INTERACTIONS MAGNONS-PHONONS DANS LES CRISTAUX FERROMAGNÉTIQUES

(1)

HAL Id: jpa-00213174

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00213174

Submitted on 1 Jan 1967

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

INTERACTIONS MAGNONS-PHONONS DANS LES

CRISTAUX FERROMAGNÉTIQUES

H. Le Gall

To cite this version:

(2)

J O U R N A L D E PHYSIQUE Colloque C 1, Supplément au no 2, Tome 28, Février 1967, page C 1-151

INTERACTIONS MAGNONS-PHONONS

DANS LES CRISTAUX FERROMAGNÉTIQUES

H. LE GALL

Laboratoire de Magnétisme et de Physique du Solide C. N. R. S. 1, place A.-Briand. 92 - Bellevue

Résumé. - En partant de la composante magnétostrictive de l'hamiltonien du cristal ferroma- gnétique, nous définissons dans une première partie la nature des principaux types de transition magnons-phonons en précisant leur importance relative en fonction de la température et des différentes énergies de magnétostriction du cristal. Dans une deuxième partie nous étudions plus en détail les mécanismes de transfert direct et inverse d'énergie du système magnétique au système élastique, au cours de la propagation d'une onde magnétoélastique dans un champ continu inho- mogène. Enfin, dans une troisième partie, nous indiquons les possibilités de détection des transitions magnons-phonons dans les expériences de pompage parallèle permettant la détermination de la constante d'échange du matériau.

Abstract.

-

From the magnetostrictive component of the hamiltonian of the ferromagnetic crystal, we define in the first part, the nature of the main types of magnons-phonons transitions, giving their relative importance with respect to the temperature and the different magnetostriction energies of the crystal. In the second part, we study in more detail the direct and inverse interactions between the magnetic and elastic systems during the propagation of a magnetoelastic wave in an inhomogeneous d. c. field. Finally, in the third part, we indicate the possibilities of detection of the magnons-phonons transitions in the parallel pumping experiments which allow the determi- nation of the exchange constant of the material.

L'utilisation éventuelle du retard déterminé par la propagation des ondes magnétiques (magnons) ou élastiques (phonons) dans les cristaux ferromagnéti- ques justifie les nombreuses études effectuées récem- ment dans ce domaine [l], [2], [3], [4]. Les couplages magnétoélastiques impliqués dans ces expériences présentent des caractéristiques bien précises d'interaction magnons-phonons et ne deviennent efficaces que si les énergies et les moments des ondes magnétiques et élastiques sont égaux. Ces transitions à caractère de résonance constituent un cas particulier des transitions magnons-phonons qui peuvent exister dans un cristal ferromagnétique.

Nous nous proposons, dans une première partie, de définir la nature des principaux types de transition en précisant leur importance relative en fonction de la température et des différentes énergies de magnéto- striction du cristal. A partir de ces résultats, nous pourrons, dans une deuxième partie, étudier plus en détail les mécanismes de transfert direct et inverse d'énergie du système magnétique au système élastique au cours de la propagation d'une onde magnétoélas- tique dans un champ continu inhomogène. Enfin,

dans une troisième partie, nous préciserons l'influence des interactions magnons-phonons sur l'excitation paramétrique des ondes de spin avec pompage parallèle.

1. Interactions magnons-phonons, différents types.

-

Pour définir les transitions magnétoélastiques, il faut considérer la partie magnétostrictive de l'hamiltonien du cristal ferromagnétique, contenant à la fois les variables de spin et le tenseur de déformation [5] :

où uik est le tenseur de déformation

yik est le tenseur des constantes de magnétostriction

en présence d'une aimantation homogène. Ce facteur qui a pour expression :

(3)

C l - 1 5 2 H. LE GALL

comporte un terme y qui est lié à la variation de l'énergie d'anisotropie par une déformation élastique et ne reste donc pas invariant par rapport à une rotation de l'aimantation. Si le corps a des propriétés magnétostrictives isotropes, y représente simultané- ment les constantes magnétoélastiques de compression et de cisaillement.

