : Pour les expériences portant sur le mouvement de rotation.

3. Un mètre à mesurer : Pour les expériences portant sur le mouvement de rotation.

V. Fondements du module

La physique étudie l’énergie et ses transformations. L’une des manifestations de la transformation de l’énergie apparaît lorsque les objets sont mis en mouvement. Le mouvement a été étudié dans le module mécanique I. Dans ce dernier, l’accent était mis sur la description cinétique et dynamique du mouvement des particules.

Le présent module étudie profondément la notion de mouvement en traitant la dynamique d’un système de particules : le mouvement de rotation de corps rigides et la force gravitationnelle. Le présent module vise à développer la capacité de résolution de problème en utilisant l’équation du mouvement d’un corps rigide en rotation lorsque le mouvement se fait autour d’un axe fixe et lorsque le mouvement se fait autour d’un axe principal. De plus, l’étudiant apprendra à calculer l’énergie cinétique de rotation d’un corps rigide en mouvement de rotation et à utiliser cette forme d’énergie cinétique dans la résolution de problème en utilisant le principe de la conservation de l’énergie.

Vi. Contenu

6.1 Présentation générale

Les principales notions du module de mécanique II sont : les dynamiques d’un sys- tème de particules, le mouvement de rotation et la force gravitationnelle. La première partie du module est consacrée à l’étude de l’impulsion mécanique en relation avec la quantité de mouvement.

Le module se concentre ensuite sur les descriptions cinétique et dynamique du mouve- ment de rotation. De nouvelles variables seront présentées et utilisées pour décrire le mouvement de rotation. Puis, on verra que les équations de mouvement qui décrivent un mouvement de translation ont une contrepartie rotationnelle.

La troisième partie du module met l’accent sur la force gravitationnelle. Jusqu’à maintenant, diverses forces ont été décrites d’un point de vue totalement empirique.

Afin d’avoir une compréhension plus unifiée de ces forces et pour acquérir un pouvoir de prédiction plus précis, nous examinerons deux des quatre forces fondamentales qui sont à l’origine de toutes les autres forces. La troisième partie s’intéressera à la force gravitationnelle qui explique l’interaction entre tous les corps astronomiques, le mouvement des planètes et de la Lune, les trajectoires empruntées par les véhicules spatiaux, le mouvement des marées et le poids des objets.

6.2 Sommaire

Dynamiques d’un système de particules (40 heures)

- Quantité de mouvement d’une particule et d’un système de particules.

- Conservation de la quantité de mouvement - Impulsion et quantité de mouvement

- Conservation de la quantité de mouvement dans les collisions et les explosions

; collisions élastiques et inélastiques - Collisions doubles

- Centre de masse et mouvement autour du centre de masse

Mouvement de rotation (35 heures)

- Cinétique de rotation, variables angulaires, relations entre quantité de mou- vement et cinématique angulaire – axe fixe

- Dynamique de la rotation, couple, moment cinétique (d’une particule et d’un système de particules), moment d’inertie, énergie cinétique de rotation - Conservation du moment cinétique

Force gravitationnelle (25 heures) - Loi de la gravitation universelle

- Le mouvement des planètes et des satellites

- Champ gravitationnel et énergie potentielle gravitationnelle, inertie et élément de masse

- Variation de la force du champ gravitationnel selon la latitude et l’altitude - Mouvement des orbites de satellites géostationnaires

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Relativité du mouvement (20 heures) - Vitesse relative

- Mouvement relatif transversal - La transformation de Galilée

6.3 Représentation graphique

Mechanics II

A. D yn am ic s o f s ys tem s o f pa rt ic les:

B . R ot at ion al M o t ion:

C. G ra vita tio n:

D . Re lat ivit y of M o tio n:

L in ear m om entum of part icl e and of a sys tem of part icl es, c onserv ati on of li n ear m om entum .

I m pul se and li near m om entum ,

Con serv ation of li near m om entu m i n colli sion s and ex pl osi ons;

elast ic and i nelasti c colli s ions; colli s ions in t w o dim ensi ons.

C ent re of m ass and m otion about centr e of m ass.

R otati onal k inem ati cs, angul ar v ari ables,

rel ation ship betw ee n li near and an gular k in em ati cs - fix ed ax i s.

R otati onal d ynam ic s, t or que, ang ular m omentu m (of a part ic le and a sys tem of p ar ti cl es ), rotat ion iner tia, rot ation al k i netic energ y, c onserv ati on of ang ular m omentu m . The L aw of Univ ersal Gr avi tati on,

planet an d satelli te m oti on,

gr av i tati onal fi eld and pot ent ial , i nert ia and grav it at ional m ass.

V ar iati on i n g rav itati onal fiel d st rength due to lati tud e, alt itu de.

Mot ion of pl anets and satelli t es- geostati onary or bi ts. R elati ve v el ocit y.

R elat iv e Vel ocit y

Unform R el ativ e Tr an slati onal Moti on The Galili an Tr ansform ati on

Mechanics II

Vii. Objectifs généraux

À la fin de ce module, vous devriez être capable de :

- Comprendre les concepts de quantité de mouvement et de mouvement ciné- tique

- Comprendre la dynamique de rotation

- Comprendre l’interaction des forces gravitationnelles et comment elles s’ap- pliquent aux satellites artificiels

- Avoir acquis les compétences nécessaires à la résolution de problèmes

Viii. Objectifs spécifiques d’apprentissage

Dynamiques d’un système de particules

(40 heures) Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette section, vous devriez être capable de :

• Quantité de mouvement d’une particule et d’un système de particules.

• Conservation de la quantité de mouvement

• Impulsion et quantité de mouvement

• Conservation de la quantité de mouvement dans les collisions et les explosions ; collisions élastiques et inélastiques

• Collisions à deux dimensions

• Centre de masse et mouvement autour du centre de masse

• Faire le lien entre l’impulsion et la quantité de mouvement

• Résoudre des problèmes qui renferment des collisions élastiques et inélastiques, à une ou deux dimensions.

