MC3 – Dynamique dans un référentiel non galiléen I – Référentiels galiléens et référentiels non galiléens

MC3 – Dynamique dans un référentiel non galiléen

I – Référentiels galiléens et référentiels non galiléens

I-1) Référentiels galiléens

Le principe d’inertie (ou première loi de Newton) vue en première année formule l’existence de référentiels particuliers, les référentiels galiléens, dans lesquels tout point matériel isolé est animé d’un mouvement rectiligne et uniforme.

On peut obtenir aisément une infinité de tels référentiels à partir du moment où on en connaît un. En effet, soient R un référentiel galiléen et R’ un référentiel en translation uniforme à la vitesse 𝑉𝑉�⃗

constante par rapport à R.

Un point matériel M isolé est animé, du fait du principe d’inertie, d’un mouvement rectiligne uniforme avec la vitesse constante notée 𝑣𝑣 ����⃗ ₀ par rapport au référentiel galiléen R.

D’où :

𝑣𝑣⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅 = 𝑣𝑣⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅

+ 𝑣𝑣 ���⃗ _𝑒𝑒

⇔ _{𝑣𝑣 ����⃗ 0 = 𝑣𝑣⃗(𝑀𝑀)| 𝑅𝑅}

+ 𝑉𝑉�⃗

⇔ _{𝑣𝑣⃗(𝑀𝑀)| 𝑅𝑅}

= 𝑣𝑣 ����⃗ − 𝑉𝑉�⃗ ₀ = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ��������⃗

Le mouvement d’un point matériel isolé est rectiligne uniforme dans le référentiel R’ donc ce référentiel est galiléen.

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel tout

point matériel isolé est animé d’un mouvement rectiligne et

uniforme.

I-2) Exemples de référentiel

a) Le référentiel de Copernic et le référentiel de Kepler

Le référentiel de Copernic a pour origine le centre de masse du système solaire et ses axes pointent vers trois étoiles fixes. Nous postulerons qu’il est galiléen.

Le référentiel de Kepler, ou référentiel héliocentrique est en translation par rapport à celui de Copernic mais son origine se situe au centre de masse du Soleil. (Le centre de masse C du système solaire est situé à environ 7. 10 ⁸ m du centre S du Soleil, soit à peine plus qu’un rayon solaire).

Ces deux référentiels sont adaptés à l’étude du mouvement des planètes par exemple.

b) Le référentiel géocentrique

Le référentiel géocentrique est en translation par rapport au référentiel de Copernic, son origine se trouvant au centre de la Terre.

Tout référentiel en translation rectiligne et uniforme par rapport

à un référentiel galiléen est galiléen.

Ce référentiel est adapté à l’étude du mouvement de la Lune autour de la Terre, ou à l’étude du mouvement des satellites.

c) Le référentiel terrestre local

Le référentiel géocentrique ne tient pas compte de la rotation de la Terre sur elle-même mais uniquement de son mouvement autour du Soleil. Pour étudier le mouvement d’un objet au voisinage de la surface de la Terre, on utilise le référentiel terrestre local :

L’axe TZ est choisi parallèle à l’axe de rotation de la Terre, dont le vecteur rotation est Ω ^���⃗ . On choisit :

o L’axe 𝑃𝑃𝑧𝑧 _𝑃𝑃 selon la verticale locale au point P

o L’axe 𝑃𝑃𝑥𝑥 _𝑃𝑃 le long du parallèle passant par P, dirigé vers l’Est.

o L’axe 𝑃𝑃𝑦𝑦 _𝑃𝑃 le long du méridien passant par P, dirigé vers le Nord.

d) Caractère galiléen des référentiels

On considérera un référentiel comme galiléen tant qu’on pourra

appliquer les lois de Newton et en particulier le principe fondamental

de la dynamique sans que les observations expérimentales

n’infirment la théorie.

Le référentiel de Kepler effectuant une translation quasi-circulaire de 12 ans par rapport au référentiel de Copernic, on supposera sur une courte durée qu’il effectue une translation rectiligne uniforme par rapport à 𝑅𝑅 _𝑐𝑐 . Il sera donc également dans une bonne approximation galiléen lui-même.

De même, si on étudie des mouvements sur une durée très inférieure à une année, le référentiel géocentrique pourra être considéré comme en translation rectiligne et uniforme par rapport au référentiel de Copernic. Il sera donc également dans une bonne approximation galiléen lui-même.

Enfin, si les mouvements étudiés le sont sur des durées bien inférieures à une journée, le référentiel terrestre local sera lui aussi considéré comme galiléen.

Finalement, le caractère galiléen ou non d’un référentiel dépendra de la durée d’étude comparée à la durée caractéristique de son mouvement par rapport à un référentiel galiléen.

Dans tout le chapitre, sauf dans la dernière partie, nous considérerons le référentiel terrestre local.

On postule que le référentiel de Copernic est galiléen, ainsi dans ce référentiel le principe fondamental de la dynamique s’écrit :

𝑚𝑚 𝑎𝑎⃗ ( 𝑀𝑀 )| _𝑅𝑅

= 𝐹𝐹 �����������������������⃗ 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 + 𝐹𝐹 ��������������⃗ 𝑔𝑔𝑎𝑎𝑔𝑔𝑔𝑔𝑒𝑒𝑎𝑎

Si les mouvements étudiés le sont sur une durée bien

inférieures à une journée, le référentiel terrestre local pourra être

considéré galiléen.

II - Loi de la quantité de mouvement en RNG

II-1) Cas d’un référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen

a) Enoncé du PFD Dans ce cas on pose :

� 𝑣𝑣⃗ _𝑅𝑅

� 𝑅𝑅 = 𝑣𝑣 ���⃗ _𝑒𝑒 = 𝑣𝑣⃗(𝑂𝑂 ^′ )| _𝑅𝑅 𝑎𝑎⃗ _𝑅𝑅

� 𝑅𝑅 = 𝑎𝑎 ����⃗ _𝑒𝑒 = 𝑎𝑎⃗(𝑂𝑂 ^′ )| _𝑅𝑅

On étudie le mouvement d’un point matériel M de masse m, soumis à un ensemble de forces 𝑓𝑓 ����⃗ _𝑘𝑘 tel que :

𝐹𝐹⃗ = � 𝑓𝑓 ����⃗ _𝑘𝑘

𝑁𝑁

On écrit le principe fondamental de la dynamique dans R le 𝑘𝑘=1

référentiel galiléen.

