Interaction newtonienne

INTERACTION NEWTONIENNE I)Loi d ' interaction.

L'intensité de la force d'interaction entre les deux points matériels est inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare: f_B= − k

r²e_r.

f_B

f_B

e_r e_r

k0 force répulsive k0 force attractive

Interaction de gravitation : f_B= −Gm_Am_B

r² e_r ; k=G m_Am_B0 ⇒ attraction ; G=6,6710⁻¹¹ m³s⁻² kg⁻¹. Interaction électrostatique : f_B= 1

4π ε0

q_Aq_B

r² e_r ; k= −q_Aq_B 4π ε0

; 1

4π ε0

=9 10⁹ m F⁻¹. Si q_Aq_B0 ⇒ répulsion ; si q_Aq_B0 ⇒ attraction.

II) Energie potentielle .

f_B=−grad E_p ; f_B= −d E_p

dr ⇒ E_p= − k

rconstante.

On choisit E_p0 quand r  ∞, d' où constante=0 ; E_p=− k r . Pour l'interaction de gravitation, on a toujours E_p0.

III) Trajectoire de la particule réduite . 1. Nature.

Le mouvement a lieu dans un plan fixe, perpendiculaire à L^*, et satisfait à la loi des aires: r²θ˙ =C.

La particule réduite de masse µ subit la force f =− k

r²e_r passant par le centre de masse G, fixe dans (R*).

L'accélération du mouvement est centrale (radiale) telle que f =µa avec a= −C²u²u ''ue_r où u=1 r. −k u²= −µC²u''u ; u ''u= k

µC².

La solution générale de cette équation est de la forme: u=A cosθ−θ₀ k µ C². r=

µC² k 1A µC

2

k cosθ−θ₀

: équation d'une conique dont l'un des foyers est G.

u '=−A sinθ−θ0; u est extrêmal sur l'axe focal défini par θ=θ0 ou θ=θ0±π. En prenant l'axe focal comme axe polaire, l'équation devient: u= ±A cosθ k

µC². D' où A=±u₀− k

µ C² avec u=u₀ quand la particule rencontre l'axe focal.

En orientant l'axe polaire pour que A > 0 on a:

•si k0: r=

µC² k 1A µC²

k cosθ

= p

1ecosθ avec p=µC²

k 0 ; e=pA0.

•si k0: r=

µC²

∣k∣ AµC²

∣k∣ ^cosθ−1

= p

e cosθ−1 avec p=µC²

∣k∣ ^{0 ; e=pA0.}

A

B A

B r

F

N M

H x

(D) θ

r F

M N

H x

(D) θ

r

A

B

B'

N H x P

O G

G'

c

(D)

b a

G

M N

H (D) P x

r θ

G P O A G' N

b

x a θ_∞

2 . Discussion selon la valeur de l ' excentricité.

a. Définition d ' une conique .

Ensemble des points tels que dM , F

dM ,D=e=excentricité0.

F: foyer ; (D): directrice ; Fx: axe focal ; FH= p

e; p: paramètre.

e1: M et F sont du même côté par rapport à (D).

MN= p

e−r cosθ ; MF

MN =e= r

p

e−r cosθ

; r= p

1ecosθ e1: M peut être de l'autre côté de (D).

MN=r cosθ−p e ; MF

MN =e= r

r cosθ−p e

; r= p

e cosθ−1 b. Interaction attractive : k0 .

La trajectoire a pour équation r= p

1e cosθ avec p= µC²

k et e=pA.

•0e 1 : la trajectoire est une ellipse.

e1 ⇒ r est toujours défini: la particule réduite reste à distance finie du centre de masse G, foyer de l'ellipse, il s'agit d' états liés. θ=0, r est minimal péricentre P: r_P=GP= p

1e. θ=π, r est maximal apocentre A: r_A=GA= p

1−e. Demi−grand axe: a=OP=OA= 1

2r_Ar_P = p 1−e². Distance focale : c=OG=OG '=a−r_P=r_A−a= pe

1−e² =a e.

