Interactions de paires et spectre de phonons dans les métaux

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Submitted on 1 Jan 1967

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Interactions de paires et spectre de phonons dans les métaux

J.L. Deplante

To cite this version:

J.L. Deplante. Interactions de paires et spectre de phonons dans les métaux. Journal de Physique,

1967, 28 (5-6), pp.465-471. �10.1051/jphys:01967002805-6046500�. �jpa-00206541�

INTERACTIONS

DE PAIRES ET SPECTRE DE

PHONONS DANS

LES

MÉTAUX

Par

J.

^{L. DEPLANTE}

(1),

Laboratoire de Physique des Solides

(2),

^{Faculté des} Sciences, 91-Orsay.

Résumé. - Le modèle des interactions de

paires

^est

appliqué

^au calcul des courbes de

dispersion

^de

phonons 03C9(q)

dans les métaux

cubiques.

^{On montre en}

particulier

que ^la forme

asymptotique

^{de cette} interaction rend

compte

du caractère oscillant et décroissant en

1/n2

des coefficients de Fourier _~n

de 03C92(q)

^{dans les} directions de haute

symétrie.

^{Ce fait est} étroitement lié à l’effet Kohn et

caractéristique

^{de l’état}

métallique.

L’ordre de

grandeur

^{et l’allure}

générale

des coefficients calculés sont en bon accord avec les valeurs

expérimentales.

Abstract. ²⁰¹⁴ The

pair

interaction model is

applied

^to the calculation of

phonon dispersion

curves

03C9(q)

ⁱⁿ cubic metals. It is shown that the

asymptotic

^{form of the} interaction exhibits oscillations and a decrease

in 1/n2 for

Fourier coefficients _~n of

03C92(q)

ⁱⁿ

high

symmetry directions.

This fact is related to the Kohn effect and characteristic of the metallic state. The order of

magnitude

^{and the}

general

behaviour of the calculated coefficients are in

good agreement

^with

experimental

^values.

Introduction. ^- Les courbes de

dispersion

^de

pho-

nons sont

susceptibles

de fournir des

renseignements

int6ressants sur les forces

interatomiques.

^{Dans un}

cristal

cubique,

^les

phonons qui

^se

propagent

^{dans des} directions de

sym6trie correspondent

^a des vibrations de

plans

entiers d’atomes

perpendiculaires

^{a la direc-}

tion de

propagation.

^Le

probl6me

^{est alors}

equivalent

a celui des vibrations d’une chaine lin6aire

[1],

^{et dans}

le cas d’un atome par maille la

frequence

^des

phonons

en fonction du vecteur d’onde est donnee pour

chaque

direction de

propagation

^et pour

chaque

^{mode de}

polarisation

par ^une

expression

de la forme

ou M est la masse d’un atome, ^w

et q

^la

frequence

^et

le vecteur d’onde du

phonon

et d la distance

s6parant

deux

plans

^d’atomes

perpendiculaires

^a la direction de

propagation.

^Les coefficients _cpn,

appel6s

constantes de force

interplanaire, repr6sentent

^{la force}

agissant

^sur

un atome

lorsque

^{les deux}

plans

^{situ6s a} la distance nd

se trouvent

deplaces

de 1’unite de

longueur

^{dans la}

direction de

polarisation.

A

partir

des coefficients _cpn determines

exp6rimen- talement,

^{il est}

possible

^{de remonter aux} forces inter-

atomiques

^a condition que celles-ci aient ^une

port6e

assez courte, c’est-a-dire si les _cpn sont en nombre restreint.

Or,

dans les courbes r6centes de

dispersion

de

phonons

^{dans les m6taux}

[2], [3], [4],

^la

precision

est assez

grande

pour

qu’on

doive determiner les _cpn

jusqu’à n

^{= 8 au} moins afin de

reproduire

^{les don-}

(1)

Cet article recouvre en

partie

^le travail d’une these de Doctorat d’Etat 6s sciences

physiques qui

^{sera soutenue}

a la Faculté des Sciences

d’Orsay

^{en 1967.}

(2)

Laboratoire associe au C.N.R.S.

n6es

expérimentales

^a l’aide d’une formule du

type (1).

Ceci montre bien _que, dans un

metal,

les forces

interatomiques

^{sont a}

longue port6e.