𝑚𝑚 𝑎𝑎⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅 = 𝐹𝐹⃗ = � 𝑓𝑓 ����⃗ _𝑘𝑘

𝑁𝑁

Or : 𝑘𝑘=1

𝑎𝑎⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅 = 𝑎𝑎⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅

+ 𝑎𝑎 ����⃗ _𝑒𝑒 Donc :

𝑚𝑚(𝑎𝑎⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅

+ 𝑎𝑎 ����⃗) = _𝑒𝑒 𝐹𝐹⃗

⇔ 𝑚𝑚 𝑎𝑎⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅

= 𝐹𝐹⃗ − 𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗ _𝑒𝑒

Le terme −𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗ _𝑒𝑒 est homogène à une force, on l’appelle force d’inertie d’entraînement.

On écrira donc la loi de la quantité de mouvement dans un référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen de la façon suivante :

𝑚𝑚 𝑎𝑎⃗(𝑀𝑀)| ����� _𝑅𝑅

𝑔𝑔

����⃗

= 𝐹𝐹⃗ + 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑒𝑒} 𝑜𝑜ù 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑒𝑒} = −𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗ _𝑒𝑒

b) Exemple

Le passager d’un véhicule en translation horizontale d’accélération constante 𝑎𝑎 ����⃗ ₀ = −𝑎𝑎 ₀ 𝑐𝑐 ����⃗ _𝑦𝑦 , étudie les petites oscillations planes du pendule simple formé par une masse m et un fil de longueur l accroché au plafond du véhicule.

a) Quelle est le position d’équilibre du système ? b) Quelle période mesure-t-il ?

Données :

o 2𝑎𝑎 ₀ = 𝑔𝑔 = 9,8 𝑚𝑚𝑐𝑐 ⁻² o 𝑙𝑙 = 1𝑚𝑚

a)

Dans R référentiel, lié au véhicule on a : 𝑚𝑚 𝑎𝑎 ����⃗ _𝑔𝑔 = 𝐹𝐹⃗ + 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑒𝑒} 𝑚𝑚 𝑎𝑎 ����⃗ _𝑔𝑔 = 𝑚𝑚𝑔𝑔⃗ + 𝑇𝑇�⃗ − 𝑚𝑚 𝑎𝑎 ����⃗ ₀

En projetant sur l’axe orthoradial afin d’éliminer T nous obtenons : 𝑚𝑚𝑙𝑙𝜃𝜃̈ = −𝑚𝑚𝑔𝑔 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 + 𝑚𝑚𝑎𝑎 ₀ cos 𝜃𝜃

La position d’équilibre correspond donc à : 𝑔𝑔 sin 𝜃𝜃 _𝑒𝑒 = 𝑎𝑎 ₀ cos 𝜃𝜃 _𝑒𝑒

⇔ _{tan 𝜃𝜃 𝑒𝑒 =} ^{𝑎𝑎 0}

𝑔𝑔 = 1

2 ⇒ _{𝜃𝜃 𝑒𝑒 = 26°}

b) Pour des petits mouvements au voisinage de cette position d’équilibre, on pose :

θ _{= 𝜃𝜃 𝑒𝑒 +} ε _𝑜𝑜ù ε _{≪ 1}

D’où le PFD devient :

𝑚𝑚𝑙𝑙�𝜃𝜃 _𝑒𝑒 ̈ + ε _{̈� = −𝑚𝑚𝑔𝑔 sin(𝜃𝜃 𝑒𝑒 +} ε _{) + 𝑚𝑚𝑎𝑎 0 cos(𝜃𝜃 𝑒𝑒 +} ε ₎ Or : �

sin(𝜃𝜃 _𝑒𝑒 + ε _{) ⏟} ∼

𝐷𝐷𝐷𝐷

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 _𝑒𝑒 + ε _{cos 𝜃𝜃 𝑒𝑒} cos(𝜃𝜃 _𝑒𝑒 + ε _{) ⏟} ∼

𝐷𝐷𝐷𝐷

𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝜃𝜃 _𝑒𝑒 − ε _{sin 𝜃𝜃 𝑒𝑒} D’où :

𝑙𝑙 ε _{̈ =} −𝑔𝑔(𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 _𝑒𝑒 + ε _{cos 𝜃𝜃 𝑒𝑒 ) + 𝑎𝑎 0 (𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝜃𝜃 𝑒𝑒 −} ε _{sin 𝜃𝜃 𝑒𝑒 )}

⇔ _𝑙𝑙 ε _{̈ =} ε _{(−𝑔𝑔 cos 𝜃𝜃 𝑒𝑒 − 𝑎𝑎 0 sin 𝜃𝜃 𝑒𝑒} ) + (−𝑔𝑔 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 ��������������� _𝑒𝑒 + 𝑎𝑎 ₀ cos 𝜃𝜃 _𝑒𝑒 )

0

Or :

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ cos 𝜃𝜃 _𝑒𝑒 = ^𝑔𝑔

�𝑔𝑔

+𝑔𝑔

sin 𝜃𝜃 _𝑒𝑒 = ^𝑔𝑔

�𝑔𝑔

+𝑔𝑔

⇒ _𝑙𝑙 ε _{̈ = −} ε ^{𝑔𝑔 2 + 𝑎𝑎 0 ²}

�𝑔𝑔 ² + 𝑎𝑎 ₀ ²

⇒ ε _{̈ + 𝜔𝜔 0} ² ε _{= 0 𝑜𝑜ù 𝜔𝜔 0} ² ₌ ^{�𝑔𝑔 2 + 𝑎𝑎 0 2} 𝑙𝑙

⇒ _{𝑇𝑇 = 2} π _� ^{𝑙𝑙 2} 𝑔𝑔 ² + 𝑎𝑎 ₀ ² �

1 4

= 1,9𝑐𝑐

II-2) Cas d’un référentiel en rotation uniforme par rapport à un axe fixe d’un référentiel galiléen

a) Enoncé du PFD

Le référentiel R’ est en rotation autour de l’axe fixe Oz du référentiel galiléen R à la vitesse angulaire Ω . Le vecteur rotation sera noté :

Ω ���⃗ _𝑅𝑅

� 𝑅𝑅 = Ω _{𝑢𝑢 ����⃗ 𝑧𝑧} Cette fois-ci :

𝑎𝑎⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅 = 𝑎𝑎⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅

+ 𝑎𝑎 ����⃗ _𝑒𝑒 + 𝑎𝑎 ����⃗ _𝑐𝑐

Donc :

𝑚𝑚 𝑎𝑎⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅

= 𝑚𝑚 𝑎𝑎⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅 − 𝑚𝑚 𝑎𝑎 ����⃗ − 𝑚𝑚𝑎𝑎 _𝑒𝑒 ����⃗ _𝑐𝑐

On remarque l’apparition d’un terme supplémentaire appelée force d’inertie de Coriolis :