• Définir le mouvement du centre de masse et le mouvement d’un système de particules autour du centre de masse

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Mouvement de rotation (35 heures)

• Cinétique de rotation, variables angulaires, relations entre quantité de mouvement et la cinématique angulaire – axe fixe

• Dynamique de la rotation, couple, moment angulaire (d’une particule et d’un système de particules), moment d’inertie, énergie cinétique de rotation

• Conservation du moment cinétique

• Résoudre et utiliser des

équations sur le mouvement de rotation

• Comprendre le rapport entre les quantités angulaires et linéaires et le mouvement de rotation autour d’un axe fixe

• Utiliser la formule

τ = Iα

pour résoudre des problèmes

• Définir ce qu’est le mouvement angulaire et sa conservation

• Résoudre des problèmes de dynamique de la rotation

Force gravitationnelle (25 heures)

• Loi de la gravitation universelle

• Le mouvement des planètes et des satellites

• Champ gravitationnel et énergie potentielle gravitationnelle, inertie et élément de masse

• Variation de la force du champ gravitationnel selon la latitude et l’altitude

• Mouvement des satellites géostationnaires

• Utiliser la loi de la gravitation universelle dans la résolution de problèmes

• Définir ce qu’est le champ gravitationnel et l’énergie potentielle gravitationnelle

• Faire la différence entre inertie et élément de masse

• Calculer la vitesse de libération des satellites

Relativité du mouvement (20 heures)

• Vitesse relative

• Mouvement relatif transversal

• La transformation de Galilée

• Définir la relativité du mouvement

• Utiliser la transformation de Galilée pour la résolution de problèmes

iX. Évaluation préliminaire

Êtes-vous prêt à suivre le module de Mécanique II ? À l’étudiant :

Dans cette section, une auto-évaluation vous permettra de vérifier si vous avez les connaissances nécessaires pour commencer le présent module. Il est important que vous suiviez les recommandations qui vous seront faites selon votre résultat. Prenez le temps de répondre au questionnaire.

Au professeur :

L’évaluation préliminaire sert à évaluer si l’étudiant possède les connaissances préalables à ce module. Il est fortement suggéré de suivre les recommandations qui correspondent au résultat que l’étudiant aura obtenu. En tant que professeur, vous devriez encourager l’étudiant à répondre à toutes les questions de l’évaluation. Des recherches en pédagogie démontrent que ce type d’exercice aide l’étudiant à être mieux préparé et à exprimer clairement les connaissances qu’il a déjà acquises.

Auto-évaluation

Cette évaluation vous permettra de savoir si vous possédez les connaissances préa- lables à la réalisation du module Mécanique II. Si vous obtenez un résultat supérieur ou égal à 60 sur 75, vous êtes prêt à commencer le présent module. Si votre score se situe entre 40 et 60, vous devriez réviser la notion de chaleur dans le domaine de la physique. Si votre résultat est inférieur à 40 sur 75, vous devriez suivre un cours de base en physique.

Répondez aux questions suivantes

1. Une personne parcourt une distance d en mètres qui correspond à la formule

(5m/s

²

)t

²dans laquelle t est en secondes. Parmi les énoncés suivants, choisissez ceux qui sont vrais.

a) Sur une période de 10 secondes, la distance parcourue est de 500 mètres b) Sur une période de 10 secondes, la vitesse moyenne d’une personne est de

50 m/s

c) Sur une période de 10 secondes, la vitesse moyenne d’une personne est de 100 m/s

d) Si t =10s, la vitesse instantanée d’une personne est de 100 m/s

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2. La position d’une particule qui se déplace en suivant l’axe x dépend de la durée.

Le modèle de l’équation suivante est sur quatre secondes, xest en mètres et t en secondes.

x = 4t

²

− 2t

³

+ t

⁴

4

Parmi les énoncés suivants, choisissez ceux qui correspondent à cette formule.

a) La particule atteint sa position maximale x en 2 secondes

b) Sur une période de 4 secondes, le déplacement de la particule est de zéro c) Sur une période de 4 secondes, la particule parcourt une distance de 8 mètres d) Après 2 secondes, la vitesse de la particule est de zéro

3. Parmi les énoncés suivants, choisissez ceux qui sont vrais.

a) Un projectile lancé de la Terre suit une trajectoire circulaire b) Un projectile lancé de la Terre suit une trajectoire parabolique

c) Un projectile atteint sa vitesse minimale au plus haut point de sa trajectoire d) Un projectile atteint sa vitesse maximale au plus haut point de sa trajectoire 4. Une particule est entraînée par une force de grandeur constante qui est toujours

perpendiculaire à la vitesse de la particule. Si l’on considère que le mouvement de la particule suit celui d’un avion, la particule :

a) A une vitesse constante b) A une accélération constante c) A une énergie cinétique constante

d) Se déplace en suivant une trajectoire circulaire

5. Une piste circulaire est conçue pour s’y déplacer à une certaine vitesse, mais une particule parcourt cette piste à une vitesse moindre. La force de frottement à angle droit par rapport à la direction du mouvement :

a) Est totalement absente

b) Agit en suivant la route vers l’extérieur c) Agit vers l’extérieur selon l’horizontale d) Agit en suivant la route vers l’intérieur

6. Si deux forces égales ont une résultante égale à la grandeur de chacune de ces forces, alors l’angle entre ces deux forces est de :

a)

0

^o b)

60

^o c)

190

^o d)

120

^o

7. Un corps solide flotte dans un liquide d’une densité de 0,8. Le corps solide a 2/5 de son volume exposé à l’air, sa masse volumique est donc de :

a) 0,6 g/cm³ b) 0,48 g/cm³ c) 0,4 g/cm³ d) 0,32 g/cm³

8. Parmi les énoncés suivants, choisissez celui qui indique que la voiture n’a pas accéléré.

a) La voiture monte une pente raide et sa vitesse chute de 60 km/h une fois arrivée au sommet

b) La voiture tourne un coin à une vitesse constante de 29 km/h

c) La voiture monte une pente raide à une vitesse constante de 40 km/h

d) La voiture monte une pente raide, passe le sommet et descend l’autre côté de la pente à une vitesse constante de 40 km/h

9. Quelle loi du mouvement rend la nage possible?

a) La deuxième b) La première c) La troisième d) Aucune

10. Un projectile est lancé à un angle de 37 ° à une vitesse initiale de 100 m/s. Quelle est sa composante de vitesse verticale après 2 secondes?

a) 80m/sec b) 40m/sec c) 60m/sec d) 100m/sec

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11. Un projectile est lancé à un angle de 37 ° à une vitesse initiale de 100 m/s. Quelle est sa composante de vitesse verticale après 2 secondes ?