^De

plus,

^les q>n sont tantot

positifs,

^tantot

n6gatifs

^et d6croissent _{a peu}

pres

^comme

Iln2.

Le but de cet article est de montrer, ^a la lumiere des theories r6centes des m6taux normaux

[5], [6], [7],

que le ^caract6re oscillant et d6croissant en

1 /n2

^des

coefficients _?n est

typique

d’un metal et 6troitement

lie,

ainsi que 1’a annonc6

K0153nig [8],

^a 1’effet Kohn

[9], [10]

d6celable dans 1’Aluminium

[11].

La

premiere partie

^{de cet article est consacrée a un}

bref

rappel

^de

l’approximation

des interactions de

paires.

^Dans la seconde

partie,

^on

applique

^{ce modele}

au calcul des constantes de force

interplanaire

9,,.

On discute ensuite les relations ^entre ces cpn ^et 1’effet Kohn. La derni6re

partie

^{est une}

application

^num6-

rique

^{au cas de}

quelques

^m6taux

simples.

I.

Approximation

^des interactions de

paires.

^-

Les travaux r6cents sur les m6taux normaux ont

montre _que

1’energie

totale du cristal

pouvait

^s’écrire

sous la forme

et

qu’on pouvait negliger

^{les termes} suivants dans le

d6veloppement (2).

^{Les deux}

premiers

^{termes ne}

dependent

pas de la

position

des atomes, ils ^ne

d6pen-

dent que de leur ^{nature et} de la densite

6lectronique

moyenne.

W(Rii) repr6sente

^une interaction effective

entre

paires

^d’atomes.

L’expression (2)

^{est obtenue}

par des m6thodes d’ondes

planes orthogonalisées

^{et de}

pseudo-potentiels.

^Cette

approximation

^{est valable au}

second ordre en

perturbation [12]. L’expression (2)

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01967002805-6046500

466

ne tient pas

compte

^des

energies d’6change

^{et de}

correlation. Celles-ci

dependent

essentiellement de la densite

6lectronique,

^{tout comme les deux}

premiers

termes de

(2)

^dans

lesquels

^on

pourrait

^{faire entrer}

les

energies d’6change,

^en

premiere approximation.

Dans une variation de structure a volume constant, seuls les

W(Rij) ^peuvent

varier. La m6thode est donc utile _pour 1’etude des variations de structure sans

changement

de volume. Elle ^a ete utilis6e avec succ6s pour 1’etude des macles et des fautes

d’empilement [13].

Dans le cas

present,

elle doit

particulierement

^bien

convenir a 1’etude des modes transverses. Pour les modes

longitudinaux,

il existe

certainement,

^en

plus

des termes que ^nous

calculerons,

^{des effets}

supple-

mentaires dus a la

dependance

^{en volume des}

premiers

termes de

(2).

L’allure de la fonction d’interaction

W(R)

^{est assez}

bien connue pour ^un certain nombre de m6taux

[14].

Un de ses caract6res les

plus importants

^{est sa forme}

asymptotique

ou

kF

^{est le vecteur} d’onde de Fermi.

L’emploi

^de

cette forme

asymptotique qui

semble convenir a

partir

des seconds voisins a pu rendre

compte

^{d’un bon} nombre de

propri6t6s

des m6taux et

alliages.

Le coefficient a

depend

^{du metal}

considéré,

^en

particulier

^{de sa} valence. 11 a ete determine numerl-

quement

pour

plusieurs

^m6taux

[14].

^On

peut

^en donner une forme

explicite

dans le mod6le d’ions

ponctuels

^de

charge

^{Z. Dans ce cas}

ou

E(K)

^{est la constante}

di6lectrique statique

^de

Hartree; e(K) possede

^une

singularite logarithmique pour K

⁼

2kF,

^ce

qui

donne naissance a la forme

asymptotique (3).

^{Dans ce}

mod6le,

le coefficient oc est

6gal

^a

2Z2/1tE2(2kF).

Les coefficients oc calcul6s de maniere self-consistante a l’aide d’ondes

planes

^ortho-

gonalis6es

^{sont en}

general

^{du meme ordre de}

grandeur,

sauf dans le cas du sodium ou oc est tres faible. C’est

pourquoi

la m6thode ne

peut

^etre

appliqu6e

^{au cas}

du sodium.