y,,, est le tenseur des constantes de magnétostric- tion en présence d'une aimantation inhomogène. L'énergie de magnétostriction associée à yiklm et représentée par le second terme de l'hamiltonien (l),

est limitée à la principale contribution due à I'interaction d'échange. Cette contribution s'obtient immé- diatement en développant l'intégrale d'échange, qui dépend de la distance interatomique, en puissance du tenseur de déformation

u,,

et en limitant ce développe- ment au terme linéaire en u,,. Ce terme est invariant par rotation de l'aimantation. Pour définir les transitions, induites par l'hamiltonien Hm-,, il faut exprimer, d'une part l'aimantation en fonction des opérateurs de création et d'annihilation de magnons ( a l , ak) [6], et d'autre part le déplacement u(r) en opérateurs de création et d'annihilation de phonons (b;, b,,) [5] :

où f et of, sont le vecteur d'onde et la fréquence de l'onde élastique de polarisation s, efs est le vecteur de polarisation unité et p la densité du cristal. En limitant l'hamiltonien aux termes du troisième ordre en opérateurs de création et de destruction de bosons, nous définissons trois types d'interaction différents :

Le terme H l , du deuxième ordre en a, et bfs, induit des ondes couplées magnétoélastiques. Le terme H,,

du troisième ordre en a, et bfs, représente les radiations Cerenkov de phonons, la particule incidente étant le magnon et le rayonnement émis le phonon. Le terme

H,, du troisième ordre en a, et bfs, entraîne l'existence

de transitions dans lesquelles deux magnons sont détruits et un phonon créé.

ONDES COUPLÉES MAGNÉTOÉLASTIQUES. - L'hamiltonien qui décrit cette interaction a pour expression :

où le coefficient de couplage Ckf, lié aux constantes magnétoélastiques de compression et de cisaillement, représente la partie magnétostrictive anisotrope de l'hamiltonien. Lorsque l'équilibre thermique est

réalisé entre les bains de magnons et de phonons, ces interactions à deux bosons permettent la propagation dans le cristal d'ondes dont l'énergie apparaît en partie sous forme magnétique et en partie sous forme élas- tique. Ces couplages restent néanmoins très faibles sauf dans la zone d'intersection des spectres des ondes de spin et des phonons où l'interaction prend un carac- tère de résonance. Lorsque la température du bain de magnons est supérieure à celle du réseau (cas de la relaxation ferromagnétique) le processus direct repré- senté par Ckf ak bfS peut devenir également important quand les énergies et les moments des ondes de spin et des phonons sont égaux.

Pour le grenat d'yttrium-fer la constante magnétoélas- tique de compression est plus faible que celle de cisaillement (dans un rapport de 1 à 10 à basse tempéra- ture). Dans ce cas particulier, le couplage des magnons doit être plus efficace avec des phonons de polarisation transverse qu'avec des phonons de polarisation longi- tudinale. Des expériences réalisées en pompage paral- lèle confirment cette idée.

RADIATION CERENKOV DE PHONONS.

-

La partie Hz

de I'hamiltonien d'interaction, définit des processus

à trois bosons avec destruction d'un magnon k, et création d'un magnon k2 et d'un phonon f3 :

où C.C. indique le terme complexe conjugué de celui

qui le précède et représente les transitions inverses. Ces transitions sont analogues aux radiations Cerenkov, la particule incidente étant l'onde de spin, et le rayonnement émis le phonon. De tels processus ne sont donc possibles que si la vitesse de groupe v des magnons incidents est supérieure à la vitesse s du son, ce qui n'est valable qu'avec des magnons d'échange d'énergie wk = h2 k2/2 m* et de masse effective m* tel que :

(O, et a sont respectivement la température de Curie et le paramètre du réseau du cristal considéré.) Compte tenu de la relation de dispersion des magnons d'échange, cette condition devient :

où O, = hs/a est la température de Debye.