a) 80 m/s b) 40,4 m/s c) 60 m/s d) 29,6 m/s

12. Dans la question 11, la position du projectile au-dessus du sol après 3 secondes est d’environ :

a) 140 m b) 200 m c) 136 m d) 120 m

13. Un projectile est lancé horizontalement à une vitesse initiale de 20 m/s. Trois secondes plus tard, sur le plan horizontal, sa vitesse est de :

a) 20 m/s b) 6,67 m/s c) 60 m/s d) 29,4 m/s

14. Sur le plan vertical, la vitesse de ce même projectile après 3 s est d’environs : a) 9,8 m/s

b) 60 m/s c) 29,4 m/s d) 20 m/s

15. Lequel de ces angles de projection permettra le plus long parcours?

a) 37 ° b) 20 ° c) 48 ° d) 60 °

16. Un bloc de 10 kg est soulevé à 20 m au-dessus du sol à l’intérieur d’un champ gravitationnel. Celui-ci a :

a) Un effet négatif

b) Un effet égal à l’énergie potentielle finale c) Un effet positif

d) Une quantité vectorielle

17. Un corps en équilibre peut ne pas avoir de : a) Quantité de mouvement

b) Vecteur vitesse c) Accélération d) Énergie cinétique

18. Le watt-seconde est :

a) Une quantité de mouvement b) Une force

c) Une énergie d) Une puissance

19. Une tête de hache de 2,5 kg exerce une force de 80 kN lorsqu’elle s’enfonce de 18 mm dans un tronc d’arbre. La vitesse de la tête de hache lorsqu’elle frappe l’arbre est de :

a) 1,2 m/s b) 34 m/s c) 3,4 m/s d) 107 m/s

20. Une masse de 50 kg a une énergie potentielle de 4,9 kJ par rapport au sol. La hauteur de la masse au-dessus du sol est de :

a) 10 m b) 98 m c) 960 m d) 245 m

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Réponses 1. A, C, D 2. A, B, C, D 3. B, C 4. C, D 5. B 6. D 7. B 8. C 9. C 10. B 11. B 12. C 13. A 14. C 15. C 16. A 17. C 18. C 19. C 20. A

Remarque aux étudiants

Beaucoup d’étudiants croient à tort que la mécanique est difficile à comprendre. Cette croyance ne provient pas d’un manque d’information ou de concepts théoriques, mais bien de l’absence d’idées claires et justes quant aux relations entre les concepts de la physique. Les étudiants ont souvent du mal à préciser ce qui forme la base d’une définition, ce qui est le résultat d’une expérience ou ce qu’il faudrait traiter comme une généralisation théorique d’un savoir empirique.

Il faut savoir déterminer si un fait s’impose comme une évidence ou non. Il est aussi capital de ne pas prendre différentes formulations d’un même problème pour des lois différentes. De là l’importance de résoudre autant de problèmes que possible et de prendre le temps de bien faire les exercices et les autoévaluations suggérés dans le présent module.

Des recherches sérieuses effectuées récemment ont démontré que les étudiants les plus performants en physique (et en d’autres matières) sont ceux qui s’engagent à fond dans le processus d’apprentissage. Cette implication peut prendre plusieurs for- mes : écrire des questions en marge de vos lectures, poser des questions par courriel, participer à des forums de discussion portant sur la physique, etc.

Pour conclure…

La physique n’est pas seulement un ensemble de faits, elle est une façon de voir le monde. L’auteur de ce module espère qu’en plus de vous apprendre des notions de mécanique, ce cours vous permettra d’améliorer votre faculté de raisonnement, votre habileté à résoudre des problèmes et votre capacité à communiquer de façon précise.

Dans ce cours, vous vous exercerez à faire des explications qualitatives, des estima- tions numériques rapides et la résolution méthodique de problèmes quantitatifs. Si vous parvenez à comprendre un phénomène selon tous ces angles et que vous pouvez l’expliquer clairement à d’autres, alors vous « pensez comme un physicien », comme nous nous plaisons à le dire. Même si vous finissez par oublier toutes les notions apprises dans ce cours, les compétences que vous aurez acquises vous serviront tout au long de votre vie.

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X. activités d’apprentissage

Activité 1 : Dynamiques d’un système de particules

Il vous faudra 40 heures pour compléter cette activité. Au cours de celle-ci, vous passerez à travers une série de lectures, de capsules multimédias, d’exemples d’exer- cices et de questions lors d’autoévaluations. Il est fortement conseillé de faire tous les exercices proposés et de consulter le matériel pédagogique, les liens utiles et les références.

Objectifs d’apprentissage

— Faire le lien entre l’impulsion et la quantité de mouvement

— Résoudre des problèmes qui renferment des collisions élastiques et non élas- tiques, à une ou deux dimensions.

— Définir le mouvement du centre de masse et le mouvement d’un système de particules autour du centre de masse

Sommaire de l’activité d’apprentissage

Les problèmes dans lesquels ont retrouve la collision de corps sont difficiles à ré- soudre si l’on tente d’appliquer la seconde loi de Newton

F r

∑ ^{= m a r}

parce que les forces qui agissent entre les corps qui se rencontrent ne sont pas totalement connues.

Dans cet exercice, il n’est pas nécessaire de connaître les forces et leur durée pour analyser le mouvement d’un système de particules interdépendantes. Nous définirons et utiliserons plutôt la notion de l’impulsion comme suit :

J = Δp

Afin de pousser plus loin notre compréhension de la mécanique, il faut commencer par observer les interactions de plusieurs particules à la fois. Il faut d’abord définir et examiner un nouveau concept, le centre de masse, qui nous permet de faire des calculs mécaniques pour un système de particules.

Lectures obligatoires

Les lectures libres de droits d’auteurs devraient être fournies aux étudiants en version électronique sur support CD en même temps que le module.

Lecture 1 : Momentum in One Dimension

Référence complète : Conservation of Momentum Version HTML de Simple Nature, par Benjamin Crowell.

URL : http://www.lightandmatter.com/html_books/0sn/ch03/ch03.html#Section3.1 Page visitée le 20 avril 2007

Résumé

Cette lecture est un extrait d’un livre de Benjamin Crowell qu’il est possible de consulter en ligne à l’adresse suivante : www.lightandmatter.com. L’extrait recom- mandé est pertinent à la présente activité d’apprentissage.

Fondement

La lecture recommandée contient plusieurs illustrations sur la quantité de mouvement.

Le mouvement du centre de masse est aussi représenté à la fin du document. On y trouve une façon particulière de voir les notions de collision et de conservation de la quantité de mouvement. Les exemples tirés de la nature, portant par exemple sur les comètes, sont intéressants et éducatifs.

Lecture 2 : Momentum Conservation and Transfer

Référence complète : Momentum Conservation and Transfer De : Project PHYSNET PDF Modules

URL : http://35.9.69.219/home/modules/pdf_modules/m15.pdf Page visitée le 20 avril 2007

Résumé

Dans ce document, on trouve la définition de la quantité de mouvement pour une particule et un système de particules. À l’aide des lois de Newton et de la définition de la quantité de mouvement, il est démontré que la quantité de mouvement d’un système de particules isolé reste inchangée avec le temps (c.-à-d. conservé).

Fondement

Ce document traite du contenu de la présente activité d’apprentissage. On y voit d’une façon différente les notions de collision et de conservation de la quantité de mouvement. Les exercices fournis à la fin du document peuvent aider à appliquer les notions et principes étudiés à différentes situations.