II. Constantes de force

interplanaire.

^{- Dans}

1’approximation adiabatique,

^on

peut

^écrire

l’énergie potentielle

^{sous la forme}

(2)

^en

remplaqant Ri

par ri ⁼

Ri ⁺

ui, ^ou ui ^{est un}

petit deplacement.

^Cette

6nergie

^est

suppos6e

^minimum

lorsque

^{les ions oc-}

cupent

les sites du reseau

parfait. L’approximation harmonique

consiste ensuite a

d6velopper

^cette

6nergie

au second ordre en ui ^{et a}

negliger

^{les termes d’ordre}

superieur

En introduisant la transform6e de Fourier

w(K)

de

W(R)

Dans

(4),

^{on a}

pose

Ë1

^est

1’energie

^{du metal au} repos.

L’énergie cin6tique

^est

Les

equations

^{du mouvement se} r6solvent facilement

et donnent

Cette

equation

^se resout de la maniere habituelle

en

posant

ou s est un vecteur unitaire dans la direction de

polarisation

ws etant la

frequence

^{associ6e a la}

polarisation

^s.

Dans un cristal a un atome par

maille, chaque

^site

est un centre de

sym6trie. (6) peut

alors s’6crire

10 CALCUL DES cpn. ^- On suppose ^un cristal

cubique

^{a un atome} par maille. Si la direction de

propagation

^{de vecteur}

unitaire g

⁼

q/q

^{est une}

direction de

sym6trie,

^on

peut

^dans

(7)

effectuer la sommation sur des

plans perpendiculaires à ; ( fig. 1).

FIG. 1.

Posons

n est le nombre de

plans coup6s

par

Ri,

^{d la distance}

entre deux de ces

plans,

p ^{un vecteur} du reseau

plan

et

bn

^{un vecteur du}

plan ayant

pour

origine

^l’extré-

mit6 de

ndg

^{et pour extremite un site}

quelconque

^du

reseau

plan

^{choisi comme}

origine

^{des vecteurs} p.

Posons

6galement K = kg + k , (kT.; == 0).

L’expression (7)

s’6crit alors sous la forme :

Soit X un vecteur du reseau

r6ciproque

^{du reseau}

plan.

^{On a}

ou Q est l’aire de la maille 616mentaire du reseau

plan

direct. En

regroupant

^les

plans

^{situ6s aux distances nd}

et - nd _pour

lesquels

^on

peut toujours

choisir les

vecteurs b de telle sorte que

b-n

^{= -}

bn,

^{on obtient}

finalement une

expression

^du

type (1)

^en

posant :

L’expression (8)

^{est valable}

quel

que soit le

type

de la fonction d’interaction

W(R).

^{Celle-ci est d6ter-}

minee en

pratique

par des m6thodes de

perturbation

au second ordre : on

peut,

^en

premiere approximation,

supposer la surface de Fermi

sph6rique.

^Les

energies

d’interaction

W(R)

^{ont alors la}

sym6trie sph6rique.

On supposera donc que

W(R)

^{et sa} transform6e de Fourier

w(K) pr6sentent

^la

sym6trie sph6rique.

L’expression (8) prend

deux formes distinctes _pour les modes transverses et les modes

longitudinaux.

a)

^Modes transverses. ^- Dans le cas des modes

transverses, g. r,

^{= 0. En} introduisant

on obtient _pour

cpn 1’expression

^suivante

I1 faut remarquer que dans

1’expression (10)

^le

terme X ⁼ 0 ne donne aucune contribution. Ce fait

peut s’interpr6ter simplement.

^{En effet}

et y,, considere comme fonction de

b.

^{a la}

periodicite

du reseau

plan.

cpn

(0) repr6sente

alors la valeur moyenne de _cpn sur tous les vecteurs

b.

de la maille 616mentaire du reseau

plan.

Cette force _moyenne est

6videmment nulle _pour une translation d’ensemble des 2

plans

^a la distance nd

parall6lement

^a

eux-memes,

ce

qui

^{est le cas des ondes} transverses.

b)

^Modes

longitudinaux.