𝑓𝑓 _{𝑔𝑔𝑐𝑐}

����⃗ = −𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗ _𝑐𝑐 Par conséquent :

La loi de la quantité de mouvement s’écrit dans un référentiel en rotation par rapport à un axe fixe d’un référentiel galiléen :

𝑚𝑚 𝑎𝑎⃗(𝑀𝑀)| ����� _𝑅𝑅

𝑔𝑔

����⃗

= 𝐹𝐹⃗ + 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑒𝑒} + 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑐𝑐} 𝑜𝑜ù � 𝑓𝑓 ����⃗ ^{𝑔𝑔𝑒𝑒} = −𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗ _𝑒𝑒 = +𝑚𝑚 Ω ² _{𝐻𝐻𝑀𝑀} �������⃗

𝑓𝑓 _{𝑔𝑔𝑐𝑐}

����⃗ = −𝑚𝑚 𝑎𝑎 ����⃗ _𝑐𝑐 = −2𝑚𝑚 Ω _{���⃗ ∧ 𝑣𝑣 ���⃗ 𝑔𝑔} b) Force centrifuge

Comme dans le cas d’un référentiel en translation, on voit apparaître dans un référentiel en rotation des forces d’inertie, qui, sans être dues à des interactions, ont un effet sur le mouvement des objets.

o La force d’inertie de Coriolis est de la forme : 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑐𝑐} = −𝑚𝑚 𝑎𝑎 ����⃗ _𝑐𝑐 = −2𝑚𝑚 Ω _{���⃗ ∧ 𝑣𝑣 ���⃗ 𝑔𝑔}

o La force d’inertie d’entraînement est de la forme : 𝑓𝑓 _{𝑔𝑔𝑒𝑒}

����⃗ = −𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗ _𝑒𝑒 = +𝑚𝑚 Ω ² _{𝐻𝐻𝑀𝑀} �������⃗ = +𝑚𝑚 Ω ² _{𝑟𝑟 𝑢𝑢 ����⃗ 𝑔𝑔}

Cette force « fuit » l’axe, c’est la force centrifuge telle qu’on la nomme dans la vie courante.

Dans le cas d’un référentiel en rotation uniforme par rapport à un référentiel galiléen la force d’inertie d’entraînement est représentée par la force centrifuge :

𝑓𝑓 _{𝑔𝑔𝑒𝑒}

����⃗ = 𝑚𝑚 Ω ² _{𝐻𝐻𝑀𝑀} ^{�������⃗} _{= 𝑚𝑚} Ω ² _{𝑟𝑟 𝑢𝑢 ����⃗ 𝑔𝑔}

c) Exemple

Une perle P, assimilée à un point matériel de masse m, est enfilée sur un cerceau de centre C et de rayon a. La perle se déplace sans frottement sur le cerceau. Le cerceau, situé dans un plan vertical, est entraîné par un moteur qui le fait tourner à vitesse angulaire constante ω autour d’un diamètre vertical.

a) Déterminer l’équation du mouvement sous la forme : 𝜃𝜃̈ = 𝑓𝑓 ( 𝜃𝜃 )

b) Calculer la force exercée par le cerceau sur la perle.

a) On applique le PFD dans le référentiel R’ lié au cerceau d’où : 𝑚𝑚 𝑎𝑎⃗(𝑀𝑀)| ����� _𝑅𝑅

𝑔𝑔

����⃗

= 𝐹𝐹⃗ + 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑒𝑒} + 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑐𝑐} o Calcul de 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑒𝑒}

o Méthode 1 :

A l’aide de la formule : 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑒𝑒} = 𝑚𝑚 Ω ² 𝐻𝐻𝑃𝑃 ������⃗ = 𝑚𝑚 ω ² asin θ 𝑢𝑢 ������⃗ _𝑥𝑥

o Méthode 2 :

En remarquant que le mouvement du point coïncidant du point

P est un mouvement circulaire de centre H, de rayon 𝑟𝑟 = asin θ et

de vitesse angulaire constante ω.

Or en coordonnées cylindriques :

𝑎𝑎⃗ = �𝑟𝑟̈ − 𝑟𝑟 θ ̇ ² � 𝑢𝑢 ������⃗ _𝑥𝑥

+ �𝑟𝑟𝜃𝜃̈ + 2𝑟𝑟̇ θ ̇�𝑢𝑢 ������⃗ _𝑦𝑦

+ 𝑧𝑧̈ 𝑢𝑢 �����⃗ _𝑧𝑧

D’où dans notre cas :

𝑎𝑎⃗ = −𝑟𝑟 θ ̇ ² 𝑢𝑢 ������⃗ _𝑥𝑥

= asin θ ω ² 𝑢𝑢 ������⃗ _𝑥𝑥

⇒ _𝑓𝑓 ^{����⃗} _{𝑔𝑔𝑒𝑒 =} −𝑚𝑚𝑎𝑎⃗(𝑃𝑃) = 𝑚𝑚 ω ² asin θ 𝑢𝑢 ������⃗ _𝑥𝑥

Même si la méthode 2 est plus longue à mettre en place sur cet exercice, celle-ci est plus générale.

o Calcul de 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑐𝑐}

Soit : 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑐𝑐} = −2𝑚𝑚 Ω _{���⃗ ∧ 𝑣𝑣 ���⃗ 𝑔𝑔}

⇔ _𝑓𝑓 ^{����⃗} _{𝑔𝑔𝑐𝑐 = 2𝑚𝑚} ω _{(−𝑢𝑢 ����⃗) 𝑧𝑧 ∧ 𝑎𝑎} θ ̇ u ����⃗ θ

⇔ _𝑓𝑓 ^{����⃗} _{𝑔𝑔𝑐𝑐 = 2𝑚𝑚} ω _{�sin �} π

2 − θ _{�� 𝑎𝑎} θ ̇ (−u �����⃗) _y

Pour la direction la règle des « trois doigts » donne −u �����⃗ _y

𝑑𝑑 ^′ 𝑜𝑜ù 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑐𝑐} = −2𝑚𝑚 ω _cos( θ _{) 𝑎𝑎} θ ̇ u �����⃗ _y

o Appliquons le PFD dans R’ :

𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗ _𝑔𝑔 = 𝑅𝑅�⃗ + 𝑃𝑃�⃗ + 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑒𝑒} + 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑐𝑐} Projetons sur l’axe u ����⃗ θ pour éliminer 𝑅𝑅�⃗ :

𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗ _𝑔𝑔 = 𝑅𝑅�⃗ + 𝑃𝑃�⃗ + 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑒𝑒} + 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑐𝑐}

⇔ _{𝑚𝑚𝑎𝑎𝜃𝜃̈ =} −𝑚𝑚𝑔𝑔 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 θ _{+ 𝑚𝑚} ω ² asin θ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐 θ

