Julien Cubizolles
Lycée Louis le Grand
Jeudi 7 janvier 2022
sous licence 1/1
Espace et temps d’un observateur Description du mouvement Limites de la mécanique newtonienne Systèmes de coordonnées Variations élémentaires Exemples fondamentaux de mouvements Repère de Frenet
Cinématique du point en mécanique newtonienne
Julien Cubizolles
Lycée Louis le Grand
Jeudi 7 janvier 2022
sous licence 2/89
1. Espace et temps d’un observateur
2. Description du mouvement
3. Limites de la mécanique newtonienne 4. Systèmes de coordonnées
5. Variations élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
sous licence 9/89
Espace et temps d’un observateur Description du mouvement Limites de la mécanique newtonienne Systèmes de coordonnées Variations élémentaires Exemples fondamentaux de mouvements Repère de Frenet
Espace Temps
Référentiel et temps absolu
1. Espace et temps d’un observateur 1.1 Espace
1.2 Temps
1.3 Référentiel et temps absolu
2. Description du mouvement
3. Limites de la mécanique newtonienne 4. Systèmes de coordonnées
5. Variations élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
sous licence 10/89
Nature
Modèle
L’espace physique est décrit comme un ensemble de points . On définitexpérimentalementladistanceentre deux points et on pose en principe que l’ensemble des forme un espace euclidien de dimension :
Ï à tout couple de points( ; ), on associe un vecteur noté
# »: l’ensemble de ces vecteurs forme un espace vectoriel de dimension ,
Ï il existe un produit scalaire dont dérive ladistancedéfinie précédemment : =
v u u t
# »
·# »
| {z }
produit scalaire
,
On nommelongueur, notée , la dimension d’une distance dans l’espace.
sous licence 11/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Repère et base
Définition (Solide)
Unsolideest un ensemble de points dont les distances deux à deux sont stationnaires : = en fonction du temps.
sous licence 12/89
Repère et base
Définition (Repère)
Unrepèrede l’espace est constitué d’un point , nomméoriginedu repère et d’une baseB=(#» ,#» ,#» )de l’espace vectorielliésà un solideS dit de référence.
La position d’un point dans le repère( ,B)est donnée par ses coordonnées , , telles que :
# »
= #»+ #»+ #».
On utilisera des basesorthonormées directesdont les vecteurs : sont normés |#»| = sans dimension,
sont 2 à 2 orthogonaux #»·#»= ∀ 6= ,
forment un trièdredirect leur orientation relative est donnée par la règle de la main droite/du tire-bouchon
sous licence 12/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Base cartésienne
Ï règle du tire-bouchon/
tournevis / de la main droite (ou gauche) pour reconnaître un trièdre direct
Ï exemple de solide de
référence : la classe (un coin de mur donne une origine et trois directions)
sous licence 13/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Notation d’un vecteur
#»= #»+ #»+ #» = |#»
|.
Ï Ê est lanormede #»,
sous licence 14/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Notation d’un vecteur
#»= #»+ #»+ #» = |#»
|.
Ï Ê est lanormede #»,
Ï , , ≶ sescomposantessur la base(#»,#»,#»).
Ï #», ,
, , ont même dimension, (#»,#»,#») sontsans dimension.
sous licence 14/89
Notation d’un vecteur
#»= #»+ #»+ #» = |#»
|.
Ï Ê est lanormede #»,
Ï , , ≶ sescomposantessur la base(#»,#»,#»). Ï #», ,
, , ont même dimension, (#»,#»,#») sontsans dimension.
sous licence 14/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Unité légale de longueur : le mètre
Jusqu’à la fin de l’Ancien Régime : nombreuses définitions locales.
sous licence 15/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Unité légale de longueur : le mètre
1791
· du méridien terrestre : mesure difficile mais universel. Exemplaires publics (36 rue Vaugirard, 13 place Vendôme).
sous licence 15/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Unité légale de longueur : le mètre
Jusqu’à la fin de l’Ancien Régime : nombreuses définitions locales.
1799
Étalon en platine-iridium : un unique objet à
reproduire
sous licence 15/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Unité légale de longueur : le mètre
1960
, longueurs d’ondes d’une transition de
86Kr : universel de nouveau, mesures très précises.
sous licence 15/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Unité légale de longueur : le mètre
Jusqu’à la fin de l’Ancien Régime : nombreuses définitions locales.
