APPLICATION D'UN SPECTRE DISCRET DE TEMPS DE RELAXATION A L'ANALYSE DES MESURES DU FROTTEMENT INTÉRIEUR DES MÉTAUX

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HAL Id: jpa-00214528

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Submitted on 1 Jan 1971

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APPLICATION D’UN SPECTRE DISCRET DE TEMPS DE RELAXATION A L’ANALYSE DES MESURES DU FROTTEMENT INTÉRIEUR DES

MÉTAUX

J. Parisot, J. de Fouquet

To cite this version:

J. Parisot, J. de Fouquet. APPLICATION D’UN SPECTRE DISCRET DE TEMPS DE RELAX-

ATION A L’ANALYSE DES MESURES DU FROTTEMENT INTÉRIEUR DES MÉTAUX. Journal

de Physique Colloques, 1971, 32 (C2), pp.C2-17-C2-20. �10.1051/jphyscol:1971202�. �jpa-00214528�

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JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C2, supplément au no 7, tome 32, Juillet 1971, page C2-17

APPLICATION D'UN SPECTRE DISCRET DE TEMPS DE RELAXATION A L9ANALY SE DE SIJME SURE S DU FROTTEMENT INTÉRIEUR

DES~MÉTAUX (*)

J. PARISOT et J. de FOUQUET

Laboratoire de Mécanique et Physique des Matériaux E. N. S. M. A., rue Guillaume-VII-le-Troubadour, 86-Poitiers

Equipe de Recherche Associée au C. N. R. S. no 123

Résumé.

-

Le formalisme du solide linéaire viscoélastique de Zener donne une description satisfaisante des phénomènes à un seul temps de relaxation comme ceux observés par Snoek sur du fer contenant un élément (carbone ou azote) en solution solide interstitielle. La description de phénomènes plus complexes nécessite une généralisation de cette théorie. L'étude présentée ici a pour but de décrire le comportement des solides présentant N temps de relaxation selon une distribution discrète et de proposer une méthode d'analyse des mesures de frottement intérieur.

Cette méthode permet de déterminer avec précision les intensités de relaxation associées à chaque effet élémentaire ; elle peut s'appliquer en particulier au dosage simultané du carbone et de i'azote en solution solide dans le fer a.

Abstract. - Zener's anelastic standard solid describes well phenomenon with single relaxation t h e as those observed in iron containing interstitials (Snoek peak for C or N in a-iron). A more complete form of this theory is needed for describing more complex phenomenon. The behaviour of solids having N relaxation times is described with a discrete distribution, and an analytical method is proposed for the interna1 friction measurements. This method allows a precise determination of the relaxation strength associated with each elementary effect. It can be applied for example to the determination of C and Nin solid solution in a-Fe.

Introduction. - Les phénomènes de relaxation se manifestent expérimentalement comme un retard mis par une substance pour s'adapter à une variation des conditions extérieures. Selon le type de sollicita- tion, on observe [l] :

-

un effet de fluage, à contrainte appliquée constante,

- un effet de relaxation de la contrainte, à déformation imposée constante,

-

un déphasage de la déformation, à contrainte imposée périodique ; ce déphasage se manifeste par une perte d'énergie, ou frottement intérieur. Pour une expérience donnée, par exemple de fluage, le comportement d'un métal est décrit par l'une des trois fonctions du tableau 1. Ces fonctions satisfont au principe de linéarité de Boltzmann [2] et leur connaissance permet de prévoir l'existence et la forme des fonctions de relaxation ou des équations de Debye correspondantes : le comportement de chaque corps peut donc être défini par sa fonction de fluage.

Physiquement, le formalisme du solide de Zener [3-41 (TableauI, colonne 1) s'applique aux effets d'ordre induit à simple temps de relaxation dont l'effet Snoek [5] constitue un exemple. L'analyse des mesures de

frottement intérieur effectuées à basse température sur des métaux écrouis ou à haute température sur des échantillons polycristallins (relaxation aux joints de grains) oblige à supposer l'existence d'un spectre continu de temps de relaxation : deux méthodes ont été proposées, l'une par Bordoni [6] pour une distri- bution en créneaux, l'autre par Nowick & Berry [7]

pour une distribution gaussienne (Tableau 1, colonne 3).

Dans certains cas (par ex. : solutions solides Fe-C-N ou Fe-Mn-N, etc...), on doit admettre l'existence d'un nombre fini de temps de relaxation : lorsque ces temps de relaxation ont des valeurs voisines, il y a recouvre- ment partiel des effets élémentaires et l'exploitation des résultats expérimentaux nécessite le recours à une méthode d'analyse. Le problème a été résolu pour les mesures de traînage élastique et de relaxation de la contrainte par Wert et col. [8] qui expriment la fonction de fluage (ou de relaxation) résultante comme la somme des fonctions élémentaires, appliquant ainsi le formalisme du solide de Kelvin généralisé (Tableau 1, colonne 2).