⇔ _{𝜃𝜃̈ = −} ^𝑔𝑔

𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 θ ₊ ω ² sin θ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐 θ

⇔ _{𝜃𝜃̈ = 𝑓𝑓(} θ _{) 𝑜𝑜ù 𝑓𝑓(} θ _{) = sin} θ �− 𝑔𝑔

𝑎𝑎 + ω ² 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐 θ _� b) Pour calculer 𝑅𝑅�⃗ on projette sur u ����⃗ 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑢𝑢 _𝑔𝑔 ������⃗ ∶ _𝑦𝑦

o Sur u ����⃗ ∶ _𝑔𝑔 −𝑚𝑚𝑎𝑎 θ ̇ ² = 𝑅𝑅 _𝑔𝑔 + 𝑚𝑚 ω ² asin ² θ + 𝑚𝑚𝑔𝑔 cos θ o Sur u ������⃗ ∶ _𝑦𝑦

0 = 𝑅𝑅 _𝑦𝑦

− 2𝑚𝑚 ω _cos( θ _{) 𝑎𝑎} θ ̇

D’où :

𝑅𝑅�⃗ = −𝑚𝑚 � ω ² asin ² θ + 𝑔𝑔 cos θ _{+ 𝑎𝑎} θ ̇ ² � u ����⃗ _𝑔𝑔 + 2𝑚𝑚 ω _cos( θ _{) 𝑎𝑎} θ ̇ u ������⃗ _𝑦𝑦

III - Loi du moment cinétique dans un référentiel non galiléen

III-1) Cas d’un référentiel en translation par rapport à un référentiel galiléen

Soit A un point fixe de R’. Le moment cinétique de M en A dans R’ est :

𝐿𝐿 _𝐴𝐴

����⃗ (𝑀𝑀)� _𝑅𝑅

= 𝐴𝐴𝑀𝑀 ������⃗ ∧ 𝑚𝑚 𝑣𝑣⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅

⇒ ^{𝑑𝑑𝐿𝐿 ����⃗ 𝐴𝐴 (𝑀𝑀)� 𝑅𝑅}

𝑑𝑑𝑐𝑐 = 𝑑𝑑𝐴𝐴𝑀𝑀 ������⃗

𝑑𝑑𝑐𝑐 � _𝑅𝑅

�����

𝑔𝑔�⃗(𝑀𝑀)|

∧ 𝑚𝑚 𝑣𝑣⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅

+ 𝐴𝐴𝑀𝑀 ������⃗ ∧ 𝑚𝑚 𝑎𝑎⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅

⇒ ^{𝑑𝑑𝐿𝐿 ����⃗ 𝐴𝐴 (𝑀𝑀)� 𝑅𝑅}

𝑑𝑑𝑐𝑐

=

⎝

⎜ ⎛𝑑𝑑𝐴𝐴𝑂𝑂 �������⃗ ^′ 𝑑𝑑𝑐𝑐 � _𝑅𝑅

�����

0��⃗

+ 𝑑𝑑𝑂𝑂 ��������⃗ ^′ 𝑀𝑀 𝑑𝑑𝑐𝑐 � _𝑅𝑅

�����

𝑔𝑔�⃗(𝑀𝑀)|

⎠

⎟ ⎞

∧ 𝑚𝑚 𝑣𝑣⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅

+ 𝐴𝐴𝑀𝑀 ������⃗ ∧ 𝑚𝑚 𝑎𝑎⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅

⇒ ^{𝑑𝑑𝐿𝐿 ����⃗ 𝐴𝐴 (𝑀𝑀)� 𝑅𝑅}

𝑑𝑑𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝑀𝑀 ������⃗ ∧ 𝑚𝑚 𝑎𝑎⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅

⇒ ^{𝑑𝑑𝐿𝐿 ����⃗ 𝐴𝐴 (𝑀𝑀)� 𝑅𝑅}

𝑑𝑑𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝑀𝑀 ������⃗ ∧ �𝐹𝐹⃗ + 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑒𝑒} + 𝑓𝑓 ����⃗ � _{𝑔𝑔𝑐𝑐}

0��⃗

�

Dans le référentiel non galiléen R’ en translation par rapport à R, le théorème du moment cinétique s’écrit, pour un point A fixe dans R’ :

𝑑𝑑𝐿𝐿 ����⃗ _𝐴𝐴 (𝑀𝑀)� _𝑅𝑅

𝑑𝑑𝑐𝑐 = 𝑀𝑀 �����⃗�𝐹𝐹⃗� _𝐴𝐴 + 𝑀𝑀 �����⃗�𝑓𝑓 _𝐴𝐴 ����⃗� _{𝑔𝑔𝑒𝑒}

III-2) Cas d’un référentiel en rotation par rapport à un axe fixe d’un référentiel galiléen

En procédant exactement de la même manière qu’au paragraphe précédent, on montre le résultat suivant :

Dans le référentiel non galiléen R

_

en rotation par rapport à un axe fixe de R, le théorème

III-3) Pendule oscillant

On étudie un pendule simple constitué d’une bille de masse m, assimilée à point matériel M, attachée à une barre AM de masse négligeable.

L’extrémité A de la barre est animée d’un mouvement de translation selon l’axe (Ox) :

𝑥𝑥 _𝐴𝐴 = 𝑥𝑥 ₀ sin(𝜔𝜔𝑐𝑐)

a) Montrer que l’équation du mouvement s’écrit dans le cas de petites oscillations :

θ ̈ + ω ₀ ² θ = 𝑥𝑥 ₀

𝐿𝐿 ω ² _sin( ω _𝑐𝑐) b) En déduire θ (t) si θ (0) = 0 𝑐𝑐𝑐𝑐 θ ^̇ _{(0) = 0}

Dans le référentiel non galiléen R’ en rotation par rapport à un axe fixe de R galiléen, le théorème du moment cinétique s’écrit, pour un point A fixe dans R’ :

𝑑𝑑𝐿𝐿 ����⃗ _𝐴𝐴 (𝑀𝑀)� _𝑅𝑅

𝑑𝑑𝑐𝑐 = 𝑀𝑀 �����⃗�𝐹𝐹⃗� _𝐴𝐴 + 𝑀𝑀 �����⃗�𝑓𝑓 _𝐴𝐴 ����⃗� _{𝑔𝑔𝑒𝑒} + 𝑀𝑀 �����⃗�𝑓𝑓 _𝐴𝐴 ����⃗� _{𝑔𝑔𝑐𝑐}

a) Soit :

