9 8 rad ; 15revolutions

Exemple 2 : Sur un vélo, le plateau du dérailleur avant a un rayon

r

1 et le pignon

du dérailleur arrière a un rayon

r

2. La roue a un rayon

r

w. Faites le lien entre la vi-tesse linéaire

v

à laquelle le vélo se déplace et la vitesse angulaire à laquelle vous pédalez.

Solution : Un vélo est construit pour que les plateaux à l’avant tournent à la même

vitesse que les pédales, pendant que les pignons à l’arrière tournent à la même vitesse angulaire que la roue lorsque vous pédalez. (Si vous arrêtez de pédaler, les pignons se détachent de la roue.) La chaîne relie les plateaux et les pignons, elle doit donc avoir la même vitesse linéaire que chacun d’entre eux. Nous nommerons cette vitesse linéaire

v

chain. Ce qui donne :

v

_chain

= ω

_petal

r

₁ pour les plateaux, et

v

chain

= ω

_wheel

r

₂

En combinant les deux, on obtient :

ω

_petal

r

₁

= ω

_wheel

r

₂

. Il faut maintenant trouver la vitesse du vélo. La vitesse linéaire du vélo est en lien avec la vitesse angulaire des roues :

v^{= ω}

wheel

r

_w Donc :

v= ω

_petal

r

_w

r

₁

r

₂

Changer les vitesses du vélo change le facteur de

r

1

r

₂. Changer pour une vitesse plus petite à l’avant, ou à une vitesse plus grande à l’arrière (c.-à-d. réduire

r

1

r

₂) permet de pédaler plus facilement. C’est la raison pour laquelle lorsqu’on fixe une vitesse angulaire

ω

_petal,

v

devient plus petit. Plus

v

est bas, moins vous devez tra-vailler pour avancer.

Exemple 3 : Quantité de mouvement et impulsion

Un ventilateur de plafond effectue un mouvement de rotation à 0,90 rad/s. Lorsqu’on l’éteint, il ralentit uniformément jusqu’à s’arrêter après 2,2 minutes. (a) Combien le ventilateur fait-il de tours durant ce laps de temps ? (b) Selon le résultat obtenu à la question (a), trouvez le nombre de tours que le ventilateur doit faire pour que sa vitesse passe de 0,90 rad/s à 0,45 rad/s.

Solution : Le ventilateur de plafond tourne autour de son axe et ralentit à une vitesse

angulaire constante avant de s’arrêter.

Il faut utiliser les équations cinématiques de rotation pour trouver le nombre de tours que le ventilateur effectue durant le laps de temps déterminé. Puisque le ventilateur ralentit à un taux constant d’accélération, il a besoin de la moitié de ce laps de temps pour passer de 0,90 rad/s à 0,45 rad/s.

(a)

Δθ =¹

2(^{ω + ω}

o

)t= ¹

2(^0+0.90rev/s)×2.2min_×60sec/ min₌59rev

(b)

Δθ =¹

2(^{ω + ω}

o

)t= ¹

2(^{0.45+0.90rev/s})×1.1min_×60sec/ min₌45rev

Dynamiques de rotation

La description du mouvement de rotation est analogue à la description du mouvement linéaire. Cette analogie peut aussi s’étendre aux dynamiques de rotation.

Déplacement

(x)_↔

_{Accélération angulaire}

(^θ)

Vitesse

(v) _↔

_{Vitesse angulaire}

_(ω)

Accélération

(a) ↔

_{Accélération angulaire}

(^α)

Force

(F) ^↔

Couple

(^τ)

Masse

(m) ^↔

Moment d’inertie

(I)

Moment d’inertie

Le moment d’inertie

(I)

du mouvement de rotation est analogue à la valeur de masse (m). Plus le moment d’inertie d’un corps est grand, plus la résistance au changement de sa vitesse angulaire est grande. La valeur du moment d’inertie

(I)

d’un corps qui tourne autour d’un axe de rotation ne dépend pas seulement de la masse du corps, mais aussi de la façon dont la masse est distribuée autour de l’axe.

Couple

Vous avez peut-être remarqué qu’il est difficile d’ouvrir une porte si on la pousse du côté des charnières. Plus vous pousserez la porte loin des charnières, plus facile il sera de l’ouvrir; vous devez exercer une plus grande force pour donner à la porte la même vitesse angulaire si vous poussez près des charnières que si vous poussez du côté opposé aux charnières. Même chose si vous utilisez une clé anglaise; vous aurez besoin d’une moins grande force pour dévisser un boulon si vous maniez la clé anglaise à l’extrémité la plus éloignée du boulon.

F1 et F2 ont une même magnitude. Quelle force produit un meilleur effet de rotation, F1 ou F2?