Demi−petit axe : b=OB=OB' ; en B ou B', r sinθest maximal ; dr sinθ dθ =0.

p1ecosθcosθe sin²θ

1ecosθ² =0 ⇒ cosθ= −e ; GB= p

1−e²=a ; b²=a²−c². Ou bien BG

BN =e avec BN=OGGH=cp

e ; BG=cep= p e²

1−e²p=a.

b²=a²1−e² = p²

1−e²=p a=r_Ar_P.

Remarque : si e0, r  p=constante ; la trajectoire est un cercle de rayon p.



Montrer que pour tout point M de l'ellipse: MG + MG' = cste = 2a.

•e=1 : la trajectoire est une parabole. Tout point M est équidistant de G et de (D).

Quand θπ, r ∞: la particule réduite ne reste pas à distance finie du centre de masse, il s'agit d'états de diffusion.

r est minimal en P θ=0, r_P= p

2. P est le sommet de la parabole.

•e1 : la trajectoire est une hyperbole.

r n'est pas défini si 1ecosθ=0 ; cosθ= −1

e ; θ= ±θ∞=±arc cos



^−1e



^.

Si −θ∞θθ∞ alors r0 convient.

Si θ∞θ2π−θ∞ alors r0 ne convient pas parce que l'interaction serait répulsive et non attractive:

∣r∣= − p

1ecosθ = p

e cosθπ−1.

Le péricentre θ=0 est le sommet de la branche d'hyperbole p

Le sommet A de l'autre branche d'hyberbole (non parcourue) correspond à θ=π:

∣

^rA

∣

⁼_e−1^{p ⇒ a =OP=OA=1}₂

 ∣

^rA

∣

^−rP



^{= p}

e²−1. Distance focale : c=OG=OG '=ar_P=

∣

^rA

∣

^{−a= p e}

e²−1=a e.

Distance aux asymptotes: b=GH=OG sinGOH=csinθ∞=c



^1−e12=

^

^c2−a2.

b²=a²e²−1 = p²

e²−1=p a=r_P

∣

^rA

∣

^.



Montrer que pour tout point M de l'hyperbole: MG '−MG=cste=2a.

c .Interaction répulsive : k 0. f

r= p

ecosθ−1 avec p= µC²

∣k∣ ^.

La particule réduite parcourt la branche d'hyperbole dont la concavité est tournée vers l'autre foyer G'.

3. Discussion selon la valeur de l ' énergie totale E^*. E^*=E^*_cE_p=1

2µ v²−k r =1

2µ



^˙r²r²θ˙²



^−k

r avec r²θ˙ =C.

E^*=1

2µr˙²1 2

µC² r² −k

r =1

2µ˙r²E_{p eff}. E_peff =1

2 µ C²

r² −k

r est l'énergie potentielle effective et ne dépend que de r.

Or µr˙²0, donc E^*−E_{p eff}0. Dans tous les cas, les états possibles seront donnés par E^*E_{p eff}. a . Interaction attractive : k0.

E_peff=0 pour r= 1 2

µC² k = p

2 ; d E_{p eff}

dr =0 pour r=p.

E_peffp = − k

2 p ; E_{p eff}0  ∞ ; E_peff∞ 0.

•E^*0 : r∈ [r_P, r_A]; r reste finiétats liés.

La trajectoire est une courbe fermée, une ellipse en général ou un cercle si r_P=r_A soit E^*= − k

2 p.

r_P et r_Asont solutions de E^*=E_peff ⇒ E^*r²k r−1

2µC²=0.

r_Pr_A= −k

E^*=2a ; E^*= − k

2a ; E^* détermine le grand axe.

D 'autre part L^*=µC=



^{µ k p: L*} détermine le paramètre p.

•E^*=0 : r∈ [r_P,∞] avec r_P= p 2.

La trajectoire est une parabole; E_c^*∞  0.

•E^*0 : r∈ [r_P,∞] avec r_P p 2.

La trajectoire est une branche d'hyperbole; E_c^*∞ =E^*0.

b . Interaction répulsive: k0.

E_{p eff}= 1 2

µC² r² ∣k∣

r 0, monotone, décroissante.

Donc E^*0. La trajectoire est une branche d'hyperbole.