Définition (du mètre depuis 1983)
L’unité légale de longueur est lemètre, de symbole m, défini comme la distance parcourue par la lumière dans le vide en s.
sous licence 15/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Unité légale de longueur : le mètre
Définition (du mètre depuis 1983)
L’unité légale de longueur est lemètre, de symbole m, défini comme la distance parcourue par la lumière dans le vide en s.
Ï = m·s− pardéfinitiondu mètre Ï une distance c’est un temps.
sous licence 15/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Unité légale de longueur : le mètre
Jusqu’à la fin de l’Ancien Régime : nombreuses définitions locales.
Définition (du mètre depuis 1983)
L’unité légale de longueur est lemètre, de symbole m, défini comme la distance parcourue par la lumière dans le vide en s.
Ï = m·s− pardéfinitiondu mètre
Ï une distance c’est un temps.
sous licence 15/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Unité légale de longueur : le mètre
Définition (du mètre depuis 1983)
L’unité légale de longueur est lemètre, de symbole m, défini comme la distance parcourue par la lumière dans le vide en s.
Ï = m·s− pardéfinitiondu mètre Ï une distance c’est un temps.
sous licence 15/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
1. Espace et temps d’un observateur 1.1 Espace
1.2 Temps
1.3 Référentiel et temps absolu
2. Description du mouvement
3. Limites de la mécanique newtonienne 4. Systèmes de coordonnées
5. Variations élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
sous licence 16/89
Espace et temps d’un observateur Description du mouvement Limites de la mécanique newtonienne Systèmes de coordonnées Variations élémentaires Exemples fondamentaux de mouvements Repère de Frenet
Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Nature et mesure
Définition (Durée)
On définit expérimentalement laduréeentre deux instants au moyen d’unehorlogedans laquelle se reproduit périodiquement le même phénomène.
Pour repérer l’instant d’un phénomène physique, on utilise une échelle de temps définie par une origine des temps et orientée dans le sens des temps croissants.
sous licence 17/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Nature et mesure
Définition (Durée)
On définit expérimentalement laduréeentre deux instants au moyen d’unehorlogedans laquelle se reproduit périodiquement le même phénomène.
Pour repérer l’instant d’un phénomène physique, on utilise une échelle de temps définie par une origine des temps et orientée dans le sens des temps croissants.
Ï fondé sur le postulat d’un écoulement uniforme : un phénomène prendra toujours le même temps pour se répéter.
Ï cadrans solaires, pendule, oscillations électroniques…
sous licence 17/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Unité légale
Définition (Seconde)
L’unité légale de durée est laseconde, de symbole s, définie comme la durée de 9192631770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état
fondamental de l’atome de césium133Cs.
d’années.
sous licence 18/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Unité légale
Définition (Seconde)
L’unité légale de durée est laseconde, de symbole s, définie comme la durée de 9192631770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état
fondamental de l’atome de césium133Cs.
Ï entre deux niveaux d’énergie et de Cs, émission et
absorption de photons de fréquenceν= | − |/ (constante de Planck = , · − J·s).
Ï précision relative :' · − ,ieune seconde tous les 30 millions d’années.
sous licence 18/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Unité légale
Définition (Seconde)
L’unité légale de durée est laseconde, de symbole s, définie comme la durée de 9192631770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état
fondamental de l’atome de césium133Cs.
Ï entre deux niveaux d’énergie et de Cs, émission et
absorption de photons de fréquenceν= | − |/ (constante de Planck = , · − J·s).
sous licence 18/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Unité légale
Définition (Seconde)
L’unité légale de durée est laseconde, de symbole s, définie comme la durée de 9192631770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état
fondamental de l’atome de césium133Cs.
Ï entre deux niveaux d’énergie et de Cs, émission et
absorption de photons de fréquenceν= | − |/ (constante de Planck = , · − J·s).