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Ressources pertinentes à l’activité d’apprentissage Exercices interactifs en ligne, vidéos, animations, etc.

Ressource 1

Titre : Motion of Center of Mass

URL : http://surendranath.tripod.com/Applets/Dynamics/CM/CMApplet.html Capture d’écran :

Description : L’applet montre le mouvement du centre de masse d’un objet en forme d’haltère. Le point rouge et le point bleu représentent deux masses et sont liés par une tige. La vitesse de projection de l’haltère peut être changée en utilisant les barres de défilement correspondant à la vitesse et à l’angle de projection. La barre de défilement du rapport de masse permet de décaler le centre de masse. Dans l’image, m₁ est la masse de l’objet bleu et m₂, celle de l’objet rouge. Cochez les cases de trajectoire 1 et 2 pour faire apparaître ou disparaître les trajectoires des deux masses.

Fondement : L’applet illustre le mouvement du centre de masse de deux points (en rouge et en bleu). La vitesse et l’angle de projection peuvent être changés.

Liens utiles à l’activité d’apprentissage

Liste de liens qui apportent un point de vue différent sur la matière de l’activité d’apprentissage. Chaque lien est accompagné d’une capture d’écran.

Lien 1 : Classical Mechanics Titre : All Thermodynamics

URL : http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/lectures/

Capture d’écran :

Description : Portrait approfondi des sujets abordés en mécanique I et II.

Fondement : Ce site Web aborde de façon claire la plupart des notions de mécanique dans le domaine de la physique. L’étudiant devrait consulter les chapitres 7, 8 et 9 du livre, dont on peut consulter la version PDF.

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Description détaillée de l’activité d’apprentissage

Introduction

Dans le module de mécanique I, vous avez étudié les forces qui agissent sur les corps et les particules ainsi que leur effet. Ces forces agissent sur leurs points d’appui pour une durée assez longue pour être mesurées. Dans certains phénomènes, l’interaction entre les corps est si rapide qu’il est difficile d’en mesurer les forces produites ou la durée de l’interaction. Par exemple, combien de temps dure la collision entre deux boules de billard ? Quelle est la force appliquée par une balle sur une autre ? Ce sont des questions auxquelles il est difficile de répondre. Devrions-nous abandonner l’idée de calculer le résultat des collisions ? Devrions-nous laisser cela à l’expérience et l’intuition du joueur de billard ? La physique ne laisse pas tomber si facilement la possibilité d’expliquer un phénomène.

Dans un cas comme celui des boules de billard, les notions de quantité de mouvement et d’impulsion, en plus des conditions où la quantité de mouvement est conservée, nous permettront de prédire la vitesse et la direction du mouvement après l’interaction.

Les quantités scalaires du travail et de l’énergie ne sont pas associées à des direc- tions. Lorsque deux ou plusieurs corps interagissent entre eux, ou lorsqu’un corps se fractionne en deux ou plusieurs autres corps, les différentes directions de mouvement ne peuvent être liées seulement à l’énergie. Les quantités vectorielles qu’on appelle quantité de mouvement et impulsion doivent aussi être analysées.

Quantité de mouvement et impulsion

Dans le module de mécanique I, les notions de travail et d’énergie ont été abordées selon les lois du mouvement de Newton. Nous verrons maintenant les notions de quantité de mouvement et d’impulsion qui proviennent aussi de ces lois.

Une particule de massem se déplace à une vitesse

v r

. Supposons qu’une force constante F

r

agit en suivant la trajectoire du mouvement, alors t

a v v

r r r

+

=

0 en multipliant les deux termes de cette équation par m nous obtenons

m rv = mrv

₀

+ r

Ft ⇒ m rv − mrv

₀

= r

Ft

⇒ Δ rp = rFt

rv = rv_o + rat en multipliant les deux côtés de cette équation par nous obtenons mvr

= mvr

0 + Fur t

⇒ mvr

− mvr

0 = Fur .t

⇒ Δ pur

= Fur t

La quantité de mouvement d’une particule est le produit de sa masse et de sa vitesse linéaire

v m p

r r

=

valable uniquement pour vr << à la vitesse de la lumière C

P = mrv valid only for rv << the speed of light c r

⇒ ^p

x

= mv

_x

; p

_y

= mv

_y

; p

₂

= mv

₂

L’impulsion d’une force est le produit d’une force et de l’intervalle de temps

Δt

^de temps durant lequel elle agit, c.-à-d.

r j = Δrp

En termes de ces deux quantités nouvellement définies

Δ p

ur = J ur

= F ur . t

Notez que l’équation ci-dessus fonctionne indépendamment pour les composants c.-à-d.

Δp

_x

= J

_x

= F

_x

. t Δp

₄

= J

₄

= F

₄

. t Δp

₂

= J

₂

= F

₂

. t

La quantité de mouvement d’une particule peut aussi être liée à la force nette qui agit sur la particule, comme suit

r F = mra = m drv dt = d

dt (mrv) = drp dt

⇒ d r p = r

Fdt

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En intégrant cette dernière formule, le changement de la quantité de mouvement d’une particule est

Δ p ur

= p ur

f

− p ur

i

= F ur

t_i t_f

∫ ^.dt

La quantité

ur F

t_i t_f

∫ ^.dt

est appelée l’impulsion de la force F

ur

pour

Δt = Δ

_f

− t

_i

I = F ur

t_i t_f

∫ ^{. dt = Δp}

Impulsion – Théorème de la quantité de mouvement

Comme la force peut généralement varier selon le temps, il est approprié de déterminer une moyenne temporelle de la force

F ur

= 1

Δt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ F ur

t_i t_f

∫ ^{. dt}

⇒ I = Δrp = F ur Δt

Conservation de la quantité de mouvement

Deux particules peuvent interagir ensemble, mais sont isolées de leur environne- ment

F₁₂

= la force sur la particule 1 due ˆ la particule 2

F₂₁

= la force sur la particule 2 due ˆ la particule 1 On applique la seconde loi de Newton

F

₁₂

=

dp₁ dt

, and F

₂₁

=

dp₂

dt

Ces forces peuvent avoir différentes origines (gravitationnelles, électromagnétiques, etc.).

Puisqu’elles sont des paires action-réaction

F

₁₂

+ F

₂₁

= 0 dp

₁

dt + dp

₂

dt = d

dt ( uru p

₁

+ p uru

₂

) = 0

⇒ quantité de mouvement totale (rp) = rp

₁

+ rp

₂

= constant.

⇒ p

_ix

= p

_fx

p

_iy

= p

_fy

p

_iz

= p

_fz

Lorsque la quantité de mouvement totale d’un système est conservée, il s’agit de la loi de la conservation de mouvement.