G O A G'

N b

x M

r E_{p eff}

0 p

2 p

r E_{p eff}

0 k 2p

p

2 p

r E_{p eff}

0 k 2p

p2 p

r E_{p eff}

0 k 2p

p

2 p

r E_{p eff}

0 k 2p

IV) Mouvement elliptique . 1.Période de révolution .

La vitesse aréolaire est constante dS dt = C

2 =surface de l'ellipse

période de révolution =πa b T . D 'où T= 2πa b

C avec b=



^{a p et p= µC}_k ^{2 ⇒ T=2}π



^{µak3 ou T2= 4πk2µa3.}

Remarque : dans le cas du mouvement circulaire on retrouve directement la relation à partir de la RFD.

Ici p=r=a ; k

a²=µω²a ⇒ ω²= k

µa³= 4π²

T² ; T²= 4π²µ k a³. 2. Mouvement des planètes.

Le système solaire comprend neuf planètes principales toutes de masse faible par rapport à celle du Soleil M_S≈2 10³⁰ kg, la plus massive étant Jupiter de masse égale à M_S

1047,34.

En 1^ère approximation, on peut négliger l'interaction entre planètes et ne tenir compte que de l'interaction entre la planète et le Soleil.

Le référentiel propre du système planète-Soleil est pratiquement confondu avec le référentiel de Képler dont l'origine est le centre de masse du Soleil.

Pour des astres sphériques, formés de couches concentriques homogènes, on démontre à partir du théorème de Gauss qu'à l'extérieur de l'astre son action est la même que celle d'un point matériel ayant la masse totale de l'astre et placé au centre de masse de l'astre.

Dans ces conditions, le centre de masse de la planète est soumis à la force: f =−GM_Sm r² e_r.

Son mouvement se confond donc avec celui de la particule réduite du système isolé planète-Soleil en interaction newtonienne , d 'où les 3 lois de Képler 1 609 et 1619 pour la 3^ème:

1. Les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil est l'un des foyers.

2. Le rayon-vecteur Soleil-planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

3. Le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du grand axe de l'ellipse.

____________________________________________________________________________________________



Pour la comète de Halley: T=76,0 ans ; r_P=0,96 UA avec 1 UA=a_Terre=149,6 10⁶km.

Calculer l'excentricité et le demi-grand axe de l'orbite de la comète.

Calculer sa vitesse au périhélie puis à l'aphélie, dans le référentiel de Copernic.

3. Mouvement des satellites artificiels de la Terre .

La masse d'un satellite étant toujours très faible par rapport à celle de la Terre ( M_T=6 10²⁴kg ), le centre de masse du système est confondu avec le centre de masse C de la Terre et le référentiel propre confondu avec le référentiel géocentrique.

En admettant que la Terre est sphérique, formée de couches concentriques homogènes (la masse volumique ne dépend que de r), le champ de gravitation créé par la Terre est radial, identique à celui créé par un point matériel de masse M_T placé en C.

La force attractive, centrale, subie par le satellite est donnée par la loi de Newton: f = −GM_Sm

r² e_r=−k r²e_r. Si les autres forces sont négligeables, c'est-à-dire si la trajectoire est assez élevée pour qu'il n'y ait pas de frottement sur l'atmosphère, mais pas trop élevée pour que les attractions de la Lune et du Soleil restent faibles devant celle de la Terre, le problème est le même que le précédent.

D' après la 2^ème relation de Binet , la trajectoire uθ est solution de l'équation différentielle:

u ''u=− fu

m C²u²= k m C²= 1

p. D'où u=A cosθ−θ₀1

p et u'= −A sinθ−θ₀.

La trajectoire est donc une conique dont le centre de masse de la Terre est un foyer.

Exemple : lancement à la distance r₀ avec une vitesse v₀ perpendiculaire à r₀. Soit Cx l 'axe polaire, colinéaire àr₀, et de même sens :

u₀= 1

r₀=A cosθ01

p , u '₀=Asinθ0= − ˙r₀u₀² θ˙0

=0 car  ˙r₀=0.

En choisissant θ0=0, l 'équation devient u=A cosθ1

p. v₀

soit r= p

1pA cosθ et r₀= p

1p A d'où p A= p r₀−1.