Ï précision relative :' · − ,ieune seconde tous les 30 millions d’années.
sous licence 18/89
1. Espace et temps d’un observateur 1.1 Espace
1.2 Temps
1.3 Référentiel et temps absolu
2. Description du mouvement
3. Limites de la mécanique newtonienne 4. Systèmes de coordonnées
5. Variations élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
sous licence 19/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Référentiel et temps absolu
Définition (Référentiel)
Un référentielRest constitué d’un solide de référence et d’une horloge. Un repère lié au solide de référence est nommérepère cartésienattaché àR. On choisit trois vecteurs #»,#»et#»formant une base orthonormée directe et un point fixe du repère, qu’on notera alors¡ ,#»,#»,#»¢.
sous licence 20/89
Référentiel et temps absolu
Définition (Référentiel)
Un référentielRest constitué d’un solide de référence et d’une horloge. Un repère lié au solide de référence est nommérepère cartésienattaché àR. On choisit trois vecteurs #»,#»et#»formant une base orthonormée directe et un point fixe du repère, qu’on notera alors¡ ,#»,#»,#»¢.
Ï ( ,#»,#»,#»)fixes dansRpar définition Ï Ail existe des repèresmobilesdansR
sous licence 20/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Référentiel et temps absolu
Définition (Référentiel)
Un référentielRest constitué d’un solide de référence et d’une horloge. Un repère lié au solide de référence est nommérepère cartésienattaché àR. On choisit trois vecteurs #»,#»et#»formant une base orthonormée directe et un point fixe du repère, qu’on notera alors¡ ,#»,#»,#»¢.
Principe du temps absolu
Le temps estabsolu: il s’écoule de la même manière dans tous les référentiels en mécanique newtonienne.
sous licence 20/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Référentiel et temps absolu
Définition (Référentiel)
Un référentielRest constitué d’un solide de référence et d’une horloge. Un repère lié au solide de référence est nommérepère cartésienattaché àR. On choisit trois vecteurs #»,#»et#»formant une base orthonormée directe et un point fixe du repère, qu’on notera alors¡ ,#»,#»,#»¢.
Principe du temps absolu
Le temps estabsolu: il s’écoule de la même manière dans tous les référentiels en mécanique newtonienne.
sous licence 20/89
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Espace Temps
Référentiel et temps absolu
Référentiel et temps absolu
Définition (Référentiel)
Un référentielRest constitué d’un solide de référence et d’une horloge. Un repère lié au solide de référence est nommérepère cartésienattaché àR. On choisit trois vecteurs #»,#»et#»formant une base orthonormée directe et un point fixe du repère, qu’on notera alors¡ ,#»,#»,#»¢.
Principe du temps absolu
Le temps estabsolu: il s’écoule de la même manière dans tous les référentiels en mécanique newtonienne.
Ï référentiel : la classe (repère) munie d’une horloge
Ï temps absolu : une horloge sur le quai de la gare et dans le train battent à la même vitesse
sous licence 20/89
Référentiel et temps absolu
Définition (Référentiel)
Un référentielRest constitué d’un solide de référence et d’une horloge. Un repère lié au solide de référence est nommérepère cartésienattaché àR. On choisit trois vecteurs #»,#»et#»formant une base orthonormée directe et un point fixe du repère, qu’on notera alors¡ ,#»,#»,#»¢.
Principe du temps absolu
Le temps estabsolu: il s’écoule de la même manière dans tous les référentiels en mécanique newtonienne.
Ï référentiel : la classe (repère) munie d’une horloge
Ï temps absolu : une horloge sur le quai de la gare et dans le train battent à la même vitesse
sous licence 20/89
Espace et temps d’un observateur Description du mouvement Limites de la mécanique newtonienne Systèmes de coordonnées Variations élémentaires Exemples fondamentaux de mouvements Repère de Frenet
Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
1. Espace et temps d’un observateur 2. Description du mouvement
3. Limites de la mécanique newtonienne 4. Systèmes de coordonnées
5. Variations élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
sous licence 21/89
1. Espace et temps d’un observateur 2. Description du mouvement
2.1 Trajectoire et équation paramétrique d’un point 2.2 Vecteurs position, vitesse et accélération 2.3 Relativité du mouvement
2.4 Espace des phases
3. Limites de la mécanique newtonienne 4. Systèmes de coordonnées
5. Variations élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
sous licence 22/89
Espace et temps d’un observateur Description du mouvement Limites de la mécanique newtonienne Systèmes de coordonnées Variations élémentaires Exemples fondamentaux de mouvements Repère de Frenet
Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
Trajectoire
Définition (Trajectoire)
Soit( ,#»,#»,#»)un repère. Latrajectoiredans ce repère d’un point est la courbe de l’ensemble des positions( , , )de au cours du temps.
On peut la caractériser au moyen de deux équation ( , , )= et ( , , )= vérifiées simultanément par les coordonnées , , .
