Référentiels non galiléens

RÉFÉRENTIELS NON−GALILÉENS 1) Théorèmes fondamentaux.

a. Rappel: lois de composition des vitesses et des accélérations.

Soient (R) un référentiel absolu et (R') un référentiel relatif en mouvement par rapport à (R).

A une date t quelconque: v_aM = v_rMv_e avec v_e= v_aP où P coïncide avec M à la date t et reste fixe dans (R').

a_aM = a_rMa_ea_c avec a_e= a_aP = a_aO'dΩ

dt ∧O 'M Ω∧



Ω∧^ O 'M



et a_c=2Ω∧ v_r. Ω est le vecteur rotation instantanée de (R') par rapport à (R).

b . Relation fondamentale.

Pour un point matériel de masse m, si (R) est galiléen: f = dp

dt =ma.

Dans (R') en mouvement quelconque par rapport à (R) donc non-galiléen: ma_r=ma_a−a_e−a_c = ff_ef_c. On peut donc utiliser la relation fondamentale dans (R') en ajoutant aux forces réellement appliquées de résultantef , les forces d ' inertie d 'entraînement f_e=−ma_e et complémentairef_c= −ma_c.

c .Théorème du moment cinétique.

Par rapport à un point A quelconque et dans (R'):

L_A= AM∧mv_r d 'où



^ddtLA



R '

=



^dAMdt



R '

∧mv_rAM∧ma_r= −v_rA∧mv_rAM∧ma_r. Si A est fixe dansR ':



^ddtLA



R '

=AM∧



^ffef_c



^{= M}Af M_Af_e M_Af_c.

d . Théorème de l ' énergie cinétique. DansR ': E_c=1

2m v_r² ;



^{d Edtc}



R '

=mv_r⋅a_r= v_r⋅



^ffef_c



^{=PfPf}e car Pf_c = v_r⋅



^{2Ω∧v}r



^=0.

D' où dE_c=δWfδWf_e et ∆E_c=WfWf_e.

e .Conclusion.

Les théorèmes fondamentaux sont applicables dans un référentiel non-galiléen à condition d'ajouter les forces d'inertie aux forces réellement appliquées.

2) Référentiel en translation.

Ω = 0 ⇒ a_c= 0 et a_e= a_aO '. Si la translation est rectiligne uniformément variée, le vecteur a_e est un vecteur constant ainsi que la force d'inertie d'entraînement.

Exemples :

3) Référentiel en rotation uniforme autour d'un axe fixe. v_e v_r

a_c

Soit O'z l'axe de rotation fixe dans (R). a_e f_e

Ω =Ωk et



^ddtΩ



R

= 0 . D'où a_e= Ω∧



Ω^∧O' M



⁼⁻Ω²HM. f_c La force d'inertie d'entraînement est centrifuge: f_e=mΩ²HM.

La force d'inertie complémentaire est aussi dans le plan Ω perpendiculaire à l'axe de rotation et passant par M, orientée vers

la droite d'un observateur Ω regardant dans le sens de v_r.

H

O' z

M