Or p= mC²

k et C=v₀r₀ ⇒ p= m v₀²r₀²

k ; pA= m v₀²r₀

k −1.

p A= 2 E_c0

∣

^Ep0

∣

⁻¹⁼

E_c0E

∣

^Ep0

∣

^{avec E=Ec0Ep0.}

a. pA0 : E −E_c00.

Etat lié : la trajectoire est une ellipse d'excentricité e=p∣A∣=1−2E_c0

∣

^Ep0

∣

^.

L 'équation de l 'ellipse r= p

1−ecosθ montre que C est le foyer le plus éloigné du point de départ (apogée).

Si v₀≈0, e≈1, l'ellipse tend vers une parabole pouvant rencontrer la Terre.

b . pA=0 : E= −E_c00.

C'est aussi un état lié avec A=0 donc r=p=r₀.

L 'orbite est uncercle parcouru avec une vitesse constante v₁=



^mrk0=



^{GMr0T 1ère}vitesse cosmique.

c. pA0: E −E_c0.

La conique a pour excentricité e=pA et pour équation r= p 1e cosθ.

•Si e1, soit E_c0

∣

^Ep0

∣

^{alors E}0: c'est un état lié donc l'orbite est une ellipse dont C est le foyer le plus proche du point de lancement (périgée).

•Si e=1, soit E_c0=

∣

^Ep0

∣

^{alors E=}0: c'est un état de diffusion. L'orbite est une parabolede foyer C.

La vitesse initiale vaut: v₂=



^{m r2 k0=}



^{2G Mr0 T=}

^

^{2 v1 2ème} vitesse cosmique. •Si e1, soit E_c0

∣

^Ep0

∣

^{alors E}0: c'est aussi un état de diffusion.

L 'orbite est un arc d 'hyperbole dont la concavité est tournée vers C.

C r₀ x

V)Mouvement hyperbolique répulsif .

f

v_∞

Dans (R*), la particule réduite de masse µ arrive avec la vitesse v_∞= −v_∞e_r sur la droite distante de b du centre de masse G (b = paramètre d'impact).

La particule réduite est soumise à la force f = −k

r²e_r avec k= −q_Aq_B 4π ε₀0.

D 'après la 2^ème relation de Binet :f =µa= −µC²u²u' 'ue_r avec f = −k u²e_r. D 'où u ''u= k

µC² dont la solution est de la forme u =A cosθ−θ₀ k

µC² ; u '= −Asinθ−θ₀.

L'axe focal GX correspond à r minimal (u maximal) donc à θ=θ0.

La constante des aires C est donnée par L^*=µC avec L^*=GM∧µv= GH∧µv_∞=µ b v_∞e_z ; C=b v_∞. Si θ0, r  ∞, u0 ⇒ A cosθ₀ k

µC²=0 ; u ' u '∞=A sinθ₀. Or d'après la 1^èrerelation de Binet v=C−u '_θ e_ru e_θ.

v  −v_∞e_r= −C u '_∞ e_r ⇒ C u '_∞=v_∞ ou u '_∞= 1 b.

Les deux constantes A et θ₀ sont déterminées par les deux relations:

Asinθ₀= 1

b et Acosθ₀= − k

µC²= ∣k∣

µ b²v_∞² d 'où A= 1

b



^{1µbk22v∞4 et tanθ0= − µbk v∞2.}

La 2^èmeasymptote est symétrique de la 1^èrepar rapport à OX.

La déviation ϕ subie par la particule réduite est telle que ϕ=π−2θ0. tanϕ

2 =tan



^π2−θ0



⁼tan¹θ₀ ; tanϕ

2 = − k µ b v_∞². Si b0, tanϕ

2  ∞,ϕπ: la particule rebrousse chemin après s'être approchée de G jusqu'à la distance r_mintelle que E^*=1

2µv_∞²0=0− k

r_min ⇒ r_min =− 2 k µv_∞² . Caractéristiques de l ' hyperbole décrite :

c=GO= b sinθ0

; a=OH=OS= b tanθ0

=− k µ v_∞² . e= c

a = 1

cosθ₀ =



^{1µ2bk22v∞4 ; p= ba2 =−µ2bk2v∞2 .}

H

M

x b

X

G

O ϕ

θ₀ S