^{- En}

principe,

^{le modèle}

s’applique

^{moins bien au cas des ondes}

longitudinales

car on

n6zliae

^la

dependance

^en volume des

premiers

termes du

d6veloppement (2)

^de

1’energie potentielle

du cristal. 11 est

cependant

int6ressant de connaitre la contribution des termes de

paires

^{aux constantes}

de force _CPn’ C’est certainement leur contribution

qui

sera

importante

pour les

grandes

valeurs de n. Dans le

cas des modes

longitudinaux

À. s === 0

et g. r, = 1

Pour les modes

longitudinaux,

^{le terme X = 0 donne}

une contribution. Il

n’y

^{a en effet aucune} raison pour que la force moyenne cr66e ^{sur un atome} par les

plans

distants de nd soit nulle

lorsque

^ces

plans

^sont

deplaces perpendiculairement.

20 PROPRIETES

DE (X, z) (3).

^{- La} transform6e de Fourier

w(K)

de l’interaction de

paires W(R) possede

une

singularite logarithmique

^en

due a 1’existence d’une surface de Fermi. Cette

singu-

larit6 se retrouve dans w

(,B/k2

⁺

X2)

^{a condition}

que À

soit inferieur a

2kF.

^{Ceci est tres}

important

pour le

comportement asymptotique

^de

§ (X, z) ;

^{en effet}

si À>2kF:

w

(-B/k2

+

X2 )

^n’a

plus

^de

singularite

^{et sa transfor-}

mée de Fourier a une

dimension t.J;(À, z)

^{aura une}

d6croissance en z du

type exponentiel ;

(3)

La discussion des

propri6t6s de §(x, z)

^{est iden-}

tique

^{a celle} faite dans Fetude des

energies

^{de faute}

d’empilement [13].

^{Dans les deux cas, c’est}

1’energie

d’interaction entre

plans qui joue

^{un role}

important.

468

si X

2kF :

la

singularité

^{existe et entraine une} d6croissance

plus

^{lente et de}

type

^oscillant

pour u(À, z).

^{Pour z}

grand

Dans cette

expression,

Dans le calcul des y. pour les

grandes

^valeurs

de n,

on pourra ainsi

negliger

^{les termes} pour

lesquels X

^est

supérieur

^a

2k..

^Les constantes de force

interplanaire

sont

données,

pour n

grand,

par

On voit bien sur les

expressions (13)

^et

(14)

^les

differences entre

CPJ

^et

cpn.

L’oscillation

correspondant

a X ⁼

0,

c’est-a-dire avec une

longueur

^d’onde

n/kF,

n’existe _pas pour les cpn transverses, contrairement ^à

ce que

Koenig

^avait

suppose [8].

En

pratique,

^{les termes}

correspondant

a X >

2kF qui

d6croissent

exponentiellement

^n’ont

d’importance

que pour ^{n =} 1. Si la forme

asymptotique (3) repre-

sente bien l’interaction de

paires

^a

partir

des seconds

voisins,

1’essentiel des constantes de force

interplanaire

est

donne,

pour n >

2,

par les

expressions (13)

^et

(14).

Les

expressions (13)

^et

(14)

^{montrent bien le}

caract6re oscillant ^et la d6croissance en

1/n2

^des

constantes de force

interplanaire.

^{C’est une cons6-}

quence directe de la ^nature oscillante et de la d6crois-

sance en

1/R3

de la fonction d’interaction de

pai-

res

W(R).

^Ce

comportement

^{est donc lie a} 1’existence d’une surface de Fermi et doit etre

typique

d’un metal.

Nous allons voir dans le

paragraphe

suivant que l’anomalie de Kohn

[9], [10], qui

^{a la meme}

origine,

est naturellement mise en evidence a

partir

^des

expressions (13)

^et

(14)

des CPn’

30 ANOMALIE DE KOHN. - Les relations de

disper-

sion des

phonons

^s’6crivent

Pour n assez

grand, (13)

^et

(14)

^montrent que cpn ^est

une somme de termes en

1/n2

^{sin n8 cos}

np

^{si l’on}

pose X. bn

⁼

np,

^ce

qui

^est

toujours possible.

