Vecteurs cinématiques Les vecteurs#»(θ),#»
θ(θ)sontmobilesdansR: leur direction dépend de l’angleθrepérant le point . Ils vérifient :
Ï #»(θ)
Les vecteurs cinématiques du point s’y expriment selon : Ï # »
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Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques
Vecteurs cinématiques
Ï dériver par rapport àθrevient à tourner deπ/ autour de #». Ï dorénavant, on omettra(θ)pour écrire #».
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1. Espace et temps d’un observateur 2. Description du mouvement
3. Limites de la mécanique newtonienne 4. Systèmes de coordonnées
4.1 Coordonnées cartésiennes 4.2 Coordonnées cylindriques 4.3 Coordonnées sphériques
5. Variations élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
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Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques
Construction
utiles pour les mouvements s’effectuant autour d’unpointfixe
repérage analogue aux coordonnées géographiques
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Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques
Construction
Définition (Coordonnées sphériques)
La position d’un point dans un référentielRest repérée en coordonnées sphériques d’origine fixe dansRde repère cartésien ( ,#»,#»,#»):
Ï par sadistance = Ê à l’origine,
Ï par l’angleθ, nommé colatitude ou angle zénithal, défini par θ=(#»,#»). L’angleθest compris dans l’intervalle[ ,π].
Ï l’angleϕ, nommé longitude ou angle azimutal, défini à l’aide du projeté orthogonal de dans le plan parϕ=(#»,# »
)et ϕ∈[ , π]. L’angleϕest orienté, dans le plan , par#».
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Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques
Illustration
Lien avec les cartésiennes Les coordonnées
sphériques et cartésiennes sont reliées par :
= sinθcosϕ
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Illustration
Lien avec les cartésiennes Les coordonnées
sphériques et cartésiennes sont reliées par :
= sinθcosϕ
= sinθsinϕ
= cosθ
= q
+ + tanϕ=
θ=arccos³ ´
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Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques
Repère mobile
Définition (Base sphérique)
On définit labase sphérique( ,#»(θ,ϕ),#»
θ(θ,ϕ),#»
ϕ(θ,ϕ))orthonormée directe liée au point ( ,θ,ϕ). On a # »
= #».
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Repère mobile
Déplacements élémentaires
Ï #»dirige les déplacements quandseul varie,iele long durayon passant par( ) (défini par#»=# ». )
Ï #»θdirige les déplacements quandseulθvarie,iele long duméridien passant par ( défini par#»θ=#»ϕ∧#»)
Ï #»ϕdirige les déplacements quandseulϕvarie,iele long ducercle de latitude constante passant par (défini par#»ϕ=#»∧# ». )
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Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques
Repère mobile
Déplacements élémentaires
Ï #»dirige les déplacements quandseul varie,iele long durayon passant par( ) (défini par#»=# ». )
Ï #»θdirige les déplacements quandseulθvarie,iele long duméridien passant par ( défini par#»θ=#»ϕ∧#»)
Ï #»ϕdirige les déplacements quandseulϕvarie,iele long ducercle de latitude constante passant par (défini par#»ϕ=#»∧# ». )
Ï #»
θdirigé du Nord vers le Sud à la surface de la Terre Ï #»
ϕdirigé d’Ouest en Est à la surface de la Terre
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Repère mobile
Déplacements élémentaires
Ï #»dirige les déplacements quandseul varie,iele long durayon passant par( ) (défini par#»=# ». )
Ï #»θdirige les déplacements quandseulθvarie,iele long duméridien passant par ( défini par#»θ=#»ϕ∧#»)
Ï #»ϕdirige les déplacements quandseulϕvarie,iele long ducercle de latitude constante passant par (défini par#»ϕ=#»∧# ». )
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Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques
Repère mobile
Déplacements élémentaires
Ï #»dirige les déplacements quandseul varie,iele long durayon passant par( ) (défini par#»=# ». )
Ï #»θdirige les déplacements quandseulθvarie,iele long duméridien passant par ( défini par#»θ=#»ϕ∧#»)
Ï #»ϕdirige les déplacements quandseulϕvarie,iele long ducercle de latitude constante passant par (défini par#»ϕ=#»∧# ». )
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Repère mobile
Déplacements élémentaires
Ï #»dirige les déplacements quandseul varie,iele long durayon passant par( ) (défini par#»=# ». )
Ï #»θdirige les déplacements quandseulθvarie,iele long duméridien passant par ( défini par#»θ=#»ϕ∧#»)
Ï #»ϕdirige les déplacements quandseulϕvarie,iele long ducercle de latitude constante passant par (défini par#»ϕ=#»∧# ». )
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Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques
Déplacement élémentaire
De nouveau, à partir du déplacement élémentaire :
# »
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Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques
Vecteurs cinématiques
Vecteurs cinématiques
Les vecteurs cinématiques du point s’y expriment selon : Ï # »
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Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques
Vecteurs cinématiques
Vecteurs cinématiques
Les vecteurs cinématiques du point s’y expriment selon : Ï # »
= #»
Ï #»=˙#»+ θ˙#»
θ+ sin(θ) ˙ϕ#»
ϕ
Ï on n’aura pas besoin de l’accélération car les mouvements autour d’un point qu’on utilisera seront plans : on utilisera les coordonnées polaires Ï expression complexe :
# »R( )=
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1. Espace et temps d’un observateur 2. Description du mouvement
3. Limites de la mécanique newtonienne 4. Systèmes de coordonnées
5. Variations élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
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Cas général
Déplacements élémentaires
1. Espace et temps d’un observateur 2. Description du mouvement
3. Limites de la mécanique newtonienne 4. Systèmes de coordonnées
5. Variations élémentaires 5.1 Cas général
5.2 Déplacements élémentaires
6. Exemples fondamentaux de mouvements 7. Repère de Frenet
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Cas général
Déplacements élémentaires