(4)

INTERACTIONS MAGNONS-PHONONS C 1

-

153

comme l'indique, dans l'expression (6), le facteur A l , , , qui est directement fonction du tenseur des constantes de magnétostriction y,,,. Le calcul de probabilité Wp de rayonnement Cerenkov de phonons précise alors qu'à basse température il est plus probable de cr'éer des phonons de polarisation transverse,

( W , % WJ, tandis qu'à haute température, il est plus probable de créer des phonons de polarisation longi- tudinale [ 5 ] , [7].

Pour l'émission d'un phonon de polarisation arbi- traire, la probabilité de transition s'écrit [7] :

OD

W, = A ,

T7"

exp

-

0:/4 TOC si T 4

-

0,

( E 20 OK dans le Y.I.G.) (9)

A , et BI sont deux constantes dépendant de O,, p, a, s, et s, (vitesses des phonons transverses et longitudinaux) et des constantes de magnétostriction d'échange. Nous savons que l'émission d'un phonon n'est possible que si l'énergie du magnon incident est supérieure à

Oi/4 O,. Ceci explique, qu'à très basse température, (T

4

Oi/O,) la probabilité de transition (relation 9), qui possède une variation exponentielle avec T, soit très faible. Dans ce domaine de température il faut alors considérer également le processus de fusion de deux magnons suivi de la création d'un phonon.

FUSION DE DEUX MAGNONS

-

CRÉATION D'UN PHO-

NON.

-

Seule l'énergie de magnétostriction homogène,

liée aux variations de l'anisotropie magnétique par les déformations élastiques (facteur y, - expression 2) contribue à ces transitions. L'hamiltonien associé a pour expression :

avec

g, p, et M sont respectivement le facteur de Landé, le magnéton de Bohr et l'aimantation à saturation du cristal. y est la constante de magnétostriction d'anisotropie (relation 2).

Comparée aux transitions induites par la magnéto- striction d'échange cette interaction, de probabilité Wi, est en général faible. A partir des éléments de matrice définissant ces transitions, il est possible de déterminer

la probabilité moyenne de fusion de deux magnons avec création d'un phonon :

où A, et B, sont deux constantes dépendant de Mo, p, a, s et O,.

La comparaison des expressions (9) et (12) montre que dans un processus de relaxation ferromagnétique, la plus grande partie du transfert d'énergie du système magnétique au réseau, s'effectue par des radiations Cerenkov de phonons. Les magnons détruits dans ces interactions correspondent à une zone bien précise du spectre des ondes de spin (hok

>

OD/4 O,), dans laquelle apparaît un gradient de température. Pour neutraliser ce gradient, le bain de magnons évolue par des transitions confluentes à trois magnons ou élastiques à quatre magnons vers une nouvelle distribution à une tempé- rature plus basse.

Si la probabilité de fusion de deux magnons suivie de la création d'un phonon est en général très faible, cette interaction doit devenir particulièrement efficace quand les deux magnons détruits possèdent des éner- gies et des moments égaux (point d'intersections des spectres). Dans ce cas il faut tenir compte à la fois des processus à deux et à trois bosons définis par les parties H , et H, Qe l'hamiltonien d'interaction,

puisqu'ils peuvent exister simultanément. De plus, si ces deux types de transitions ne jouent qu'un rôle secondaire dans les phénomènes de relaxation ferro- magnétique, il n'en \est plus de même dans les expé- riences de propagation d'ondes magnétoélastiques dans un champ magnétique inhomogène ou en pompage parallèle.

II. Ondes magnétoélastiques dans un champ ma-

(5)

C 1

-

154 H. LE GALL l'excitation et l'amplification paramétriques d'ondes

magnétoélastiques à 8,7 GHz [4].

Il est en général difficile de convertir directement l'énergie électromagnétique en ondes de spin par suite de la différence considérable de longueur d'onde des deux vibrations. Dans la bande X, par exemple, le champ électromagnétique et les ondes de spin pos- sèdent des longueurs d'onde respectivement de l'ordre du centimètre et du micron, ce qui interdit tout couplage entre eux.

