Dynamique newtonienne

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DYNAMIQUE NEWTONIENNE 1) Vecteur quantité de mouvement .

Chaque particule est caractérisée par un nombre positif, sa masse, invariante dans tout changement de référentiel.

Dans un référentiel où la particule a la vitesse v , sa quantité de mouvementou impulsionest p=mv. 2) Postulat fondamental .

a. Énoncé.

Il existe au moins un référentiel particulier dit galiléen, dans lequel le mouvement d'une particule est décrit par la relation fondamentale f =dp

dt .

Le vecteur force f traduit les interactions de la particule avec d'autres systèmes matériels et est déterminé par des lois physiques.

On distingue quatre types d'interaction:

• gravitationnelle

[

décrite par la loi de Newton (1687), toujours attractive et de portée infinie, elle intervient principalement en mécanique des corps massifs.

• électromagnétique

[

s'exerce entre particules chargées électriquement, de portée infinie également, elle est décrite par les équations de Maxwell (1864) donnant le champ électromagnétique

E,B créé par les charges en mouvement.

Cette interaction est responsable de la plupart des phénomènes physiques courants:

électricité, magnétisme, optique, chimie, propriétés des matériaux...

• forte

[

s'exerce entre certaines particules (hadrons), toujours attractive et de très faible portée (quelques femtomètres).

Elle rend compte en particulier de la cohésion des noyaux atomiques (interactions entre nucléons).

• faible

[

d'intensité et de portée inférieures à celles de l'interaction forte, elle intervient dans les phénomènes de radioactivité β transformations proton ⇔ neutron.

On tente actuellement d'unifier ces interactions, c'est-à-dire les considérer comme différentes manifestations d'un phénomène unique. Un premier pas a été réalisé en 1967 par Weinberg et Salam avec la théorie

électrofaible, unifiant les interactions électromagnétique et faible et on essaie maintenant de vérifier une théorie ''de grande unification'', unifiant les interactions électrofaible et forte.

b. Point matériel isolé .

Sif = 0 alors p=mv est un vecteur constant; la particule est animée d'un mouvement rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen principe de l ' inertie.

Réciproquement ce principe permet de déterminer si un référentiel est galiléen ... si l'on connaît un point matériel isolé.

Une bonne approximation est une étoile n'appartenant pas à un amas, ce qui montre qu'un référentiel terrestre n'est pas galiléen puisque dans un tel référentiel le mouvement d'une étoile n'est pas rectiligne mais circulaire uniforme.

3) Référentiels galiléens .

a.Tout référentiel (R') en translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel galiléen (R) est aussi un référentiel galiléen.

En effet d'après la loi de composition des vitesses, la vitesse relative v_r dansR 'd 'une particule isolée animée de la vitesse v_a dansRest égale à v_r= v_a−v_e où v_e est la vitesse de (R') par rapport à (R).

Les vecteurs v_a et v_e étant constants, le vecteur v_r l'est aussi: la particule isolée est en translation rectiligne uniforme par rapport à (R') qui est donc galiléen.

b . Référentiels stellaires. Référentiel de Copernic .

Dans un référentiel lié à des étoiles, toute étoile isolée est fixe ou animée d'un mouvement rectiligne uniforme (mouvement propre).

Un référentiel stellaire est donc galiléen et en particulier le référentiel de Copernic R_C dont l'origine est le centre de masse du système solaire, pratiquement confondu avec le centre de masse du Soleil.

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z_T (R_G) (R_T)

T

y_T

S (R_C)

x_T

y

x

z c. Référentiel géocentrique. Référentiel terrestre .

Ω'

Ω

Le référentiel géocentrique R_G a pour origine le centre de masse T de la Terre et ses axes sont parallèles à ceux du référentiel de Copernic R_C.

Il est en translation elliptique (quasi circulaire) par rapport à R_C,de période égale à 1 an.

Accélération d'entraînement de T: a_e= −Ω²ST . ST≈150 10⁶km ; Ω= 2π

365,25×86 400=2 10⁻⁷rd s⁻¹ ⇒ a_e=6 10⁻³m s⁻². On peut considérerR_G comme galiléen pour des durées faibles par rapport à l'année.