Dans la présente étude, l'utilisation de ce formalisme permet d'établir en premier lieu l'expression du frottement intérieur resultant en fonction des effets élémen- taires. On en déduit ensuite une méthode de calcul

(*) Un texte développé est paru dans Métaux, précise des intensités de relaxation élémentaires à Corrosion, Industrie 1970, 45, 257. partir des mesures de frottement intérieur.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1971202

(3)

1

Simple temps de Relaxation z

1

réf

(

Zener [3] Nowick et Berry [4] l~onction de distribution

1

Spectre discret N temps de Relaxation z (présente étude) des temps de relaxation Fonction de Fluage

Spectre continu distribution de temps de Relaxation réf. Nowick et Berry [6] p. Modèle Rhéologique

~(t) J(t) =

-

00 Fonction de Relaxation Solide de Zener

6J 6M. A = -- =

-

intensité de relaxation

l I

J" MR

-

-- Solide de Kelvin généralisé

Il w

= 2 n f puisation du mouvement

N JR - 6J

C

ai eXP

(- i)

i= 1

+

m JR

-

61

J"

$(Log T) exp -a

-

(4)

APPLICATION D'UN SPECTRE DISCRET DE TEMPS DE RELAXATION A L'ANALYSE DES MESURES _C2-19 1. Expression du frottement intérieur. -Les équa-

tions de Debye portées sur le tableau 1 sont obtenues à partie de la fonction de fluage par le calcul opération- nel. Dans le cas du solide de Kelvin généralisé, on en déduit le déphasage cp :

l + A ai

avec :

K i

= 1

+

( 0 7 ~ ) ~

N ( 2 )

l + A C ^{a j}

j = i 1

+

( 0 ~ ~ ) ~

cpi est le déphasage obtenu dans un corps de Zener dont le temps de relaxation est zi et l'intensité de relaxation ai A .

Une étude de la variation des

Ki

en fonction des ri et ai permet de vérifier l'inégalité suivante :

Les méthodes d'analyse des mesures habituelleinent utilisées postulent que :

N

t g ⁼~

C

tgcpi.

i = 1 (6)

En fait, cette expression, d'un intérêt pratique indiscutable, constitue une approximation valable uniquement lorsque A

<

1 ou % 1. La figure 1, établie à partir d'un cas particulier, en montre les limites. Dans de nombreux cas, seule la relation (1) est susceptible de conduire à une analyse précise des mesures.

2. Analyse des mesures de frottement intérieur. -

La méthode proposée suppose connues les valeurs des zi, c'est-à-dire :

1) la température des maxima à une fréquence donnée,

2 ) les énergies d'activation correspondantes.

Pour un corps à N temps de relaxation, on doit effectuer au moins N mesures de tg cp pour N valeurs distinctes du produit o z i obtenues en faisant varier la température ou la fréquence [9]. D'après l'équation (l), on écrit alors le système de N équations :

N

tg

do,

Tl =

C

^{Ki tg}^cpi

.

i = 1 (7)

Le système n'est pas linéaire et les N inconnues ai A ne peuvent être calculées directement. On procède par approches successives en posant d'abord tous les Ki = 1. Les valeurs calculées successivement pour les ai A convergent alors très rapidement. Dans le cas des solutions solides fer-carbone-azote, et compte tenu de la précision des mesures, ces valeurs sont généralement satisfaisantes dès la deuxième approche.

3. Conclusion. - En décrivant les phénomènes à N temps de relaxation par le formalisme du solide de Kelvin .généralisé, nous avons montré que l'emploi de la relation ( 6 ) pour l'analyse des mesures de frottement intérieur constitue une approximation valable uniquement lorsque les temps-de relaxation sont

FIG. 1.

-

Frottement intérieur du fer a contenant simultané-

ment du carbone et de I'azote en solution solide. Courbes tracées assez différents et les intensités de relaxation assez

à fréquence fixée, en fonction de la température. faibles. Si ces conditions ne sont pas réalisées, seule

1. pic du carbone (tg VC) avec a c A = 4 x 10-2. la relation (1) est satisfaisante : dans ce cas, en suppo-

2. pic de l'azote (tg r p ~ ) avec @ N A = 8 X 10-2 sant connus les temps de relaxation, nous avons établi

3. tg vc f tg ^{V N .} une méthode d'analyse permettant un calcul précis

4. tg 9 = Kc tg PC

+

^KN^tg^{V N .} des intensités de relaxation associées à chaque effet

5. tg

ac +

^tg^9~

-

^tg^ai. élémentaire.

(5)

J. PARISOT ET J. DE FOUQUET

Bibliographie

[II FAST (J. D.), Métaux, Corrosion, Ind., 1961, 36, 383. [5] ADDA (Y.) & PHILIBERT (J.), La diffusion dans les 1961, 36, 431. solides, t. II, Ch. XVII, P. U. F., Paris, 1966.

[2] PERSOZ (B.), Introduction à l'étude de la Rhéologie, [61 BORDONI (P. G.), Métaux, Corrosion, Ind., 1961, 36,

Dunod, Paris, 1960. 100.

[7] NOWICK (A. S.) & BERRY (B. S.), I. B. M. Journal [3] ZENER (C.), Elasticité et Anélasticité des Métaux, Research, 1961, 5 , 297.

Dunod, Paris, 1955. 181 KEEFER (D.) & WERT (C. A.), Acta Met.. 1963. 11. 489.

[4] NOWICK (A. S.) et BERRY (B. S.), Physical Acoustics, GIBALA (R.) & WERT

(c.

A.), ibid., '1966, '14,1095:

W. P. Mason Ed, Vol. III, Part. A. Academic Press, [9] PARISOT (J.), SANTROT (J.) & DE FOUQUET (J.), Mem.

New-York & London, 1966. Sc. Rev. Mer., 1969, 66, 105.