Exemple 1 : Quantité de mouvement et impulsion

Un enfant fait rebondir une balle sur le trottoir. L’accélération linéaire de la balle qui rebondit sur le trottoir est de 2 ns durant 1/800 de seconde de contact. Quelle est la grandeur de la force moyenne exercée sur la balle?

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Solution

Si: I = 2Ns and Δt = 1

800 sec.

Par définition : I = F

_av

Δt

Alors la force moyenne exerc ée sur la balle est de F

_av

= 2 1 800

= 1600N.

Exemple 2 : Une balle d’acier de 3 kg frappe un mur massif à une vitesse de 10 m/s, à un angle de 60 ° comme dans l’image ci-dessous. Si la balle est en contact avec le mur pour 0,2 seconde, quelle est la force moyenne exercée par la balle sur le mur?

Solution

Δp

Δt = F

_av

= p

_f²

+ p

_i²

+ p

_i

p

_f

Δt

= 30

²

+ 30

²

+ 2 × 30 × 30cos 0.02

= 260N. en direction horizontale.

Le système de particules

Jusqu’à maintenant, nous avons simplifié les interactions entre particules en consi- dérant que ces particules étaient des points. Cette façon de faire a ses limites pour deux raisons :

- La plupart des objets ont une forme plus complexe qu’un simple point - Les systèmes à débit massique ne pourraient pas être traités (propulsion de

fusée, explosion, etc.)

Dans cette section de l’activité d’apprentissage, nous généraliserons les lois du mouvement afin de passer outre ces difficultés. Commençons par revoir la seconde loi de Newton

F = mra = r d

dt ( ) mrv ^{= m d} P r

dt

Nous préférons cette version de la seconde loi parce qu’elle s’applique aux systè- mes complexes et parce que la quantité de mouvement s’avère être un élément plus essentiel que m ou v pris séparément.

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Voici quelques définitions de termes utilisés dans ce module :

Système : Un système est un ensemble de substances ou d’objets interdépendants formant un tout, gouverné par les lois de la physique. Par exemple, le système solaire est gouverné par la loi de la gravitation.

Système fermé : Un système fermé n’a pas d’interaction avec son environnement.

Force externe : Une force externe est une force exercée sur un système, ou une partie d’un système, par un corps ou un organisme à l’extérieur du système.

Prenons un système de N particules qui interagissent avec des masses

m

¹

, m

₂

, m

₃

... m

_N

La j^th particule se trouve en position r

ur

_j

, la force de la particule j^th est de

ur

f _j , et sa quantité de mouvement est de p

r

_j mv

r

_j

=

_.

L’équation du mouvement de la particule J^eme est donc :

externe j erne j

j f f

dt p

f d

r r r

r = =

^int

+

La force de la particule j peut être séparée en deux termes (force interne et force externe)

Si l’on ajoute toutes les équations de mouvement de toutes les particules du système, on obtient :

r f

₁^int

+ r

f

₁^ext

= d p uru

₁

dt M

r f

_j^int

+ r

f

_j^ext

= d p uru

_j

dt M

r f

_N^int

+ r

f

_N

= d p u r u

_N

dt

⇒ r

f

_j^int

∑ ⁺ ∑ ^{r f}

^jext

^{= d p}

^j

uru

dt , j = 1, 2, 3, Ln

∑

f_j^ext

∑

= la somme de toutes les sommes externes qui agissent sur toutes les particules

= la totalité de la force externe qui agit sur le système

=r F_ext f_j^int

∑

= la somme de toutes les forces internes qui agissent sur toutes les particules

= 0 Selon la troisième loi de Newton

Selon la troisième loi de Newton, les forces entre deux particules sont égales et opposées. Les forces internes d’un système de particules s’annulent lorsqu’elles forment des paires.

Donc

∑

f_j^{ext = Furext = d p} ur dt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∑

= d dt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ urp

∑

j Q la dérivée d'une somme est la somme des dérivées Si

p

_j

= p ur

∑

représente la quantité de mouvement totale du système, alors la dernière équation dévie :

r

F

_ext

= drp dt

La force externe totale qui agit sur un système de particules est égale au taux de changement temporel de la quantité de mouvement totale. On constate ici le manque de détails concernant les interactions. En effet, F

ur

ext

peut tout aussi bien être une force unique qui agit sur une particule unique que le résultat de plusieurs éléments qui interagissent.

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Le centre de masse des particules

La notion de centre de masse nous permet de définir le mouvement d’un système de particules par le mouvement d’un simple point. Nous utiliserons le centre de masse pour calculer la cinématique et les dynamiques d’un système en le considérant comme un tout, sans prendre en compte le mouvement individuel de chacune des particules du système.

Nous expliquerons ce qu’est le centre de masse du système de particules le plus simple, qui contient seulement deux particules, et nous l’appliquerons ensuite à des systèmes contenant plusieurs particules.

Le centre de masse de deux particules en une dimension

Si une particule de masse

m

₁ a une position

x

₁ et qu’une particule de masse

m

₂ a une position

x

₂, alors la position du centre de masse des deux particules est de :

x

_cm

= m

₁

x

₁

+ m

₂

x

₂

m

₁

+ m

₂

La position du centre de masse est un point dans l’espace qui ne fait pas nécessairement partie d’une ou l’autre des particules. On peut comprendre intuitivement ce phéno- mène en reliant de façon imaginaire les deux particules à une barre rigide. Si vous tenez cette barre à l’endroit où se trouve le centre de masse, les particules devraient s’équilibrer. Ce point d’équilibre n’existera pas entre tous les éléments.

Centre de masse d’un système de deux particules sur plus d’une dimension La notion de centre de masse peut être poussée plus loin si l’on y ajoute des éléments de vitesse et d’accélération :

Si l’on prend une simple dérivée de temps x_cm, on constate que :

v

_cm

= m

₁

v

₁

+ m

₂

v

₂

m

₁

+ m

₂

Voici une autre variation, mais cette fois en fonction de l’accélération :

a

_cm

= m

₁

a

₁

+ m

₂

a

₂

m

₁

+ m

₂

Avec ces trois équations, nous avons généré les éléments nécessaires à la cinématique d’un système de particules.

De plus, il est possible de pousser plus loin la dernière formule que nous avons vue afin d’en faire ressortir les dynamiques du centre de masse. Prenons deux particules qui interagissent entre elles dans un système qui n’a pas de force externe. La force exercée sur

m

₂ par

m

₁ se nomme

F

₂₁, et la force exercée sur

m

₁ par

m

₂ se nomme

F

12. En appliquant la deuxième loi de Newton, il est possible de dire que

F

₁₂

= m

₁

a

₁ et que

F

₂₁

= m

₂

a

₂. On peut maintenant intégrer cela à la formule de l’accélération du centre de masse :

a

_cm

= F

₁₂

+ F

₂₁

m

₁

+ m

₂

Par contre, selon la troisième loi de Newton,

F

₁₂ et

F

₂₁sont des forces en réaction, et

F

₁₂

= −F

₂₁

Donc,

a

_cm

= 0

. Donc, si un système de particules ne subit aucune force externe, le centre de masse du système se déplacera à une vitesse constante.

