Chapitre 10 : Martingales

Probabilités

Chapitre 10 : Martingales

Lucie Le Briquer 28 novembre 2017

1 Théorie générale des processus

Un processusX sur l’espace de temps T à valeurs dans l’espace (E,E)est une v.a. X = (X_t)_t∈T à valeurs dans(E^T,cylindrique). C’est donc une fonctionT →E aléatoire.

Définition 1(processus)

Remarque.Souvent T =R+,N,R,Z. Dans ce cours on considérera uniquement T =N et la tribu cylindrique engendrée par les événements du type :

n

x:T →E| x(t1)∈A1, ..., x(tn)∈An

o

oùt1, ..., tn∈ T et A1, ..., An ∈ E sont fixés Intérêt.X mesurable pour cette tribu⇔ ∀t, X_test une v.a. à valeurs dans(E,E).

Exemple.

ß S_n^x=x+X1+...+Xn

S₀^x=x avec(Xi)i>1 v.a. idp de même loi à valeurs dans(R^d,B(R^d)) La marche aléatoire issue dexest un processus.

Exemple.Si (Yi)i>1 sont des v.a. indépendantes de même loiE(1), Yi=“temps d’apparition d’une panne”

On pose pourt>0,

Nt=“nombre de pannes avant t” = sup{n∈N|Y1+...+Yn 6t}

N est un processus surR+appeléprocessus de Poisson (carNt∼ P(t)).

Exemple.Il existe une v.a. B= (Bt)t>0∈R^R+ telle que :











B₀p.s.

Bt−Bs∼ N(0, t−s) (“accroissements stationnaires”) Si t0< t1< ... < tn, Bt₁−Bt₀, ..., Bt_n−Bt₀ sont idp (“accroissements indépendants”) (t7→Btest continue )p.s.

On l’appelle lemouvement brownien. Son existence est compliquée, surtout pour la propriété de continuité, qui n’est pas une propriété de la loi deB sur(R^R+,cylindrique)

Désormais, T =N ouN^∗.

1. Unefiltration F= (Fn)_n∈Nest une suite croissante de tribus.

(∀n, F_n ⊆ F_n+1⊆...⊆ A)

2. SiX = (X_n)_n∈Nest un processus, on dit qu’il estadapté à la filtrationFsi∀n∈N, X_n estFn−mesurable.

3. SiX = (Xn)_n∈N est un processus, safiltration canonique est : F^X = (F_n^X)_n∈N=

σ(X₀, ..., X_n)

n∈N

C’est la plus petite filtration adaptée àX.

Définition 2(filtration)

Exemple.Marche aléatoireS_n^x=x+X1+...+Xn adaptée àF_n^S =F_n^X=σ(X1, ..., Xn)

−→Sn=x+X1+...+Xn estσ(X1, ..., Xn)−mesurable doncF^S ⊆ F^X

−→X_n =S_n−S_n−1 estσ(S₀, ..., S_n)−mesurable doncF^X⊆ F^S Exemple.Processus de Galton-Watson

(X_jⁱ)indépendants de même loiµprobabilité surN On pose

® Z0= 0

Z_n=X_n¹+...+Xn^Zn−1

Z est adapté à la filtration définie par Fn =σ(X_jⁱ |i>1,16j6n)(ce n’est pas forcément sa filtration canonique, mais celle-ci marche bien).

Intérêt.Structure le temps :

• êtreF_n−mesurable = être une fonction du passé

• êtreF_n−1−mesurable = être prévisible (on pouvait deviner la valeur avant)

2 Définition des martingales

SoitF= (Fn)_n∈Nune filtration etM = (Mn)_n∈Nun processus adapté àFavecMn∈L¹∀n.

On dit que :

• M est uneF −martingale si∀n∈N,E[Mn+1|Fn] =Mn p.s.

• M est uneF −sous-martingale si ∀n∈N,E[Mn+1|Fn]>Mn p.s.

• M est uneF −sur-martingale si∀n∈N,E[M_n+1|Fn]6M_n p.s.

Définition 3(martingale, sous-martingale et sur-martingale)

Interprétations.

1. E(Mn+1|Fn) est la meilleure prédiction sur le processus au tempsn+ 1 sachant ce qu’il s’est passé jusqu’au temps présent n.

Pour une martingale, en moyenne il n’y a pas d’évolution prévisible au tempsn.

2. On imagine un joueur dans un casino etMn sa fortune aprèsnparties. À la(n+ 1)−ème partie, ses gains sontMn+1−Mn. Au temps présentn, il peut estimer ce gain à :

E((Mn+1−Mn)|Fn) =E(Mn+1|Fn)−Mn

Si le casino est équilibré,M est une martingale.

Exemple.S_n^x=x+X₁+...+X_n où lesX_i sont indépendantes de même loi et∈L¹,F=F^X.