^{MC02 est}

donc une fonction continue mais dont la

pente peut

devenir infinie. En

effet, to(dco/dQ) peut

^{etre mis sous} la forme d’une somme de series dont les termes sont

proportionnels

^à

Une telle s6rie

diverge

pour ^toute valeur de

Q,

^telle que

Cette

divergence

^est d’ailleurs du

type logarithmique

Cette

pente

infinie dans la courbe de

dispersion

n’est autre que l’anomalie de Kohn. Il ^est facile de voir que le ^«

signe

^» de l’anomalie

[10]

^{est donne}

simplement

par le

signe +

^{devant 6.}

L’expression (15)

^est strictement

6quivalente

^{a la}

formule habituelle

donnant la

position

des anomalies

(K :

^{vecteur du}

reseau

reciproque tridimensionnel). (15) fait jouer

^un

role

particulier

^aux

plans perpendiculaires

^{a la direc-}

tion de

propagation.

^Ainsi

kx

^est-il determine par l’intersection entre le

grand

cercle de Fermi et les limites de zones de Brillouin du reseau

plan [13].

L’intersection n’a _pas

toujours

^{lieu. Il}

peut

^arriver

que le

grand

cercle de Fermi ne coupe pas les limites de la

premiere

^zone de Brillouin du reseau

plan ;

^il

faut _pour cela que la valence ^Z soit assez faible. Dans

ce cas, les constantes y. transverses d6croissent expo- nentiellement et il ne

peut

exister d’effet Kohn dans la branche

correspondante.

Il est int6ressant de remarquer que la

presence

^de

singularites

^en

(q

^-

qo) Log I q - qo I

dans la courbe de

dispersion

^de

phonons

^est

caractéristique

^d’une

interaction de

paires

^{en cos}

kR/R3 (k

^{est une constante}

reli6e a

qo).

Une interaction en sin

kR/R3

^donnerait

un

changement

^de

pente.

S’il existe un facteur de

phase

p dans la fonction

d’interaction,

^soit

les deux

types

^de

singularites

^{doivent se}

presenter.

Enfin,

^{dans ce mod6le}

simple,

^les constantes de force

interplanaire

^ne

dependent

^{que de la structure et de}

la valence. Pour deux m6taux ayant ^{meme structure}

et meme

valence,

les valeurs

asymptotiques

^des cpn ^sont

proportionnelles.

^Deux tels m6taux auront des

spectres

de

phonons

de meme allure et en

particulier

^1’effet

Kohn se

produira

pour les memes valeurs de q.

III.

Application

^{aux mdtaux}

cubiques.

^{- Nous ne}

donnerons ici de résultats d6taill6s _que pour la ^struc-

ture

cubique

^{a faces centr6es et dans le cas Z = 3.}

DIRECTION

(100).

^{- La}

géométrie

des r6seaux

plans

est

particulierement simple puisqu’il s’agit

^{de carr6s.}

I1 est facile de voir que, pour Z ⁼⁼

3,

^il y ^a trois valeurs de X inferieures a

2kF (y compris

^{X =}

0).

Les coefficients

91

^et

cp

^s’6crivent

On a

pose cube)

(a

6tant le cote du

DIRECTION

(110).

^{- Dans ce cas,} les r6seaux

plans

sont

rectangulaires

^{et il faut}

distinguer chaque

^mode

de

polarisation. T1

^et

T2 correspondent respectivement

a une

polarisation

dans les directions

(110)

^et

(001).

On obtient

A a la meme valeur que

precedemment

^et

DIRECTION

(111).

^- Les r6seaux

plans perpendi-

culaires a cette direction sont

triangulaires

A a la meme valeur que

pr6c6demment

^et

RESULTATS

NUMERIQUES

DANS LE CAS DE L’ALUMI-

NIUM. ^- La structure et la valence consid6r6es

plus

haut

correspondent

^{au cas} de I’Aluminium. Dans ce

m6tal, I’approximation

des interactions de

paires

^doit

etre assez bonne. C’est un metal normal avec trois electrons de valence par ^{atome et} dont la surface de Fermi ne diffère pas

trop

^{du mod6le}

sph6rique.

^D’autre

part,

^on

dispose

de courbes de

dispersion

^mesur6es

avec une bonne

precision [4], [15].

^{Il est donc int6-}

ressant d’6tablir une

comparaison

^{d6taill6e entre nos}

calculs et les résultats

expérimentaux.

Le tableau I donne les valeurs des constantes de force

interplanaire exprim6es

^{en unites de 103}

dynes/cm.