Qu’arrive-t-il s’il y a une force externe? Comment peut-on prédire le mouvement du système ? Prenons encore notre exemple de système à deux particules, avec

m

₁

qui reçoit une force externe de

F

₁ et

m

₂ qui reçoit une force de

F

₂. Il faut continuer à tenir compte des forces entre les deux particules,

F

₂₁ et

F

₁₂. Selon la deuxième loi de Newton :

F

₁

+ F

₁₂

= m

₁

a

₁

F

₂

+ F

₂₁

= m

₂

a

₂

Si l’on intègre cette formule dans l’équation de l’accélération du centre de masse, on obtient :

Université Virtuelle Africaine 0

F

₁

+ F

₂

+ F

₁₂

+ F

₂₁

= m

₁

a

₁

+ m

₂

a

₂

⇒ F

₁

+ F

₂

= m

₁

a

₁

+ m

₂

a

₂

= m (

₁

+ m

₂

) ^a

^cm

⇒ ∑ F

_external

^{= m} (

¹

^{+ m}

²

) ^a

^cm

= Ma

_cm

Cette équation a une forte ressemblance avec la deuxième loi de Newton. L’ensemble de l’accélération d’un système de particules, sans tenir compte du mouvement indi- viduel de chaque particule, peut être calculé avec cette équation. Prenons maintenant une particule unique de masse M placée au centre de masse d’un système. Exposée aux mêmes forces, la particule unique accélérera de la même façon que le fera le système. Ceci nous amène à voir un énoncé très important : Le mouvement d’ensemble d’un système de particules peut être déterminé en appliquant les lois de Newton, si l’on considère que la masse du système est concentrée au centre de masse et que les forces externes agissent directement sur ce point.

Systèmes de plus de deux particules

Une simple expansion de notre équation à deux particules à un système de n particules permettra de voir la masse totale du système M

M = m

₁

+ m

₂

+ m

₃

+ L + m

_n

Avec cette définition, il est possible d’énoncer simplement les équations pour trouver la position, la vitesse et l’accélération du centre de masse d’un système à plusieurs particules de la même façon qu’on l’a fait avec le système à deux particules. Donc, pour un système de n particules :

x

_cm

= 1

M ∑ m

_n

x

_n

v

_cm

= 1

M ∑ m

_n

v

_n

a

_cm

= 1

M ∑ m

_n

a

_n

F

_ext

= Ma

_cm

∑

Quelques explications sur ces équations s’imposent, puisque leur forme est identi- que à celle des équations pour les systèmes à deux particules. Toutes ces équations concernant les dynamiques du centre de masse peuvent être confondues , mais nous clarifierons tout cela par un court exemple.

Prenons un missile composé de quatre parties, qui fait une trajectoire parabolique dans les airs. À un certain moment, un mécanisme installé dans le missile le fait ex- ploser en quatre parties. Chacune d’elles emprunte une direction différente, comme on peut le voir ci-dessous :

Figure : Un missile qui explose en plusieurs morceaux.

Que peut-on dire à propos du mouvement des quatre parties du système ? Nous sa- vons que toutes les forces appliquées sur les parties du missile jusqu’à l’explosion étaient internes, et ont donc été annulées par une autre force réactionnelle; c’est la troisième loi de Newton. La seule force extérieure qui agit sur le système est la force de gravitation, et elle agit de la même façon avant et après l’explosion. Donc, même si après l’explosion les pièces du missile volent dans des directions imprévisibles, il est tout de même possible de prévoir que le centre de masse de ces quatre pièces continuera la trajectoire parabolique qu’il avait empruntée avant l’explosion.

Cet exemple démontre la force de la notion du centre de masse. Avec cette notion, il est possible de prévoir le comportement potentiel d’un groupe de particules qui em- prunteront des directions imprévisibles. Nous savons maintenant comment calculer le mouvement d’un système de particules si on le considère comme un tout. Cependant, pour pouvoir réellement expliquer le mouvement, il faut aussi trouver une loi pour déterminer la façon dont chacune des particules réagira. Pour ce faire, la notion de quantité de mouvement sera expliquée dans la prochaine section.

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Conservation de la quantité de mouvement (dans un système de particules) Nous avons vu que le taux de variation de la quantité de mouvement d’un corps est proportionnel à la force résultante qui agit sur le corps, et va dans la même direction que cette force :

f

= r drp

dt

Pour un système de n particules pr

=

p n

p

p r r

r + +....+

2 1

= m₁v₁

Quand la résultante de la force externe qui agit sur le système est de zéro, le vecteur total de la quantité de mouvement du système reste constant. C’est le principe de conservation de la quantité de mouvement.

urp

= pur

1+ pur

2 +L pur

n

= m₁vr

1+ m₂vr

2 +Lm_nvr

n = MV_cm

i.e. Quantité de mouvement totale d'un système de particules

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= masse totale du système

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × Vitesse du centre de masse du système

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⇒dr P

dt = M drv_cm

dt = Mra_cm

⇒ r F_ext = dr

P

dt = 0, quand aucune force externe n'agit sur le système

Système de masse variable :

v M y

x

y

x v+Δv Δm M-Δm

Figure : La masse m se déplace à la vitesse v.

La figure ci-dessus montre la masse m qui se déplace à la vitesse v. Après un certain temps, une masse

Δm

est éjectée à une vitesse u dans la direction opposée de celle de v. Pour ce système de masse variable, il est possible d’écrire

F_ext

=

d p

ur

dt ^qui est le résultat approximatif de

F

_ext

; Δ p ur Δt = ur p

f

− p ur

i

Δt

; [( M − ΔM )(v + Δv) + ΔMu] − [Mv]

= M Δv

Δt + [u − (v + Δv)] ΔM Δt as Δt → 0

F

_ext

= M dM

dt + v dM

dt − u dM dt

Note : Cette équation est une forme simplifiée de la loi de conservation de la quantité de mouvement.

Exemple 3 : Une grenade, qui vole à l’horizontale à une vitesse de 12 m/s, explose en deux fragments qui ont respectivement pour masses 10 kg et 5 kg. La vitesse du plus gros fragment est de 25 m/s et forme un angle de 330 ° avec l’axe horizontal.

Trouvez la direction et la vitesse du plus petit fragment.

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Solution : La figure ci-dessous représente la situation donnée.