Ï point au sens géométrique : pas de réalité physique.
Ï trajectoire = courbe : plusieurs mouvements peuvent avoir la même trajectoire (1eret dernier d’un marathon).
sous licence 23/89
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Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
Trajectoire
Définition (Trajectoire)
Soit( ,#»,#»,#»)un repère. Latrajectoiredans ce repère d’un point est la courbe de l’ensemble des positions( , , )de au cours du temps.
On peut la caractériser au moyen de deux équation ( , , )= et ( , , )= vérifiées simultanément par les coordonnées , , .
sous licence 23/89
Espace et temps d’un observateur Description du mouvement Limites de la mécanique newtonienne Systèmes de coordonnées Variations élémentaires Exemples fondamentaux de mouvements Repère de Frenet
Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
Trajectoire
Définition (Trajectoire)
Soit( ,#»,#»,#»)un repère. Latrajectoiredans ce repère d’un point est la courbe de l’ensemble des positions( , , )de au cours du temps.
On peut la caractériser au moyen de deux équation ( , , )= et ( , , )= vérifiées simultanément par les coordonnées , , .
Ï point au sens géométrique : pas de réalité physique.
Ï trajectoire = courbe : plusieurs mouvements peuvent avoir la même trajectoire (1eret dernier d’un marathon).
sous licence 23/89
Trajectoire
Définition (Trajectoire)
Soit( ,#»,#»,#»)un repère. Latrajectoiredans ce repère d’un point est la courbe de l’ensemble des positions( , , )de au cours du temps.
On peut la caractériser au moyen de deux équation ( , , )= et ( , , )= vérifiées simultanément par les coordonnées , , .
Ï point au sens géométrique : pas de réalité physique.
Ï trajectoire = courbe : plusieurs mouvements peuvent avoir la même trajectoire (1eret dernier d’un marathon).
sous licence 23/89
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Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
Exemples
Trajectoire rectiligne plane
α +β =β et : = Trajectoire circulaire plane
+ = et : =
sous licence 24/89
Équations du mouvement
Définition (Équations du mouvement)
SoitRun référentiel muni d’un repère( ,#»,#»,#»)quelconque et un point en mouvement dansR.
Ï L’équation # »
=#»
( )estl’équation paramétriquedu mouvement.
Ï Les équations = ( ), = ( ), = ( )sont leséquations paramétriquesdu mouvement.
sous licence 25/89
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Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
Équations du mouvement
Définition (Équations du mouvement)
SoitRun référentiel muni d’un repère( ,#»,#»,#»)quelconque et un point en mouvement dansR.
Ï L’équation # »
=#»
( )estl’équation paramétriquedu mouvement.
Ï Les équations = ( ), = ( ), = ( )sont leséquations paramétriquesdu mouvement.
A#»,#»,#»pas nécessairement fixesdansR.
sous licence 25/89
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Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
Équations du mouvement
Définition (Équations du mouvement)
SoitRun référentiel muni d’un repère( ,#»,#»,#»)quelconque et un point en mouvement dansR.
Ï L’équation # »
=#»
( )estl’équation paramétriquedu mouvement.
Ï Les équations = ( ), = ( ), = ( )sont leséquations paramétriquesdu mouvement.
sous licence 25/89
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Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
Équations du mouvement
Définition (Équations du mouvement)
SoitRun référentiel muni d’un repère( ,#»,#»,#»)quelconque et un point en mouvement dansR.
Ï L’équation # »
=#»
( )estl’équation paramétriquedu mouvement.
Ï Les équations = ( ), = ( ), = ( )sont leséquations paramétriquesdu mouvement.
Ï # »
= #»+ #», avec = et =
Ï # »
= cos(ω)#»+ sin(ω)#», avec = cos(ω); = sin(ω)
sous licence 25/89
Équations du mouvement
Définition (Équations du mouvement)
SoitRun référentiel muni d’un repère( ,#»,#»,#»)quelconque et un point en mouvement dansR.
Ï L’équation # »
=#»
( )estl’équation paramétriquedu mouvement.
Ï Les équations = ( ), = ( ), = ( )sont leséquations paramétriquesdu mouvement.