𝑑𝑑𝐿𝐿 ����⃗ _𝐴𝐴 (𝑀𝑀)� _𝑅𝑅

𝑑𝑑𝑐𝑐 = 𝑀𝑀 �����⃗�𝑃𝑃�⃗� _𝐴𝐴 + 𝑀𝑀 �����⃗�𝑅𝑅�⃗� _𝐴𝐴 + 𝑀𝑀 �����⃗�𝑓𝑓 _𝐴𝐴 ����⃗� _{𝑔𝑔𝑒𝑒}

⇔ ^{𝑑𝑑𝐿𝐿 ����⃗ 𝐴𝐴 (𝑀𝑀)� 𝑅𝑅}

𝑑𝑑𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝑀𝑀 ������⃗ ∧ �𝑃𝑃�⃗ + 𝑓𝑓 ����⃗� _{𝑔𝑔𝑒𝑒} + 𝐴𝐴𝑀𝑀 ������⃗ ����� ∧ 𝑅𝑅�⃗

Avec : 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑒𝑒} = −𝑚𝑚𝑥𝑥̈ _𝐴𝐴 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑥𝑥 0��⃗

⇔ _mL ² θ ̈𝑢𝑢 ����⃗ _𝑧𝑧 = −𝑚𝑚𝑔𝑔𝐿𝐿 sin θ _𝑢𝑢 ����⃗ − 𝐿𝐿𝑚𝑚𝑥𝑥̈ _{𝑧𝑧 𝐴𝐴} sin � 𝜋𝜋

2 − 𝜃𝜃� 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑧𝑧

⇔ _L ² θ ̈ = −𝑔𝑔𝐿𝐿 sin θ _{+ 𝐿𝐿𝑥𝑥 0} ω ² _sin( ω _{𝑐𝑐) 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝜃𝜃} Dans le cas de petites oscillations on a donc :

θ ̈ + 𝑔𝑔

𝐿𝐿 θ ₌ ^{𝑥𝑥 0}

𝐿𝐿 ω ² _sin( ω _𝑐𝑐) ⇒ ω ₀ ² = 𝑔𝑔

⇒ θ ̈ + ω ₀ ² θ = 𝑥𝑥 ₀ 𝐿𝐿

𝐿𝐿 ω ² _sin( ω _{𝑐𝑐) 𝑜𝑜ù} ω ₀ ² = 𝑔𝑔 𝐿𝐿 b) Donc θ (t) = A cos(𝜔𝜔 ₀ 𝑐𝑐) + 𝐵𝐵 sin( ω _{0 𝑐𝑐) + 𝐶𝐶 sin(} ω _𝑐𝑐) A l’aide de la notation complexe on pose θ (t) = 𝐶𝐶𝑐𝑐 ^{𝑗𝑗𝑗𝑗𝑔𝑔}

(− ω ² ₊ ω ₀ ² )𝐶𝐶 = 𝑥𝑥 ₀ 𝐿𝐿 ω ²

⇔ _{𝐶𝐶 =} ^{𝑥𝑥 0} 𝐿𝐿

ω ² ω ₀ ² − ω ² Or :

θ (0) = 0 = A cos(𝜔𝜔 ₀ 𝑐𝑐) ⇒ _{𝐴𝐴 = 0} Et :

θ ^̇ _{(0) = 0 =} ω _{0 𝐵𝐵 +} ω _𝐶𝐶 ⇒ _{𝐵𝐵 = −} ω ω ₀ ^𝐶𝐶 Donc :

θ (t) = 𝑥𝑥 ₀ 𝐿𝐿

ω ²

ω ₀ ² − ω ^{2 �sin(} ω _{𝑐𝑐) −} ω

ω ₀ ^sin( ω _{0 𝑐𝑐)�}

III-4) Perle sur un cerceau en rotation

On reprend l’exemple de la perle sur le cerceau en rotation mais on établit l’équation du mouvement en appliquant la loi du moment cinétique en C, point fixe de 𝑅𝑅 _𝐶𝐶 , plutôt que celle de la quantité de mouvement.

Soit :

𝑑𝑑𝐿𝐿 ����⃗ _𝐶𝐶 (𝑀𝑀)� _𝑅𝑅

𝑑𝑑𝑐𝑐 = 𝑀𝑀 �����⃗�𝑃𝑃�⃗� _𝐶𝐶 + 𝑀𝑀 �����⃗�𝑅𝑅�⃗� _𝐶𝐶 + 𝑀𝑀 �����⃗�𝑓𝑓 _𝐶𝐶 ����⃗� 𝑔𝑔𝑒𝑒 + 𝑀𝑀 �����⃗�𝑓𝑓 _𝐶𝐶 ����⃗� 𝑔𝑔𝑐𝑐

−𝑚𝑚𝑎𝑎 ² 𝜃𝜃̈𝑢𝑢 ������⃗ _𝑦𝑦

= 𝑀𝑀 �����⃗�𝑃𝑃�⃗� _𝐶𝐶 + 𝑀𝑀 �����⃗�𝑅𝑅�⃗� _𝐶𝐶 + 𝑀𝑀 �����⃗�𝑓𝑓 _𝐶𝐶 ����⃗� _{𝑔𝑔𝑒𝑒} + 𝑀𝑀 �����⃗�𝑓𝑓 _𝐶𝐶 ����⃗� _{𝑔𝑔𝑐𝑐}

Calculons les différents moments, et surtout leur composante sur u _y

�����⃗ ∶

o 𝑀𝑀 �����⃗�𝑃𝑃�⃗� _𝐶𝐶 = +𝑚𝑚𝑔𝑔𝑎𝑎 sin( θ ₎ o 𝑀𝑀 �����⃗�𝑅𝑅�⃗� _𝐶𝐶 = 0 𝑢𝑢 ������⃗ _𝑦𝑦

+ 𝑎𝑎𝑅𝑅 _𝑦𝑦

u ����⃗ θ

o 𝑀𝑀 �����⃗�𝑓𝑓 _𝐶𝐶 ����⃗� 𝑔𝑔𝑒𝑒 = 𝐶𝐶𝑃𝑃 �����⃗ ∧ 𝑚𝑚 ω ² asin θ 𝑢𝑢 ������⃗ _𝑥𝑥

= − 𝑚𝑚 ω ² 𝑎𝑎 ² sin θ cos θ u �����⃗ _y

o 𝑀𝑀 �����⃗�𝑓𝑓 _𝐶𝐶 ����⃗� _{𝑔𝑔𝑐𝑐} = 𝐶𝐶𝑃𝑃 �����⃗ ∧ �−2𝑚𝑚 Ω _cos( θ _{) 𝑎𝑎} θ ̇� u �����⃗ _y