Avant d’aller plus loin, nous devons donc introduire une autre notion que la force qui nous permettra de comprendre le mouvement de rotation dans son entier et de tenir compte de l’effet des différents radians.

L’idée qui sous-tend la notion de couple est que l’application de forces peut provo-quer le mouvement de rotation. En d’autres termes, tout comme l’application d’une force peut provoquer l’accélération linéaire, un couple de forces peut provoquer une

accélération angulaire. La notion de couple peut se définir, par exemple, en appliquant une force à une distance r du centre de rotation. La magnitude du couple est alors :

τ = F

_T

r

F

_T est la composante de la force perpendiculaire au radian (qu’on nomme aussi force tangentielle). La raison pour laquelle nous devons seulement inclure la composante tangentielle de la force est assez évidente. Le couple est un vecteur et il a une direc-tion. Il faut savoir que la direction d’un couple s’inscrit à l’aide d’un signe positif ou négatif. Tout comme le signe de vitesse du mouvement linéaire indique la direction du mouvement, le signe du couple, dans un mouvement de rotation, indique sa direction. Selon la convention, une rotation en sens antihoraire se définit par un couple positif, et une rotation en sens horaire se définit par un couple négatif.

Notez que le couple dépend de la force tangentielle. Le couple est donc complètement indépendant de la force centripète. La force centripète est une force qui maintient le mouvement circulaire d’un objet. Le couple varie si la vitesse angulaire augmente ou diminue. Remarquez aussi que plus le radian est grand, plus le couple est grand.

Moment cinétique

Une particule de masse m et de vitesse v a une quantité de mouvement

p ^{= mv}

^La particule peut aussi avoir un moment cinétique

L

, selon un point donné dans l’espace. Si r est le vecteur du point à la particule, alors :

r

L =_rr_{× p}r

Le moment cinétique est toujours un vecteur perpendiculaire au plan définit par les vecteurs

rr

_et

_pr

_{(ou v}r_{). Par exemple, si la particule (ou la planète) est dans une}

orbite circulaire, son moment cinétique, en respectant le centre du cercle, est per-pendiculaire au plan de l’orbite et va dans la direction donnée par le vecteur, il est le produit vectoriel selon la règle de la main droite, comme démontré ci-dessous :

Figure 10 : Le moment cinétique

L

d’une particule qui se déplace sur une orbite

Puisque dans le cas d’une orbite circulaire,

rr

_{est perpendiculaire à}

_pr

_{(ou v}r_{) , la}

magnitude de L est simplement :

L ^{= rp = mvr}

La signification du moment cinétique est née de sa dérivée en respectant le facteur temps :

dL^r

dt ⁼

d

dt

r

r × _pr

( )

, m

d

dt

r

r ×_vr

( )

Dans cette équation,

pr

_{a été remplacé par mv}r _{et la constante}

_m

_{n’est pas}

utili-sée.

Si on utilise la règle du produit du calcul différentiel :

d

dt

r

r ×_vr

( )= dr^r

dt ^×

r

v+_rr_×dv^r

dt

Le premier terme du côté droit,

dr

r dt

est simplement la vitesse vr_{, ce qui donne}

r

v×_vr

_{. Puisque le produit vectoriel d’un vecteur avec lui-même est toujours zéro,} cette variable tombe, ce qui donne :

d

dt

r

r ×_vr

( )=_rr_×dv^r

dt

Dans cette équation,

dr

v dt

est l’accélération de

r

a

d’une particule. Donc, si les deux côtés de l’équation ci-dessus sont multipliés par m, le côté gauche devient

dr

L dt

, et le côté droit peut être inscrit comme suit :

r_r

× m_ar

. Puisque selon la deuxième loi de Newton, mar _{est égal à}

_F^r

_{(la force nette qui agit sur la particule)}

le résultat est :

dL^r

dt ⁼

r

r × r

F

L’équation ci-dessus signifie que tout changement du moment cinétique d’une parti-cule doit être produit par une force qui n’agit pas dans la même direction que

rr

_.

Le système solaire est un bon exemple de mise en application de ce que l’on vient de voir. Chaque planète suit une orbite selon son attraction gravitationnelle au Soleil, une force qui agit dans la même direction que le vecteur, du soleil à la planète. Donc, la force de gravitation ne peut changer le moment cinétique d’une planète si l’on tient compte du Soleil. Chaque planète a donc un moment cinétique constant par rapport au Soleil. Cette affirmation est correcte, même si les orbites ne sont pas des cercles, mais des ellipses.

La valeur

_rr_×F^r

est appelée le couple

r

Dans le document Mécanique II (Page 50-55)