Ï # »
= #»+ #», avec = et = Ï # »
= cos(ω)#»+ sin(ω)#», avec = cos(ω); = sin(ω)
sous licence 25/89
Espace et temps d’un observateur Description du mouvement Limites de la mécanique newtonienne Systèmes de coordonnées Variations élémentaires Exemples fondamentaux de mouvements Repère de Frenet
Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
1. Espace et temps d’un observateur 2. Description du mouvement
2.1 Trajectoire et équation paramétrique d’un point 2.2 Vecteurs position, vitesse et accélération 2.3 Relativité du mouvement
2.4 Espace des phases
3. Limites de la mécanique newtonienne 4. Systèmes de coordonnées
5. Variations élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
sous licence 26/89
Vecteurs position et vitesse
Définition (Vecteurs position et vitesse)
Soit un point etRun référentiel dont est un pointfixe quelconque.
On nommevecteur position de dansRle vecteur # ». Levecteur vitesse, ouvitesse de dansRà l’instant , noté #»
R, est la dérivée temporelle, par rapport àR, du vecteur position à
l’instant :
#»R=
à # »!
R
= lim
∆→
# »
( +∆)−# » ( )
∆
=lim
∆→
# » ( ) ( +∆)
∆ aussi noté : Ã# »!
R
. Il esttangentà la trajectoire au point ( ).
sous licence 27/89
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Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
Vecteur accélération
Définition (Vecteur accélération)
Levecteur accélération, ouaccélération de dansRà l’instant , noté#»
R, est la dérivée temporelle, par rapport àR, du vecteur vitesse à l’instant :
#»R= µ #»
R¶
R=
à # »!
R
= lim
∆→
#»R( +∆)−#»
R( )
∆ aussi noté :
Ã# »!
R
.
comme on ne considérera qu’un référentiel cette année on omettra l’indiceR
sous licence 28/89
Vecteur accélération
Définition (Vecteur accélération)
Levecteur accélération, ouaccélération de dansRà l’instant , noté#»
R, est la dérivée temporelle, par rapport àR, du vecteur vitesse à l’instant :
#»R= µ #»
R¶
R=
à # »!
R
= lim
∆→
#»R( +∆)−#»
R( )
∆ aussi noté :
Ã# »!
R
.
comme on ne considérera qu’un référentiel cette année on omettra l’indiceR
sous licence 28/89
Espace et temps d’un observateur Description du mouvement Limites de la mécanique newtonienne Systèmes de coordonnées Variations élémentaires Exemples fondamentaux de mouvements Repère de Frenet
Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
Vitesse relative
Définition (Vitesse relative)
Les vitesses dans un référentielRde deux points et vérifient :
#»R( )−#»
R( )= Ã # »!
R
.
Ï #»
R( )−#»
R( )est lavitesse relativede par rapport à dansR le référentiel
Ï une voiture A roulant à km·h− doublant une voiture roulant à km·h− :|
# »
| = km·h−
sous licence 29/89
Vitesse relative
Définition (Vitesse relative)
Les vitesses dans un référentielRde deux points et vérifient :
#»R( )−#»
R( )= Ã # »!
R
.
Ï #»
R( )−#»
R( )est lavitesse relativede par rapport à dansR le référentiel
Ï une voiture A roulant à km·h− doublant une voiture roulant à km·h− :|
# »
| = km·h−
sous licence 29/89
Espace et temps d’un observateur Description du mouvement Limites de la mécanique newtonienne Systèmes de coordonnées Variations élémentaires Exemples fondamentaux de mouvements Repère de Frenet
Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
1. Espace et temps d’un observateur 2. Description du mouvement
2.1 Trajectoire et équation paramétrique d’un point 2.2 Vecteurs position, vitesse et accélération 2.3 Relativité du mouvement
2.4 Espace des phases
3. Limites de la mécanique newtonienne 4. Systèmes de coordonnées
5. Variations élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
sous licence 30/89
Espace et temps d’un observateur Description du mouvement Limites de la mécanique newtonienne Systèmes de coordonnées Variations élémentaires Exemples fondamentaux de mouvements Repère de Frenet
Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
Relativité du mouvement
Le mouvement d’un point dépend du référentiel d’observation.
une montagne est :
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Espace et temps d’un observateur Description du mouvement Limites de la mécanique newtonienne Systèmes de coordonnées Variations élémentaires Exemples fondamentaux de mouvements Repère de Frenet
Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
Relativité du mouvement
Le mouvement d’un point dépend du référentiel d’observation.