= −2𝑚𝑚 Ω _cos( θ _{) 𝑎𝑎} ² θ ̇ u ����⃗ θ

D’où :

−𝑚𝑚𝑎𝑎 ² 𝜃𝜃̈ = +𝑚𝑚𝑔𝑔𝑎𝑎 sin( θ _{) − 𝑚𝑚} ω ² 𝑎𝑎 ² sin θ cos θ

⇔ _{𝜃𝜃̈ = −} ^𝑔𝑔

𝑎𝑎 sin( θ _{) +} ω ² sin θ cos θ

⇔ _{𝜃𝜃̈ = 𝑓𝑓(} θ _{) 𝑜𝑜ù 𝑓𝑓(} θ _{) = sin} θ �− 𝑔𝑔

𝑎𝑎 + ω ² 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐 θ _�

IV – Etude énergétique dans un référentiel non galiléen

IV-1) Théorème de l’énergie cinétique en RNG

Le principe fondamental de la dynamique dans R’ s’écrit : 𝑚𝑚𝑎𝑎⃗ ( 𝑀𝑀 )| _𝑅𝑅

= 𝑓𝑓⃗ − 𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗ − 𝑚𝑚𝑎𝑎 _𝑒𝑒 ����⃗ 𝑜𝑜ù 𝑓𝑓⃗ _𝑐𝑐 = � 𝑓𝑓 ^𝑁𝑁 ���⃗ _𝑘𝑘

Multiplions-le par 𝑣𝑣⃗ ( 𝑀𝑀 )| _𝑅𝑅

𝑑𝑑𝑐𝑐 . Il vient : 𝑘𝑘=1

𝑚𝑚𝑎𝑎⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅

𝑣𝑣⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅

𝑑𝑑𝑐𝑐

= 𝑓𝑓⃗ . 𝑣𝑣⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅

𝑑𝑑𝑐𝑐 − 𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗𝑣𝑣⃗(𝑀𝑀)| _{𝑒𝑒 𝑅𝑅}

𝑑𝑑𝑐𝑐 − 𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗𝑣𝑣⃗ _𝑐𝑐 (𝑀𝑀)| _𝑅𝑅

𝑑𝑑𝑐𝑐 Ainsi :

𝑑𝑑𝐸𝐸 _𝑐𝑐 | _𝑅𝑅

= 𝛿𝛿𝛿𝛿�𝑓𝑓⃗�� _𝑅𝑅

+ 𝛿𝛿𝛿𝛿�𝑓𝑓 ����⃗�� _{𝑔𝑔𝑒𝑒 𝑅𝑅}

+ 𝛿𝛿𝛿𝛿�𝑓𝑓 ����⃗�� _{𝑔𝑔𝑐𝑐 𝑅𝑅}

Mais la force d’inertie de Coriolis étant orthogonale au vecteur- vitesse du point M dans le référentiel R’, son travail est nul. D’où :

𝑑𝑑𝐸𝐸 _𝑐𝑐 | _𝑅𝑅

= 𝛿𝛿𝛿𝛿�𝑓𝑓⃗�� _𝑅𝑅

+ 𝛿𝛿𝛿𝛿�𝑓𝑓 ����⃗�� _{𝑔𝑔𝑒𝑒 𝑅𝑅}

On peut aussi écrire la loi de la puissance cinétique en RNG : 𝑑𝑑𝐸𝐸 _𝑐𝑐

𝑑𝑑𝑐𝑐 � _𝑅𝑅

= 𝑃𝑃�𝑓𝑓⃗�� _𝑅𝑅

+ 𝑃𝑃�𝑓𝑓 ����⃗�� _{𝑔𝑔𝑒𝑒 𝑅𝑅}

La variation d’énergie cinétique d’un point matériel entre deux instants est égale au travail des forces qui s’exercent sur ce point entre les deux instants considérés, y compris la force d’inertie d’entraînement (la force de Coriolis ne travaille pas)

� 𝑑𝑑𝐸𝐸 _𝑐𝑐 | _𝑅𝑅

= 𝛿𝛿𝛿𝛿�𝑓𝑓⃗�� _𝑅𝑅

+ 𝛿𝛿𝛿𝛿�𝑓𝑓 ����⃗�� _{𝑔𝑔𝑒𝑒 𝑅𝑅}

𝐸𝐸 _𝑐𝑐 (𝐵𝐵)| _𝑅𝑅

− 𝐸𝐸 _𝑐𝑐 (𝐴𝐴)| _𝑅𝑅

= 𝛿𝛿 _{𝐴𝐴→𝐵𝐵} �𝑓𝑓⃗�� _𝑅𝑅

+ 𝛿𝛿 _{𝐴𝐴→𝐵𝐵} �𝑓𝑓 ����⃗�� _{𝑔𝑔𝑒𝑒 𝑅𝑅}

IV-2) Expression de l’énergie potentielle d’entraînement a) Force conservative ?

A priori, la force d’inertie d’entraînement n’est pas conservative, cependant la force d’inertie d’entraînement est conservative dans les deux cas suivants :

- Translation rectiligne uniformément accélérée - Rotation uniforme

b) Cas d’un référentiel en translation tel que 𝑎𝑎 ����⃗ _𝑒𝑒 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ��������⃗

Dans le cas d’un référentiel est translation, si l’accélération est constante, alors on peut écrire :

𝛿𝛿𝛿𝛿�𝑓𝑓 ����⃗� _{𝑔𝑔𝑒𝑒} = −𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗𝑣𝑣⃗(𝑀𝑀)| _{𝑒𝑒 𝑅𝑅}

𝑑𝑑𝑐𝑐 = −𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗. _𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑂𝑂 ��������⃗ ^′ 𝑀𝑀 = −𝑑𝑑�𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗. _𝑒𝑒 𝑂𝑂 ��������⃗� ^′ 𝑀𝑀

⇒ _{𝐸𝐸 𝑝𝑝𝑒𝑒 = 𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗. 𝑒𝑒 𝑂𝑂} ^{��������⃗ ′} _{𝑀𝑀 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐}

c) Cas d’un référentiel en rotation uniforme

Le travail élémentaire de la force d’inertie d’entraînement s’écrit δ _{𝛿𝛿�𝑓𝑓 ����⃗� 𝑔𝑔𝑒𝑒 = 𝑓𝑓} ^{����⃗} _{𝑔𝑔𝑒𝑒 . 𝑑𝑑𝑂𝑂} ��������⃗ ^′ _𝑀𝑀 = 𝑚𝑚 Ω ² _{𝑟𝑟 𝑢𝑢} ����⃗. (𝑑𝑑𝑟𝑟𝑢𝑢 _𝑔𝑔 ����⃗ _𝑔𝑔 + 𝑟𝑟𝑑𝑑 θ _{𝑢𝑢 ����⃗ θ + 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑢𝑢 ����⃗) 𝑧𝑧}