Exemple 4 : Un corps dont le poids est de 4N repose sur un plan horizontal lisse et il est frappé par une force de 2N qui dure 0,02 seconde. Trois secondes plus tard, il est poussé par une autre force de -2 N qui dure 0,01 seconde. Quelle sera la vitesse du corps après 4 secondes ?

Solution : Les forces dans ce problème sont :

Pour chaque t>3,01 secondes est la somme des deux surfaces

i.e J r

∑ = (2 × 0.02) + (0.01× (−2)) = 0.02N − sec

⇒ 0.02N.sec = 4

9.8 ( v − 0) ⇒ v = 0.049m/ s

Quantité de mouvement totale avant l'explosion

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟= Quantité de mouvement totale après l'explosion

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

(P_tot)_before =(P_tot)_after

⇒ (15 × 12)r

i=(250 cos 30 + 5 v cos θ)ir

+ (−250sin30 + 5vsinθ) jr 0 ⇒ 5v sin θ=125

⇒ vsin θ=25

⇒ 180 =216.5 + 5v cos θ ⇒ vcos θ =-7.3L(2) (1) ÷ (2) ⇒ tan θ =25/-7.3 = -3.4247 ⇒ θ=-73.72⁰ =

tan est – ve dans les 4e et 2e cadrans. Pour le problème, nous utilisons l'angle du 2e

∴ en utilisant la valeur de θ dans (1) v= 25

sin 6= 25

sin106.28= 26m/ s

Exemple 5 : Un cours d’eau ayant une surface transversale de 2000

mm

², dont l’eau s’écoule à une vitesse de 10 m/s sur le plan horizontal, frappe une turbine fixe. Si l’on considère que la vitesse de l’eau par rapport à l’aube est constante (aucune friction), déterminez les composantes verticales et horizontales de la force de l’aube agissant sur le cours d’eau.

Solution :

"

'

v v

r r

=

, mais les dimensions sont différentes

La masse m de toutes les particules de l’eau dans un intervalle de temps

Δt

est

m= AvgΔt A = surface , v vitesse, p-densité de l'eau

= (2000 × 10

⁻⁶

m

²

)(10m/s)(10

³

kg/m

³

)=20(Δt) on utilise J r

= Δ p ur

dans les directions x et y

F

_x

Δt = m(v

¹¹_x

− v

_x¹

) = (20Δt)(−10cos45 − 10) = (20Δt)(−17.07) F

_y

Δt = m(v

¹¹_y

− v

¹_y

) = (20Δt)(−10 sin 45 − 0) = (20Δt)(7.07)

∴ F

_x

= −341.4N; F

_y

= 141.4N

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Exemple 6 :

Prenons le mouvement de 0 à A

v

₁₁

= vog − gt

_ob

⇒ t

_ob

= v

₀

sin 45

g L(1)

x

₁

= v

_ox

. t

_ob

= (v

₀

cos45)( v

₀

sin 45

3 )L(3)

v₁₁ = v₀-gt_ob

Lorsque le projectile explose au point A, la vitesse suivra la trajectoire x.

i.e.

v₀

cos45m(v

₀

cos45) =

m

2

v_f by cons of mom and where v_f is the v of the flying frag.

⇒ v

_f

= 240cos45

∴ x

₂

= (240cos45)t

_ob

since the fine of fall is

= (240 cos 45) v

₀

sin 45

g = v

²₀

sin 45cos45 g

⇒ x

_tot

= x

₁

+ x

₂

= v

²₀

sin 45cos45

g + 2v

²₀

sin 45cos45

g = v

²₀

sin 45cos45

g [1+ 2]

= 3 v

²₀

sin 45cos45

g = 1.055 × 10

⁵

ft

Résolvez les problèmes suivants

Tâche 1.1 La distance franchie par un fragment après une explosion

Un projectile est tiré d’un fusil à un angle de 45 ° par rapport à l’horizontale, et à une vitesse de 1500 pi/sec lors de sa sortie de la bouche du canon. Lorsqu’il atteint le plus haut point de son vol, le projectile explose en deux fragments de masse égale.

L’un des fragments a une vitesse initiale de zéro et tombe verticalement. À quelle distance l’autre fragment atterrira-t-il si l’on suppose que le terrain est toujours de même niveau?

Réponse :

= 1.055 × 10

⁵

ft

Tâche 1.2 La masse d’un bateau qui recule

Quatre filles qui ont une masse de 50 kg chacune plongent horizontalement à 2,5 m/s du même côté du bateau. Celui-ci recule à une vitesse de 0,1 m/sec. Quelle est la masse du bateau?

Réponse : 5000 kg

Tâche 1.3 Thèmes de discussion

Discutez des questions suivantes sur le forum de discussion 1. Pourquoi un fusil recule-t-il après que la balle soit partie ?

2. Vous attrapez une balle de baseball. Puis, quelqu’un vous invite à attraper une balle de fusil qui possède la même quantité de mouvement ou avec la même énergie cinétique. Choisirez-vous d’attraper la balle de baseball ou la balle de fusil ?

3. Ce n’est pas la chute qui fait mal, c’est ce qui l’arrête. Discutez.

Tâche 1.4 Expérience avec des boules de billard

Avez-vous déjà joué au billard ? Si vous ne l’avez jamais fait, essayez-le à titre expérimental. Une boule (b1) en mouvement entre en collision avec une boule (b2) qui était immobile. Tout de suite après la collision, b2 se déplace à la même vitesse que b1 tandis que b1 s’arrête.

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Essayez cela avec des boules de différentes masses et déterminez la relation entre les masses des boules. Utilisez la loi de la conservation de la quantité de mouvement pour appuyer vos réponses de façon mathématique.

Évaluation formative 1

1. Les blocs A et B ont respectivement pour masses 10 kg et 20 kg. S’ils se déplacent à la vitesse inscrite sur le schéma, déterminez leur vitesse commune lorsqu’ils entreront en collision et se colleront l’un à l’autre.

.