E(S_n+1^x |Fn) =E(S_n^x+Xn+1|Fn) =S_n^x+E(Xn+1|Fn

| {z }

idp

) =S_n^x+E(Xn+1)







=S_n^x siE[Xi] = 0

> S_n^x siE[X_i]>0

< S_n^x siE[X_i]<0

Donc(S_n^x)







martingale siE[X] = 0 sous-martingale siE[X]>0 sur-martingale siE[X]<0 Remarque.

• S’il n’y a pas d’ambiguïté, on ne précise pas la filtration et on dit martingale au lieu de F −martingale.

• Si la filtration n’est pas précisée, on prend la canonique.

Trivialités.







martingale ⇔ sous-martingale et sur-martingale M sur-martingale ⇒ −M sous-martingale ces notions sont stables par somme

M processus,Mn∈L¹,M adapté à F.

M martingale ⇔ ∀k>0, E(Mn+k|Fn) =Mn p.s. (1) M sous-martingale ⇔ ∀k>0, E(M_n+k|Fn)>M_n p.s. (2) M sur-martingale ⇔ ∀k>0, E(Mn+k|Fn)6Mn p.s. (3) Propriété 1

Preuve.(de (2))

⇐: trivial

⇒: Par récurrence surk. Pourk= 0,E(Mn|Fn) =Mn>Mn p.s.

Pourk>0,

E(Mn+k+1|Fn) =E

E(Mn+k+1|Fn+k)

| {z }

>M_n+kp.s.

Fn

|{z}

⊆Fn+k

croissance de> E[.|Fn]E(Mn+k|Fn) >

H.R.

Mn p.s.

Exemple.Processus de Galton-Watson :(X_n^j)n,j>1 indépendantes de loiµ.

Fn=σ(X_b^j |16j, 16b6n) Supposons que lesX_n^j sontL¹.

® Z₀= 1

Zn=X_n¹+...+Xn^Zn−1∈Np.s.

E(Zn) =E Ñ

X

k>0

Zn1^Zn−1=k

é

=E X

k>0

(X_n¹+...+X_n^k) 1^Zn−1=k

| {z }

Fn−1−mesurable

!

=

Fubini

X

k>0

E

(X_n¹+...+X_n^k)1^Zn−1=k

=

idp

X

k>0

E(X_n¹+...+X_n^k)E(1^Zn−1=k)

=

idp

X

k>0

E(X_n¹+...+X_n^k)P(Z_n−1=k)

= X

k>0

kP(Zn−1=k)

E(X₁¹) =E(Zn−1)m oùm=E(X₁¹) Remarque.







M martingale ⇒ (E(Mn))_n∈N constante M sous-martingale ⇒ (E(Mn))_n∈Ncroissante M sur-martingale ⇒ (E(Mn))_n∈N décroissante On supposem6= 0, posonsYn= _m^Znn. On a alorsE(Yn) = 1∀n.

Y est une martingale.

Propriété 2

Preuve.

E(Yn+1|Fn) = 1

mⁿ⁺¹E(Zn+1|Fn)

= 1

mⁿ⁺¹E X

k>0

(X_n¹+...+X_n^k) 1^Zn=k

| {z }

Fn−mesurable

|Fn

= 1

mⁿ⁺¹E X

k>0

X_n¹+...+X_n^k|Fn

1^Zn=k

= 1

mⁿ⁺¹ X

k>0

km1^Zn=k

= 1 mⁿ

X

k>0

k1^Zn=k

| {z }

=Zn

=Y_n

Construction de martingale en pariant.

On a uneF −martingaleM : Mn+1−Mn représente le gain si on joue à la(n+ 1)−ème partie dans un casino. Maintenant, un autre joueur parie sur le résultat de cette partie ; il parie la quantitéHn+1. Ses gains lors de cette partie sontHn+1(Mn+1−Mn).

Si Hn+1=











−1 il gagne les gains normaux 2 il double les gains/pertes 0 il ne joue pas

−1 il joue du côté du casino Les gain cumulés au bout denparties sont :

H1(M1−M0) +H2(M2−M1) +...+Hn(Mn−M_n−1)

Il ne voit pas le résultat de la partie à l’avance, donc on demande à ce queH_nsoitF_n−1−mesurable.

SiF est une filtration :

1. (Hn)_n∈N^∗ est prévisible si∀n, Hn estF_n−1−mesurable.

2. Si H = (Hn) = n∈N^∗ est prévisible et M = (Mn) adapté, on définit le processus adapté(H◦M)par :

ß (H◦M)₀= 0

(H◦M)_n+1=H₁(M₁−M₀) +...+H_n(M_n−M_n−1) +H_n+1(M_n+1−M_n) Définition 4(prévisible, processus adapté)

SoitF une filtration.

• H prévisible, borné (i.e.∀n,∃cn,|Hn|6cn p.s.) etM martingale⇒(H◦M)martin- gale.

• H prévisible, borné,>0,M sous/sur-martingale⇒(H◦M)sous/sur-martingale.