⇒ δ _{𝛿𝛿�𝑓𝑓 ����⃗� 𝑔𝑔𝑒𝑒 = 𝑚𝑚} Ω ² _{𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑟𝑟}

⇒ _{𝐸𝐸 𝑝𝑝𝑒𝑒 = −} ¹

2 𝑚𝑚 Ω ² _𝑟𝑟 ² _{+ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐}

Dans d’un référentiel est translation avec une accélération constante 𝑎𝑎 ����⃗ _𝑒𝑒 par rapport à un référentiel galiléen R, la force d’inertie d’entraînement dérive de l’énergie potentielle :

𝐸𝐸 _{𝑝𝑝𝑒𝑒} = 𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗. _𝑒𝑒 𝑂𝑂 ��������⃗ ^′ 𝑀𝑀 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

IV-3) Système conservatif

IV-4) Pendule oscillant

On étudie un pendule simple constitué d’une bille de masse m, assimilée à point matériel M, attachée à une barre AM de masse négligeable.

L’extrémité A de la barre est animée d’un mouvement de translation selon l’axe (Ox) :

𝑥𝑥 _𝐴𝐴 = 𝑥𝑥 ₀ sin(𝜔𝜔𝑐𝑐)

Retrouvons l’équation différentielle du mouvement dans le cas de petites oscillations :

θ ̈ + ω ₀ ² θ = 𝑥𝑥 ₀

𝐿𝐿 ω ² _sin( ω _𝑐𝑐)

Dans d’un référentiel en rotation uniforme autour d’un axe fixe d’un référentiel galiléen R, à la vitesse angulaire Ω, la force d’inertie d’entraînement dérive de l’énergie potentielle :

𝐸𝐸 _{𝑝𝑝𝑒𝑒} = − 1

2 𝑚𝑚 Ω ² _𝑟𝑟 ² _{+ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = −} ¹

2 𝑚𝑚 Ω ² _{𝐻𝐻𝑀𝑀} ² _{+ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐}

Dans d’un système conservatif on retrouve la conservation de de l’énergie mécanique :

𝐸𝐸 _𝑚𝑚 = 𝐸𝐸 _𝑐𝑐 + 𝐸𝐸 _{𝑝𝑝,𝑓𝑓} + 𝐸𝐸 _{𝑝𝑝𝑒𝑒} = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

Appliquons le théorème de la puissance cinétique : 𝑑𝑑𝐸𝐸 _𝑐𝑐

𝑑𝑑𝑐𝑐 � _𝑅𝑅

= 𝑃𝑃�𝑓𝑓⃗�� _𝑅𝑅

+ 𝑃𝑃�𝑓𝑓 ����⃗�� _{𝑔𝑔𝑒𝑒 𝑅𝑅}

Où :

⎩ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎧ 𝑑𝑑𝐸𝐸 _𝑐𝑐

𝑑𝑑𝑐𝑐 � _𝑅𝑅

= 𝑑𝑑 � 1

2 𝑚𝑚𝐿𝐿 ² 𝜃𝜃̇ ² �

𝑑𝑑𝑐𝑐 �

𝑅𝑅

= 𝑚𝑚𝐿𝐿 ² 𝜃𝜃̇𝜃𝜃̈

𝑃𝑃�𝑓𝑓⃗�� _𝑅𝑅

= −𝑚𝑚𝑔𝑔𝑢𝑢 ����⃗. _𝑦𝑦 𝐿𝐿𝜃𝜃̇ 𝑢𝑢 ����⃗ _𝜃𝜃 = −𝑚𝑚𝑔𝑔𝐿𝐿 θ ^̇ _{sin 𝜃𝜃} 𝑃𝑃�𝑓𝑓 ����⃗�� _{𝑔𝑔𝑒𝑒 𝑅𝑅}

= −𝑚𝑚𝑥𝑥̈ _𝐴𝐴 𝑢𝑢 ����⃗. _𝑥𝑥 𝐿𝐿𝜃𝜃̇ 𝑢𝑢 ����⃗ _𝜃𝜃 = −𝑚𝑚𝑥𝑥̈ _𝐴𝐴 𝐿𝐿𝜃𝜃̇𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝜃𝜃

⇒ _{𝐿𝐿𝜃𝜃̈ = −𝑔𝑔 sin 𝜃𝜃 − 𝑥𝑥̈ 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝜃𝜃}

⇒ _{𝜃𝜃̈ +} ^𝑔𝑔

𝐿𝐿 sin 𝜃𝜃 = 𝑥𝑥 ₀ ω ² _sin( ω _{𝑐𝑐) 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝜃𝜃} D’où pour de petites oscillations :

θ ̈ + ω ₀ ² θ = 𝑥𝑥 ₀

𝐿𝐿 ω ² _sin( ω 𝑐𝑐) 𝑎𝑎𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐 ω ₀ ² = 𝑔𝑔 𝐿𝐿 IV-5) Perle sur un cerceau en rotation

Retrouver l’équation différentielle : 𝜃𝜃̈ = 𝑓𝑓( θ _{) 𝑜𝑜ù 𝑓𝑓(} θ _{) = sin} θ �− 𝑔𝑔

𝑎𝑎 + ω ² 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐 θ _�

Calculons les différentes énergies mises en jeu :

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 𝐸𝐸 _𝑐𝑐 = 1

2 𝑚𝑚𝑎𝑎 ² 𝜃𝜃̇ ²

𝐸𝐸 _{𝑝𝑝𝑝𝑝} = −𝑚𝑚𝑔𝑔𝑎𝑎 cos 𝜃𝜃 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐸𝐸 _{𝑝𝑝𝑒𝑒} = − 1

2 𝑚𝑚 ω ² (𝑎𝑎 sin 𝜃𝜃) ² + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 Or : ^{𝑑𝑑𝐸𝐸} _{𝑑𝑑𝑔𝑔}

= 0

⇒ _{𝑚𝑚𝑎𝑎} ² _{𝜃𝜃̈𝜃𝜃̇ + 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑎𝑎𝜃𝜃̇ sin 𝜃𝜃 − 𝑚𝑚} ω ² 𝜃𝜃̇ 𝑎𝑎 ² sin θ cos 𝜃𝜃 = 0 𝑚𝑚𝑎𝑎 ² 𝜃𝜃̈ = −𝑚𝑚𝑔𝑔𝑎𝑎 sin( θ _{) + 𝑚𝑚} ω ² 𝑎𝑎 ² sin θ cos θ

⇔ _{𝜃𝜃̈ = −} ^𝑔𝑔

𝑎𝑎 sin( θ _{) +} ω ² sin θ cos θ

⇔ _{𝜃𝜃̈ = 𝑓𝑓(} θ _{) 𝑜𝑜ù 𝑓𝑓(} θ _{) = sin} θ �− 𝑔𝑔

𝑎𝑎 + ω ² 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐 θ _�

V – Champ de pesanteur

V-1) Poids d’un corps

Dans cette partie, on étudie un solide de masse m, assimilé à un point matériel M, dans le référentiel terrestre local. On ne considère plus le référentiel terrestre local comme galiléen.