A 10kg

2m/sec 4m/sec

a. 2 m/s à droite b. 2 m/s à gauche c. 3,33 m/s à gauche d. 4 m/s à gauche

2. Supposons que la population totale du monde se rassemble à un endroit et qu’au son d’un signal déterminé, tout le monde saute en même temps. Pendant que tout le monde est dans les airs, est-ce que la Terre reçoit une force dans la direction opposée?

a. Non; la masse de la Terre est si grande qu’un tel mouvement serait impercep- tible.

b. Oui; par contre, à cause de la masse de la Terre qui est si grande, le change- ment de la quantité de mouvement des planètes est bien moindre que le saut des gens.

c. Oui ; la Terre subirait un changement dans sa quantité de mouvement égal et opposé à la force des gens qui sautent.

d. Aucune de ces réponses

3. Supposons que la pluie tombe verticalement dans un chariot ouvert qui suit une route horizontale avec un taux négligeable de friction. Avec l’accumulation de l’eau, la vitesse du chariot :

a. s’accroît b. ne change pas c. décroît

4. Lors d’une forte pluie, une personne se tient sous un parapluie. Quelques minutes plus tard, la pluie se transforme en grêle. Le nombre de grêlons qui tombent sur le parapluie et leur vitesse restent égal au nombre et à la vitesse des gouttes de pluie qui tombaient auparavant. Est-ce que la force requise pour tenir le parapluie sous la grêle est la même que sous la pluie?

a. Oui

b. Non; la force requise est plus grande sous la grêle que sous la pluie c. Non; la force requise est moins grande sous la grêle que sous la pluie d. Aucune de ces réponses

5. Une force de 4 N agit sur un objet de 3 kg qui, lui, se déplace à 8 m/s pendant 10 secondes. Quel est le changement qui s’opère dans la quantité de mouvement de l’objet? Quelle impulsion agit sur l’objet? Quelle est la vitesse finale de l’objet ? 6. Une voiture de 1000 kg se déplace à 9 m/s vers l’est. Elle heurte un camion de

2000 kg qui était stationné. Lors de la collision, les deux véhicules s’emboîtent et se déplacent ensuite comme un seul objet. Quelle est leur vitesse ? Quel est leur vecteur vitesse ?

7. Un lance-roquettes de 15000 kg contient une roquette de 5000 kg. La roquette est expulsée à +450 m/s. Quelle est la vitesse de recul du lance-roquette?

8. Une balle de 100 g se déplace vers la droite à 2 m/s. Elle entre en collision avec une balle de 200 g qui se déplace vers la gauche à 4 m/s. Après la collision, la balle de 100 g a une vitesse de 8 m/s vers la gauche. Quel est le vecteur vitesse de la balle de 200 g?

9. Une voiture se déplace vers le nord à 8 m/s. Elle entre en collision avec un ca- mion qui se dirige vers le sud à 4 m/s. Après cela, la vitesse de la voiture est de 6 m/s vers le sud. Quel est le vecteur vitesse du camion?

10. Une voiture de 1325 kg se déplace vers le nord à 27 m/s et entre en collision avec une voiture se déplaçant vers l’est à 17 m/s. Lors de la collision, les deux voitures s’emboîtent l’une dans l’autre et se déplacent ensuite comme un seul objet. Quel est leur vecteur vitesse après la collision?

11. Une balle collante de 200 g se déplace vers l’ouest à 6 m/s. Elle entre en colli- sion avec une autre balle collante de 300 g qui se déplace vers le nord à 5 m/s.

Lors de la collision, les deux balles se collent ensemble et se déplacent ensuite comme un seul objet. Quel est leur vecteur vitesse ?

12. Un objet A de 6 kg se déplace vers la droite à 3 m/s, il entre en collision avec un objet B de 6 kg au repos. Après la collision, l’objet A se déplace à 1,6 m/s à un angle de 30 °. Quel est le vecteur vitesse de B après la collision ?

Université Virtuelle Africaine 0

13. Une balle immobile de 0,14 kg est percutée par une balle de 0,23 kg se déplaçant vers l’est à 2 m/s. Après la collision, la balle de 0,14 kg a une vecteur vitesse de 0,9 m/s, à 30 °. Quel est le vecteur vitesse de la balle de 0,23 kg ?

14. Une balle immobile de 0,50 kg est percutée par une balle de 0,30 kg se déplaçant vers l’ouest à 5 m/s. Après la collision, la balle de 0,30 kg a une vecteur vitesse de 3 m/s, à 200 °. Quel est le vecteur vitesse de la balle de 0,50 kg ?

15. Un objet de 2 kg se déplace à 4 m/s vers le sud. Il percute un objet au repos de 3 kg. Après la collision, l’objet de 2 kg a une vecteur vitesse de 2,5 m/s, à 300 °.

Quelle est la vecteur vitesse de l’objet de 3 kg ?

16. Une rondelle de hockey A se déplace vers la droite à une vitesse de 50 m/s. Elle percute une rondelle B identique qui est immobile sur la glace. Après la colli- sion, la vecteur vitesse de A est de 35 m/s, à 27,6 °. Quel est le vecteur vitesse de B?

Réponse : 24,97 m/s, à 40,52 ° sous l’axe horizontal.

17. Une boule de billard de 600 g se déplaçant vers la droite à 2 m/s entre en collision avec une balle immobile de 800 g. Après la collision, la balle de 600 g est déviée de 37 ° au-dessus de sa direction originale à une vitesse de 0,5 m/s. Quel est le vecteur vitesse de la balle de 800 g?

Réponse : 1,22 m/s, à 10,85 ° au-dessus de l’horizontale

18. Un camion de 6000 kg se déplace vers le nord à 5 m/s et entre en collision avec une voiture de 4000 kg qui se déplace vers l’ouest à 15 m/s. Les deux véhicules s’emboîtent lors de la collision et se déplacent ensuite comme un seul objet. Quel est leur vecteur vitesse après la collision ?

Réponse : 6,71 m/s, à 26,6 ° au nord-ouest

19. Une voiture de 1200 kg se déplace vers l’est à 60 km/h. Elle entre en collision avec un camion de 3000 kg qui se déplace vers le nord à 40 km/h. Après la col- lision, les deux véhicules restent emboîtés et se déplacent comme un seul objet.

Quel est leur vecteur vitesse en km/h?

Réponse : 33,3 km/h, à 59 °

20. Une balle de 10 kg se déplace vers l’ouest à 4 m/s. Elle entre en collision avec une balle immobile de 12 kg. Après la collision, la vitesse de la balle de 10 kg est de 2,5 m/s, à 40 ° sous l’horizontale. Quel est le vecteur vitesse de la balle de 12 kg ?

Réponse : 2,20 m/s, à 142,4 °.

Transmettre ces notions aux élèves du secondaire

Qu’est-ce qui intéresse les étudiants lorsqu’on aborde les collisions et la conserva- tion de la quantité de mouvement ? Cette simple question devrait servir de base à la préparation d’un cours sur la conservation de mouvement. Les étudiants devraient d’abord tenter d’expliquer ce que veut dire pour eux la quantité de mouvement et comment cette notion permet de voir les lois de Newton sous un autre angle. Cette activité permettra à l’enseignant de voir le degré de connaissance et de compréhen- sion des étudiants à propos du mouvement en général. L’activité permettra aussi de faire ressortir ce que les étudiants ne connaissent pas ainsi que leur degré d’habileté à poser des questions qui peuvent être expliquées de façon mathématique.

Il est ensuite possible de préparer une série d’activités adaptées aux étudiants et qui leur permettront d’aborder les notions de quantité de mouvement et de conservation.