^Le coefficient oc

donnant

l’amplitude

des oscillations de

1’energie

d’interaction de

paires (3)

^a ete calcule _par Pick

[14]

et est

6gal

^a

1,70

^unite

atomique.

Le mod6le utilise ne

comportant

^aucun

paramètre ajustable,

^{l’accord avec}

1’experience

^est dans 1’en- semble satisfaisant. L’ordre de

grandeur

^des cpn ^est

g6n6ralement

correct et meme pour n ⁼ 1 il n’est pas mauvais. Les

signes

sont souvent convenablement

prédits, particulierement

pour les branches trans- verses

auxquelles

le mod6le doit mieux

s’appliquer.

En

fait,

^{il 6tait} difficile de s’attendre a un meilleur r6sultat avec les

hypotheses

^tres

generales

^{et assez}

simplifi6es

^{dont on est}

parti.

En

particulier,

la surface de Fermi est

toujours suppos6e sph6rique.

^{Il est}

possible

d’am6liorer l’accord

avec

l’expérience

^en

prenant

le rayon de Fermi

kF

comme

paramètre.

Les deformations de la surface de Fermi peuvent ^etre

importantes

^{comme le fait} sup- poser l’observation par Stedman et Nilsson

[11]

^d’une

anomalie dans la direction

(100)

^a

Q = 0,83,

^alors

qu’on

l’attendrait a

Q = 0,756

^{avec une surface de}

Fermi

sph6rique.

TABLEAU I

470

AUTRES METAUX. ^- Dans le cas d’une structure

cfc,

les

expressions

^des cpn ^sont tres voisines _pour les autres

valeurs de Z avec une

exception

pour Z ⁼ 1. Dans

ce cas, ^et pour la direction

(111),

^le

grand

^{cercle de}

Fermi est tout entier a l’int6rieur de la

premiere

^zone

de Brillouin du reseau

plan.

^On

peut

donc s’attendre pour les coefficients _cpn transverses a une d6croissance

exponentielle

^{et sans}

changement

^de

signe.

Ceci serait lie a l’inexistence d’effet Kohn _pour cette branche.

Dans le cas des m6taux

cubiques ^centres,

les expres- sions _cpn sont un peu differentes mais d’allure

analogue.

a)

^{Sodium. - Il} est tentant d’étudier ce m6tal dont la surface de Fermi est tr6s

proche

^d’une

sphere.

Expérimentalement [3],

^{on constate} que les courbes de

dispersion

sont correctement rendues avec un

nombre limit6 de termes dans le

d6veloppement (1) :

trois _pour la direction

(100),

^deux pour la direc- tion

(110),

^six pour la direction

(111)

^et les interac- tions ^entre

premiers

^et seconds voisins sont

largement preponderantes.

Pour la direction

(111),

^la

comparaison

^{entre les}

résultats

exp6rimentaux

^et

th6oriques

^est donnee dans le tableau _{II pour} les modes transverses. Les cpn ^sont

exprim6s

^{en 102}

dynes/cm.

Le coefficient a est

6gal

a

0,01 [14].

TABLEAU II

L’accord est franchement mauvais. Ce d6saccord

ne

provient

6videmment pas de

1’anisotropie

^{de la}

surface de Fermi mais de

1’emploi

^{de la} forme asymp-

totique (3)

de l’interaction de

paires.

^En

^effet,

^{dans le}

cas du

sodium,

^{cette forme}

asymptotique

decrit tr6s mal 1’interaction de

paires jusqu’aux

sixi6mes voisins

au moins. L’interaction de

paires

calcul6e dans un

mod6le de

pseudopotentiels [14] pr6sente

des oscil- lations dont

l’amplitude

^{sur les deux}

premiers

^voisins

est nettement

sup6rieure

^et

qui

semblent etre en

opposition

^de

phase

^{avec la forme}

asymptotique.

^Ceci

est en accord avec les résultats

expérimentaux.

b)

^{Plomb. - Dans le cas du}

Plomb,

^on

peut

s’attendre a des distorsions de la surface de Fermi

plus importantes

que pour 1’Aluminium et donc a des résultats dans 1’ensemble ^assez médiocres. D’autre

part,

il n’existe pas actuellement de determination de oc par ^une m6thode de

pseudopotentiels.