Le point M est soumis :

- A un certain nombre de forces associées à la situation étudiée : la tension d’un fil, la réaction d’un support,…

- A la force d’attraction gravitationnelle de la Terre : 𝑚𝑚𝐺𝐺 ����⃗ _𝑇𝑇 (𝑀𝑀) - A la force d’inertie d’entraînement : 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑒𝑒} = −𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗ _𝑒𝑒 où 𝑎𝑎 ����⃗ _𝑒𝑒 est

l’accélération du point coïncidant dans le référentiel géocentrique

- A la force d’inertie de Coriolis : 𝑓𝑓 ����⃗ _{𝑔𝑔𝑐𝑐} = −2𝑚𝑚 Ω ���⃗ ∧ 𝑣𝑣⃗ en notant

Ω ���⃗ le vecteur rotation de la Terre sur elle-même et 𝑣𝑣⃗ la vitesse

du point par rapport au référentiel terrestre.

Le poids d’un corps, est défini comme l’opposé de la force qui le maintien à l’équilibre c’est-à-dire la tension du fil. La loi de la quantité de mouvement appliquée au corps en équilibre dans le référentiel terrestre local s’écrit :

0 �⃗ = 𝑇𝑇�⃗ − 𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗ _𝑒𝑒 + 𝑚𝑚𝐺𝐺 ����⃗ _𝑇𝑇 (𝑀𝑀) − 𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗ _𝑐𝑐

Le corps étant à l’équilibre, la force d’inertie de Coriolis est nulle.

0 �⃗ = 𝑇𝑇�⃗ − 𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗ _𝑒𝑒 + 𝑚𝑚𝐺𝐺 ����⃗ _𝑇𝑇 (𝑀𝑀)

⇔ _{𝑃𝑃�⃗ = −𝑇𝑇�⃗ = 𝑚𝑚�𝐺𝐺} ^{����⃗} _{𝑇𝑇 (𝑀𝑀) − 𝑎𝑎 ����⃗� 𝑒𝑒}

⇔ _{𝑃𝑃�⃗ = 𝑚𝑚�𝐺𝐺} ����⃗ _𝑇𝑇 (𝑀𝑀) + Ω ² _{𝐻𝐻𝑀𝑀 �������⃗�}

V-2) Champ de pesanteur a) Définition

On définit le champ de pesanteur par : 𝑃𝑃�⃗ = 𝑚𝑚𝑔𝑔⃗(𝑀𝑀) = 𝑚𝑚�𝐺𝐺 ����⃗ _𝑇𝑇 (𝑀𝑀) + Ω ² _{𝐻𝐻𝑀𝑀 �������⃗�}

Le champ de pesanteur est la somme du champ de gravitation et d’un terme centrifuge, égal à l’opposé de l’accélération d’entraînement.

𝑔𝑔⃗(𝑀𝑀) = 𝐺𝐺 ����⃗ _𝑇𝑇 (𝑀𝑀) + Ω ² _{𝐻𝐻𝑀𝑀} �������⃗

b) Variation avec la latitude

Le terme axifuge dépend de la latitude, on peut l’écrire 𝐺𝐺 𝑔𝑔𝑥𝑥𝑎𝑎𝑓𝑓𝑎𝑎𝑔𝑔𝑒𝑒 = 𝐺𝐺 𝑔𝑔𝑥𝑥𝑎𝑎𝑓𝑓𝑎𝑎𝑔𝑔𝑒𝑒,𝑚𝑚𝑔𝑔𝑥𝑥 cos λ

Ainsi il est maximal à l’équateur et nul aux pôles.

De plus en France (Montpellier) :

𝐺𝐺 𝑔𝑔𝑥𝑥𝑎𝑎𝑓𝑓𝑎𝑎𝑔𝑔𝑒𝑒 = 0,034 × cos(43°) = 0,018 𝑚𝑚𝑐𝑐 ⁻²

c) Ordres de grandeur Comparons les deux termes :

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧𝐺𝐺 _𝑇𝑇 (𝑀𝑀) = 𝐺𝐺𝑀𝑀 _𝑇𝑇

𝑅𝑅 _𝑇𝑇 ² = 6,67.10 ⁻¹¹ × 6.10 ²⁴

(6400.10 ³ ) ² = 9,80𝑚𝑚𝑐𝑐 ⁻² Ω ² _{𝐻𝐻𝑀𝑀 =} Ω ² _{𝑅𝑅 𝑇𝑇 cos(} λ ₎

⇒ _𝐺𝐺 𝑔𝑔𝑥𝑥𝑎𝑎𝑓𝑓𝑎𝑎𝑔𝑔𝑒𝑒,𝑚𝑚𝑔𝑔𝑥𝑥 = (7,3.10 ⁻⁵ )² × 6400. 10 ³ = 0,034𝑚𝑚𝑐𝑐 ⁻² Donc :

𝐺𝐺 𝑔𝑔𝑥𝑥𝑎𝑎𝑓𝑓𝑎𝑎𝑔𝑔𝑒𝑒,𝑚𝑚𝑔𝑔𝑥𝑥

𝐺𝐺 _𝑇𝑇 = 0,3%

V-3) Conséquence en référentiel terrestre

Ainsi, si on considère le référentiel géocentrique galiléen, on pourra écrire le PFD dans le référentiel « non galiléen » terrestre sous la forme :

𝑚𝑚𝑎𝑎⃗(𝑀𝑀)| _𝑅𝑅

= 𝑚𝑚 𝑔𝑔⃗(𝑀𝑀) ���

𝑐𝑐𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑎𝑎𝑒𝑒𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑙𝑙𝑔𝑔 𝑓𝑓𝑔𝑔𝑔𝑔𝑐𝑐𝑒𝑒

𝑑𝑑

𝑒𝑒𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔î𝑔𝑔𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒𝑔𝑔𝑔𝑔 "𝑔𝑔𝑒𝑒𝑔𝑔𝑔𝑔𝑒𝑒𝑎𝑎𝑔𝑔𝑔𝑔𝑒𝑒"

+ 𝑓𝑓⃗ − 𝑚𝑚𝑎𝑎 ����⃗ _𝑐𝑐