Dans un milieu infini, la relation de dispersion de magnons, limitée aux termes de Zeeman et d'échange, a pour expression :

H étant le champ magnétique appliqué, et km le vecteur d'onde des magnons considérés. Pour une onde de spin de fréquence donnée, il est alors possible d'aug- menter la longueur d'onde effective, près de la surface de l'échantillon en augmentant de façon appropriée le champ magnétique continu interne. Dans ces conditions l'onde magnétique, présentant une variation spatiale plus importante de son moment dipolaire, pourra être couplée plus facilement avec le rayonnement électromagnétique. Ceci suppose donc l'existence d'un champ magnétique continu inhomogène à

l'intérieur de l'échantillon, qui doit être plus important dans la zone de transition photon-magnon. On peut effectuer une telle mise en forme du champ magnétique par l'adjonction près de l'échantillon de pièces polaires auxiliaires ou en utilisant la forte inhomogénéité du champ démagnétisant des échantillons non ellip- soïdaux. Seule la deuxième solution a été adoptée jusqu'ici, par utilisation, soit de disques minces aiman- tés transversalement, soit de cylindres aimantés longi- tudinalement. On limitera l%tude au cas d'un barreau placé entre deux cavités résonnantes (Fig. 1). L'une

des cavités a une fonction d'émetteur et l'autre de récepteur. On suppose par ailleurs que le champ magnétique continu est plus élevé aux extrémités de l'échantillon de telle sorte que le champ interne a l'allure indiquée sur la figure 2. La longueur d'onde

d'une onde de spin des pulsations o est donc une fonction de la position z de cette onde :

Nous supposerons que les variations spatiales de

H(z) sont telles que k;(z) est positif et quasi constant

au milieu du barreau, puis diminue pour s'annuler en un point z = z, (cut-off), et devient négatif aux

extrémités de l'échantillon (k, négatif ne correspond pas à une solution physique possible).

En fonction de ce qui a été établi plus haut, le couplage photons-magnons le plus efficace a lieu en un point A (Fig. 2 et 3) où H(z) = o / y . Les ondes de spin

créées se déplacent alors vers le centre du barreau avec des vecteurs d'onde croissant jusqu'au point B qui correspond au croisement des spectres des magnons et des phonons. A partir de ce point, les transitions magnons-phonons permettent le transfert de l'énergie sous forme élastique jusqu'au point C qui

correspond aux processus inverses phonons-magnons. Finalement l'énergie apparaît au point D sous forme de rayonnement électromagnétique.

(6)

INTERACTIONS M AGNONS-PHONONS le champ interne étant plus élevé à ses extrémités

Schlomann a précisé ce temps [ I l ] :

w, = y 4 n M ; s, 2 1 et N1(z0) sont l a vitesse du son, la longueur du barreau et la dérivée par rapport à z

du facteur démagnétisant au point de cut-off z,. Il est alors intéressant de définir un facteur de conversion photon-magnon r ] , au point de eut-off. r ] , est

le rapport de la puissance convertie en ondes magné- tiques à la puissance incidente dans la cavité d'entrée. La valeur maximale qi, qui dépend de la surtension de la cavité, a pour expression [12] :

où Q, est la surtension à vide de la cavité et Q, la

<( surtension de la transition photon-magnon )) telle

que :

M, A et V sont respectivement, l'aimantation à saturation, la section et le volume de l'échantillon ;

h,(zo) est le champ microonde au cut-off;

<

h2

>

est la valeur moyenne du carré du champ microonde dans la cavité : ] dH/dz

I,,

est le gradient du champ continu au point de cut-off. Avec les conditions expé- rimentales actuelles, on peut espérer obtenir un facteur de conversion photon-magnon au moins égal à 0,5. Au point de transition B (Fig. 2 et 3), l'énergie magnétique est convertie en énergie élastique. La conversion magnon-phonon est d'autant plus effective, que le temps de transit des ondes de spin dans la zone de croisement z, est plus long. Cela implique donc un gradient du champ magnétique dH/dz aussi faible que possible en z,. Si au contraire dH/dz est élevé le paquet de magnons traverse la zone de transition très rapide- ment et l'énergie se propage au-delà du point B, en partie sous forme élastique et en partie sous forme magnétique avec des vitesses de groupe différentes. On peut alors définir un gradient critique H' crit qui

sépare les transitions fortes des transitions faibles. Dans la plupart des expériences de propagation d'ondes magnétoélastiques H ' est nettement inférieur à H' crit. On se place dans le cas des transitions fortes qui peut être caractérisé par le facteur de conversion magnon-phonon y, tel que [13] :

H' crit = nb; w / s M p

b, est une constante magnétoélastique et p le module de cisaillement.