une montagne est :
Ï immobile dans un référentiel lié à la Terre
Ï en mouvement dans celui d’une caméra liée à la tête d’un skieur
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Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
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Relativité du mouvement
Le mouvement d’un point dépend du référentiel d’observation.
une montagne est :
Ï immobile dans un référentiel lié à la Terre
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Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
Relativité du mouvement
Le mouvement d’un point dépend du référentiel d’observation.
une montagne est :
Ï immobile dans un référentiel lié à la Terre
Ï en mouvement dans celui d’une caméra liée à la tête d’un skieur
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1. Espace et temps d’un observateur 2. Description du mouvement
2.1 Trajectoire et équation paramétrique d’un point 2.2 Vecteurs position, vitesse et accélération 2.3 Relativité du mouvement
2.4 Espace des phases
3. Limites de la mécanique newtonienne 4. Systèmes de coordonnées
5. Variations élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
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Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
Définition (Trajectoire dans l’espace des phases)
Pour un mouvementunidimensionnelselon l’axe cartésien d’un référentielR, latrajectoire dans l’espace des phasesd’un point de position ( )et de vitesse = est l’ensemble des points de coordonnées( ( ), ( )).
Caractéristiques
Ï la trajectoire dans l’espace des phases est parcourue dans le sens horaire.
Ï elle intersecte l’axe = orthogonalement (si l’accélération est alors non nulle).
Ï pour un mouvement à dimensions, elle peut être définie dans un espace à dimensions mais est difficile à représenter
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Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
Définition (Trajectoire dans l’espace des phases)
Pour un mouvementunidimensionnelselon l’axe cartésien d’un référentielR, latrajectoire dans l’espace des phasesd’un point de position ( )et de vitesse = est l’ensemble des points de coordonnées( ( ), ( )).
Caractéristiques
Ï pour un mouvement à dimensions, elle peut être définie dans un espace à dimensions mais est difficile à représenter
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Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
Définition (Trajectoire dans l’espace des phases)
Pour un mouvementunidimensionnelselon l’axe cartésien d’un référentielR, latrajectoire dans l’espace des phasesd’un point de position ( )et de vitesse = est l’ensemble des points de coordonnées( ( ), ( )).
Caractéristiques
Ï la trajectoire dans l’espace des phases est parcourue dans le sens horaire.
Ï elle intersecte l’axe = orthogonalement (si l’accélération est alors non nulle).
Ï pour un mouvement à dimensions, elle peut être définie dans un espace à dimensions mais est difficile à représenter
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Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
Définition (Trajectoire dans l’espace des phases)
Pour un mouvementunidimensionnelselon l’axe cartésien d’un référentielR, latrajectoire dans l’espace des phasesd’un point de position ( )et de vitesse = est l’ensemble des points de coordonnées( ( ), ( )).
Caractéristiques
Ï la trajectoire dans l’espace des phases est parcourue dans le sens horaire.
Ï elle intersecte l’axe = orthogonalement (si l’accélération est alors non nulle).
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Trajectoire et équation paramétrique d’un point Vecteurs position, vitesse et accélération Relativité du mouvement
Espace des phases
Définition (Trajectoire dans l’espace des phases)
Pour un mouvementunidimensionnelselon l’axe cartésien d’un référentielR, latrajectoire dans l’espace des phasesd’un point de position ( )et de vitesse = est l’ensemble des points de coordonnées( ( ), ( )).
Caractéristiques
Ï la trajectoire dans l’espace des phases est parcourue dans le sens horaire.
Ï elle intersecte l’axe = orthogonalement (si l’accélération est alors non nulle).
Ï pour un mouvement à dimensions, elle peut être définie dans un espace à dimensions mais est difficile à représenter
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1. Espace et temps d’un observateur 2. Description du mouvement
3. Limites de la mécanique newtonienne
4. Systèmes de coordonnées 5. Variations élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
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Mécanique relativiste Mécanique quantique Cadre de la mécanique newtonienne
1. Espace et temps d’un observateur 2. Description du mouvement
3. Limites de la mécanique newtonienne 3.1 Mécanique relativiste
3.2 Mécanique quantique
3.3 Cadre de la mécanique newtonienne
4. Systèmes de coordonnées 5. Variations élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
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Mécanique relativiste Mécanique quantique Cadre de la mécanique newtonienne
Relativité restreinte
Ï en mécanique newtonienne, les vitesses s’ajoutent. Ï Michelson et Morley montrent en 1887 que la vitesse de la
lumière est lamêmequ’elle soit « entraînée » par la Terre ou non.