^On

supposera que ^ce coefficient a une valeur voisine de celle du mod6le d’ions

ponctuels qui

^{est de l’ordre}

de 8. Le tableau III donne les valeurs des coeffi- cients _{cpn pour} la branche transverse dans la direc- tion

(100).

TABLEAU III

Pour les autres

directions,

^{les résultats sont} a peu

pres equivalents.

^{L’accord avec} les valeurs

experi-

mentales ne porte

guere

que ^sur l’ordre de

grandeur.

Conclusion. ^-

L’application

^de

l’approximation

des interactions de

paires

^a Fetude du

spectre

^de

phonons

des m6taux est int6ressante a deux

points

^de

vue. Elle

peut

^etre consideree comme une preuve

exp6rimentale

du caract6re oscillant et a

longue port6e

des interactions ^entre atomes, ^et d’autre

part

^elle permet dans certains cas une

comparaison quantitative

avec

l’expérience.

I. ASPECT

TH£ORIQUE.

^-

L’approximation

^des

interactions de

paires

^{donne une}

interpretation

^th6o-

rique simple

de certains traits

particuliers

^{aux courbes}

de

dispersion

^de

phonons

des m6taux. En

particulier,

la forme

asymptotique

^de l’interaction est

responsable

de la nature oscillante et de la d6croissance en

I1n2

^des

constantes de force

interplanaire

y,,.

Réciproquement,

ces traits

exp6rimentaux

^montrent que les interactions

entre atomes ont un caract6re oscillant et d6croissant

en

1/R3.

^Ces

aspects

de l’interaction sont

6galement

n6cessaires pour donner naissance ^a 1’effet Kohn. En

fait,

^les oscillations amorties des cp" sont, ^{comme 1’a}

soulign6 Koenig [8],

^{un effet}

beaucoup plus

^facilement

observable que les

changements brusques

^de

pente

dans la courbe

w(q) qui

constituent a

proprement

parler

1’effet Kohn.

II. COMPARAISON AVEC L’EXPERIENCE. ^- Les calculs

num6riques

^{ont ete faits a}

partir

de la forme asymp-

totique

de la fonction d’interaction. On ne

peut

^donc s’attendre a un accord vraiment

quantitatif

pour cpn

quand n

^est

petit (1 ou 2).

^De

plus,

les interactions de

paires

^sont

suppos6es isotropes,

^ce

qui

restreint le domaine de

comparaison

^{au cas} des m6taux

ayant

^une surface de Fermi

approximativement sph6rique.

^Avec

ces

approximations,

^on obtiendrait _{pour les} constantes

61astiques

^des relations du

type Cauchy qui, experi- mentalement,

^{ne sont} pas v6rifi6es. On ^ne

peut espe-

rer un bon accord avec les coefficients

exp6rimentaux

que pour les Yn d’ordre élevé du sodium ^ou du

potas-

sium. Ceux-ci sont malheureusement inaccessibles a

l’expérience.

L’accord devient

semi-quantitatif

^{dans le cas de}

I’Aluminium dont la surface de Fermi est assez peu distordue et ou la forme

asymptotique

^{rend assez}

bien

compte

^du

comportement

^de la fonction d’inter- action entre

proches

voisins. On

pourrait

^certaine-

ment obtenir de meilleurs résultats en prenant ^une forme

plus

^exacte de la fonction d’interaction et en tenant compte de la surface de Fermi r6elle.

Enfin,

^on peut certainement étendre ce mod6le aux

m6taux ^non

cubiques,

^en

particulier

^aux

hexagonaux compacts.

^On

peut

s’attendre a des résultats

analogues,

le trait

principal

^{restant la}

longue port6e

des interac-

tions effectives entre atomes dans les m6taux. Des

mesures r6centes dans le

magnesium [17]

viennent de confirmer la

longue port6e

des forces

interatomiques.

Remerciements. ^{- L’auteur} tient a remercier le Docteur A. Blandin

qui

^{lui a}

sugg6r6

^ce

^travail,

^et

dont les conseils ont ete tres

utiles,

^et

6galement

^le

Docteur S. H.

Koenig

pour lui avoir

communique

ses résultats avant

publication

^et pour l’intérêt

qu’il

a

port6

^{a ce}

sujet.

Manuscrit reçu le ⁸ d6cembre 1966.

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