En augmentant la valeur du champ continu, le point de cut-off A (Fig. 2) se déplace vers le centre de

l'échantillon. On a donc la possibilité de contrôler le temps de transfert des ondes magnétoélastiques par simple variation d'un champ magnétique. On a réalisé ainsi des lignes à retard dispersives de plusieurs dizaines de microsecondes dans les bandes C et X.

III. Interactions magnons -phonons en pompage

longitudinal.

-

Il a été possible de mettre également

en évidence les interactions magnons-phonons par les expériences de pompage longitudinal. On sait en effet que, lorsque l'amplitude du champ magnétique microonde appliqué parallèlement au champ continu Ha et de pulsation a, dépasse le seuil critique défini par :

.

w AH,

h crit = - ---

c o ~ sin2 ûk (18)

des ondes de spin de pulsation a, = 4 2 sont excitées, leur population croissant suivant une loi exponentielle.

AHk et 8, sont respectivement la largeur de raie équi- valente et l'angle de propagation par rapport à Ha des ondes de spin créées. Si l'excitation des ondes magnétiques correspond au point de croisement des spectres des magnons et des phonons, le couplage magnétoélastique se traduit par l'apparition d'un pic sur la courbe du seuil critique. A partir de la position en champ continu Hm-,, du pic, il est possible de déterminer la constante d'échange D du matériau par l'expression (19) déduite des relations de dispersion des magnons et des phonons [15], [16] :

avec

(7)

C 1

-

156 H. LE GALL

O , n ,T(OC) [9] SPENCER (E. G.), LE CRAW (R. C.), J. Appl. Physics,

260

0 160 360 1959,30,149 S.

2 8 Bibliographie

D 2.10-

(erg.crrf)

A

Hl et H , (relations 5 et 10) qui font intervenir unique-

ment les constantes de magnétostriction homogène liées aux variations de l'anisotropie magnétique. Il apparaît, par contre, que les radiations Cerenkov de phonons, représentées par l'hamiltonien H, (rela-

tion 6), jouent un rôle prépondérant dans les processus de relaxation ferromagnétique en liaison avec les constantes de magnétostriction inhomogène.

1

[IO] SCHLOMANN (E.), Advances in Quantum Electronics (Colombia U. P. New-York 1961).

[1] ESHBACH (J. R.), J. Appl. Physics, 1963, 34, 1298.

[2] SPENCER (E. G.), DENTON (R. T.), CHAMBERS (R. P.),

Phys. Rev., 1962,125,1950.

[3] STRAUSS (W.), J. Appl. Physics, 1964, 35, 1022.

[4] DAMON (R. W.), VAN DE VAART (H.), Appl. PhYs. Let.,

1965, 6, 152.

--

[5] AKHIEZER (A.), J. Phys. (U.S.S.R.), 1946, 10, 217. [6] HOLSTEIN (T.) et PRIMAKOFF (H.), Phys. Rev., 1940,

58, 1098.

[7] KAGANOV (M.) et TSUKERNIK (V.), J.E.T.P., 1959,

36, 224.

[8] SPENCER (E. G.), LE CRAW (R. C.), Phys. Lettevs, 1958, 1, 241.

[ I l ] SCHLOMANN (E.), P ~ o c . I.E.E.E., 1965,53,1495.

[12] SCHLOMANN (E.), J. Appl. Physics, 1964, 35, 159.

[13] SCHLOMANN (E.), J. Appl. Physics, 1964, 35, 2382.

[14] DAMON (R. W.), VAN DE VAART (H.), Proc. Z.E.E.E.,

1965, 53, 348.

1151 TURNER (E. H.), Phys. Rev. Letters, 1960, 5, 100. [16] LE GALL (H.), Ann. Physique, 1965, 10, 515.