Le temps non absolu devient une coordonnée : espace-temps à 4 dimensions.
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Mécanique relativiste Mécanique quantique Cadre de la mécanique newtonienne
Relativité restreinte
Ï en mécanique newtonienne, les vitesses s’ajoutent.
Ï Michelson et Morley montrent en 1887 que la vitesse de la lumière est lamêmequ’elle soit « entraînée » par la Terre ou non.
Le temps non absolu devient une coordonnée : espace-temps à 4 dimensions.
Ï des muons de durée de vie µs parviennent à la surface après une traversée de l’atmosphère de · − s
Ï déformation d’ions lourds en mouvement relativiste.
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Mécanique relativiste Mécanique quantique Cadre de la mécanique newtonienne
Relativité restreinte
Ï en mécanique newtonienne, les vitesses s’ajoutent.
Ï Michelson et Morley montrent en 1887 que la vitesse de la lumière est lamêmequ’elle soit « entraînée » par la Terre ou non.
Le temps non absolu devient une coordonnée : espace-temps à 4 dimensions.
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Mécanique relativiste Mécanique quantique Cadre de la mécanique newtonienne
Relativité restreinte
Invariance de (Einstein 1905)
La vitesse de la lumière dans le vide est la même dans toute une classe de référentiels ditsgaliléens. Elle vaut par définition
= m·s− .
Le temps non absolu devient une coordonnée : espace-temps à 4 dimensions.
Ï des muons de durée de vie µs parviennent à la surface après une traversée de l’atmosphère de · − s
Ï déformation d’ions lourds en mouvement relativiste.
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Mécanique relativiste Mécanique quantique Cadre de la mécanique newtonienne
Relativité restreinte
Invariance de (Einstein 1905)
La vitesse de la lumière dans le vide est la même dans toute une classe de référentiels ditsgaliléens. Elle vaut par définition
= m·s− .
Ï les référentielsgaliléenssont en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.
Ï la définition du mètre repose sur cette invariance de .
Le temps non absolu devient une coordonnée : espace-temps à 4 dimensions.
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Mécanique relativiste Mécanique quantique Cadre de la mécanique newtonienne
Relativité restreinte
Temps et longueurs non absolus
Le temps et les longueurs ne sont plus absolus en relativité
restreinte : ils dépendent du référentiel dans lequel ils sont mesurés.
Dilatation des durées Laduréeentre deux évènements est supérieuredans un référentiel galiléen où ces
évènements se produisenten des lieux différentsà ce qu’elle est dans un référentiel galiléen où ils se produisentau même lieu.
Contraction des longueurs Ladistanceentre les lieux où se produisent deux évènements estinférieuredans un référentiel galiléen où ces évènementsne sont pas simultanésà ce qu’elle est dans un référentiel galiléen où ils sontsimultanés.
Le temps non absolu devient une coordonnée : espace-temps à 4 dimensions.
Ï des muons de durée de vie µs parviennent à la surface après une traversée de l’atmosphère de · − s
Ï déformation d’ions lourds en mouvement relativiste.
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Mécanique relativiste Mécanique quantique Cadre de la mécanique newtonienne
Relativité restreinte
Temps et longueurs non absolus
Le temps et les longueurs ne sont plus absolus en relativité
restreinte : ils dépendent du référentiel dans lequel ils sont mesurés.
Dilatation des durées Laduréeentre deux évènements est supérieuredans un référentiel galiléen où ces
évènements se produisenten des lieux différentsà ce qu’elle est dans un référentiel galiléen où ils se produisentau même lieu.
Contraction des longueurs Ladistanceentre les lieux où se produisent deux évènements estinférieuredans un référentiel galiléen où ces évènementsne sont pas simultanésà ce qu’elle est dans un référentiel galiléen où ils sontsimultanés.
Le temps non absolu devient une coordonnée : espace-temps à 4 dimensions.
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Mécanique relativiste Mécanique quantique Cadre de la mécanique newtonienne
Relativité restreinte
Le temps non absolu devient une coordonnée : espace-temps à 4 dimensions.