Un référentiel terrestreR_T est en rotation autour de l'axe des pôles zT, fixe dans R_C, avec une période de révolution égale à 1 jour sidéral soit 86 164 secondes.

Sa vitesse angulaire par rapport à R_Cvaut donc Ω'= 2π

86 164=7,3 10⁻⁵ rd s⁻¹. Pour un point situé sur l'équateur terrestre, l'accélération d'entraînement vaudra:

a'_e=Ω'²R avec R=6400 km ⇒ a'_e=3,4 10⁻² m s⁻².

On peut considérerR_T comme galiléen pour des durées faibles par rapport au jour.

d .Changement de référentiel galiléen: principe de relativité de Galilée . α.Énoncé .

Les lois de la mécanique ont la même forme dans tous les référentiels galiléens, c'est-à-dire qu'une expérience de mécanique ne peut pas mettre en évidence le mouvement d'un référentiel galiléen par rapport à un autre référentiel galiléen.

Ce principe sera étendu par Einstein (1905) à tous les phénomènes physiques, en limitant toutefois les vitesses de translation qui doivent rester inférieures à la vitesse de propagation de la lumière dans le vide.

β.Conséquence.

Soit une particule de masse m et de vitesse v dans (R) galiléen et soumise à des forces de résultante f . Dans (R), la RFD s'écrit f =dp

dt .

D'après le principe de relativité de Galilée, dans un autre référentiel galiléen (R') la RFD doit s'écrire sous la même forme: f '= dp '

dt ' avec p'=m 'v'.

Ayant admis m = m', t = t' et la loi de composition des vitesses donnant v= v'u où u est la vitesse de translation de (R') par rapport à (R), on en déduit: p=mv 'u = p 'mu et dp

dt = dp '

dt ' d 'où f = f '.

Le principe de relativité de Galilée impose l'invariance des forces par changement de référentiel galiléen.

3 4) Moment cinétique .

a. Définition.

Dans un référentiel (R) où une particule de masse m est animée de la vitesse v , son moment cinétiqueL_A, en un point A, est égal au moment en ce point de sa quantité de mouvement: L_A= AM∧p .

b .Théorème du moment cinétique . En dérivant dans (R): dL_A

dt = dAM

dt ∧pAM∧dp

dt = dAO

dt ∧pdOM

dt ∧pAM∧dp dt . dL_A

dt = −v_A∧pAM∧dp dt . Si (R) est galiléen, f = dp

dt et AM∧f représente le moment en A de la force f : M_Af = AM∧f . D'où dL_A

dt = −v_A∧p MAf.

Si A est fixe dans (R) ou siv_Aest constamment parallèle àv la relation devient: dL_A

dt = M_Af. Théorème fondamental :

La dérivée par rapport au temps du moment cinétique en un point fixe d'un référentiel galiléen est égale au moment, en ce point, de la force appliquée à la particule.

Cas particulier :

Si la force f est constamment colinéaire à AM alors M_Af = 0 : L_Aest un vecteur fixe dansR. Or p est toujours orthogonal à L_A, donc la trajectoire est plane, dans un plan orthogonal à L_A. Comme toute loi de la mécanique le théorème du moment cinétique doit être invariant par changement de référentiel galiléen.

L_A= AM∧p=AA '∧pA ' M∧p'mu où A' est un point fixe dans (R') donc animé de la vitesse u de ce référentiel par rapport à (R).

dL_A

dt =dAA '

dt ∧pAA '∧dp

dt dA ' M∧p'

dt ' dA ' M dt ∧mu . dL_A

dt = u∧pAA '∧fdL '_A'

dt ' dA ' A

dt ∧mudAM dt ∧mu.

dL_A

dt = u∧pAA '∧fdL '_A'

dt ' −u∧muv∧mu= AA '∧fdL '_{A '} dt ' . Or d'après le théorème du moment cinétique dans (R): dL_A

dt = MAf  =AM∧f = AA '∧fA' M∧f . D 'où dL ' _{A '}

dt ' =A ' M∧f .

Si l'on admet le principe de relativité alors dL '_A'

dt ' = M_{A '} ^' f ' =A' M∧f ', on en déduit l 'invariance des forces et réciproquement en admettant l'invariance des forces, f = f ', on en déduit le théorème du moment cinétique dans (R').