Ï des muons de durée de vie µs parviennent à la surface après une traversée de l’atmosphère de · − s
Ï déformation d’ions lourds en mouvement relativiste.
sous licence 36/89
Relativité restreinte
Le temps non absolu devient une coordonnée : espace-temps à 4 dimensions.
Ï des muons de durée de vie µs parviennent à la surface après une traversée de l’atmosphère de · − s
Ï déformation d’ions lourds en mouvement relativiste.
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Mécanique relativiste Mécanique quantique Cadre de la mécanique newtonienne
Relativité générale (Einstein 1915)
Espace-temps non euclidien
Enrelativité générale, l’interaction gravitationnelle est décrite en faisant intervenir un espace-tempsnon euclidien, déformé par les masses.
En particulier, la lumière ne se propagepas en ligne droitedans le vide enprésence d’objets massifs.
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Relativité générale (Einstein 1915)
Espace-temps non euclidien
Enrelativité générale, l’interaction gravitationnelle est décrite en faisant intervenir un espace-tempsnon euclidien, déformé par les masses.
En particulier, la lumière ne se propagepas en ligne droitedans le vide enprésence d’objets massifs.
Ï « Lentilles gravitationnelles » créées par des objets célestes (trous noirs, galaxies).
Ï Croix d’Einstein : 4 images d’un quasar par effet de lentille d’une galaxie.
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Mécanique relativiste Mécanique quantique Cadre de la mécanique newtonienne
1. Espace et temps d’un observateur 2. Description du mouvement
3. Limites de la mécanique newtonienne 3.1 Mécanique relativiste
3.2 Mécanique quantique
3.3 Cadre de la mécanique newtonienne
4. Systèmes de coordonnées 5. Variations élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
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Mécanique relativiste Mécanique quantique Cadre de la mécanique newtonienne
Dualité onde-corpuscule
Dualité onde-corpuscule
Tout objet physique présente à la fois des caractéristiques corpusculaires et ondulatoires.
électromagnétiques
Lumière
Atomes
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Mécanique relativiste Mécanique quantique Cadre de la mécanique newtonienne
Dualité onde-corpuscule
Dualité onde-corpuscule
Tout objet physique présente à la fois des caractéristiques corpusculaires et ondulatoires.
corpusculaire quantité de mouvement, énergie : point matériel et photon
ondulatoire interférences, diffraction : expérience des fentes d’Young similaires pour ondes de matière et électromagnétiques
Lumière
Atomes
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Délocalisation
Longueur d’onde de de Broglie (1924)
La description en termes de trajectoire n’est plus pertinente en mécanique quantique. À chaque instant, une particule ne peut pas être localisée en un point ni sa vitesse être parfaitement définie ; elle est délocalisée sur une taille de l’ordre de sa longueur de de Broglie λ = / , avec sa quantité de mouvement.
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Mécanique relativiste Mécanique quantique Cadre de la mécanique newtonienne
1. Espace et temps d’un observateur 2. Description du mouvement
3. Limites de la mécanique newtonienne 3.1 Mécanique relativiste
3.2 Mécanique quantique
3.3 Cadre de la mécanique newtonienne
4. Systèmes de coordonnées 5. Variations élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
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Cadre de la mécanique newtonienne
Cadre de la mécanique newtonienne La mécanique newtonienne est la limite :
de la mécanique relativiste quand les vitesses sont faibles devant celle de la lumière ( ¿ ) et les objets éloignés des masses ( ÀG , avecG= , ( )· − S·I·).
de la mécanique quantique quand la résolution spatiale avec laquelle est observé l’objet est très grande devantλ (on dit alors qu’on fait tendre×vers ).
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Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques
1. Espace et temps d’un observateur 2. Description du mouvement
3. Limites de la mécanique newtonienne 4. Systèmes de coordonnées
5. Variations élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
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1. Espace et temps d’un observateur 2. Description du mouvement
3. Limites de la mécanique newtonienne 4. Systèmes de coordonnées
4.1 Coordonnées cartésiennes 4.2 Coordonnées cylindriques 4.3 Coordonnées sphériques
5. Variations élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
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Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques
Coordonnées cartésiennes
Définition (Coordonnées cartésiennes)
Les composantes cartésiennes (iedans un repère cartésien), des vecteurs vitesses#»
Ret accélération#»
Rd’un point s’expriment par simples dérivations de ses coordonnées cartésiennes :
#»R=˙#»+˙#»+˙#» #»
R=¨#»+¨#»+¨#».
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