Théorème 1

Remarque.Si on revient au casino, s’il est équilibré, M est une martingale. Ceci signifie que quelque soit la stratégie de mide (Hn peut être n’importe quelle fonction fn(M0, .., M_n−1)), (H◦M)est une martingale etE((H◦M)n) =E((H◦M)0) = 0. Pas de gains >0en moyenne.

Remarque.Si M adapté et∀H prévisible,E((H◦M)n) = 0, alorsM martingale.

Preuve.

H borné etM ∈L¹alors(H◦M) =Pn

i=1Hi(Mi−M_i−1)est L¹. E((H◦M)n+1|Fn) =E

(H◦M)n

| {z }

Fn−mesurable

+ Hn+1

| {z }

Fn−mes car prév

(Mn+1−Mn) Fn

= (H◦M)n+Hn+1

E(Mn+1|Fn)−Mn

| {z }

=0carMmartingale

Idem pour les autres points.

3 Temps d’arrêt

Notons utile hors du cadre des martingales.

F filtration.T: Ω→Nest un temps d’arrêt si∀n, {T =n} ∈ Fn. Définition 5(temps d’arrêt)

Remarque.Un joueur peut jouer jusqu’à l’instant T qu’il décide. On veut que la décision de s’arrêter ne dépende que de ce qui s’est passé jusque là, donc∈ Fn.

Remarque.

T temps d’arrêt ⇔ (i) ∀n{T =n} ∈ Fn

⇔ (ii) ∀n{T 6n} ∈ Fn

⇔ (iii) ∀n{T > n} ∈ Fn

car(i)⇒(ii)puisque{T 6n}={T = 0} ∪...∪ {T=n}et(ii)⇒(iii)par stabilité par passage au complémentaire dans les tribusFn. Et on a(ii)⇒(i)car{T =n}={T 6n}\{T 6n−1}.

Exemple. Si X est adapté (à F) est un processus à valeurs dans R, A ∈ B(R), alors T_A =

“temps d’atteinte de A”= inf{n|X_n∈A}est un temps d’arrêt, avec la conventioninf∅= +∞.

{TA> n}={X0∈/A, X₁∈/A, . . . , X_n∈/A} ∈ Fn car X adapté.

Pour la marche aléatoire simple surZ,L∈N, on sait queT_L<+∞p.s. carlimS_n = 0.E[T_L] =?

Exemple.

T =“premier passage<0après un passage>10”

= infn

n| ∃06p6n−1, X_p>10, X_n<0o

{T > n}=

n−1

[

p=0

n

Xp>10, Xp+1>0, . . . , Xn>0o

∈ Fn

SiS etT sont deux temps d’arrêt, min(S, T)etmax(S, T)sont des temps d’arrêt.

Si(Tk)_k∈N est une suite de temps d’arrêts,supTn, infTn sont des temps d’arrêt.

Propriété 3

Preuve.

Par exemple,{supTk 6n}=T

k∈N{Tk 6n} ∈ Fn.

PourT un temps d’arrêt, on définitFT ={A∈ F_∞|A∩ {T =n} ∈ Fn}, avecF_∞=∪ ↑ Fn. Soit un joueur dont la fortune lorsqu’il va dans un casino est modélisée par le processus X, s’il joue jusqu’au temps d’arrêtT, ses gains sont donnés par le “processus arrêté” (X_n∧T)_n∈N et sa fortune finale sera, siT <+∞p.s.,XT (n∧T = min(n, T)).

X adapté,T temps d’arrêt. AlorsT etXT sontFT-mesurables.

Propriété 4

Preuve.

σ(T) =σ({T =k}).{T =k} ∩ {T =n}= ({T=n} sik=n, ∅ sinon)∈ Fn. Et,σ(XT) ={{XT ∈A} |A∈ B(R)}.

{XT ∈A} ∩ {T =n}= {Xn∈A}

| {z }

∈Fncar adapté

∩ {T =n}

| {z }

∈F_n

SiS, T temps d’arrêts,S6T, alorsFS ⊂ FT. Lemme 1

Preuve.

SoitA∈ FS,A∩ {T =n}=Sn

p=0(A∩ {S=p})

| {z }

∈Fp⊆Fn

∩ {T =n}

| {z }

∈Fn

∈ Fn.

Remarque.Si T =nest un temps d’arrêt, on a bienFT =Fn. Remarque.Si (Xi)v.a.i.i.d. dansL¹, avecE[Xi]>0,

1 n

n

X

i=1

Xi −−−−−→

n→+∞ E[Xi]>0 donc

n

X

i=1

Xi

−−−−−→p.s.

n→+∞ +∞

T = sup{n|X₁+. . .+X_n<0}fini p.s. maispas un temps d’arrêt en général.

SoientF une filtration,M une martingale etT un temps d’arrêt, alors :

• La “martingale arrêtée” (très utile)(M_n∧T)_n∈Nest une martingale

• Si ∃C <+∞ tel queT < C p.s. alorsE[MT] =E[M0] (utile si on vérifie l’hypothèse surT, ce qui est rare).

Théorème 2(d’arrêt (faible))

Preuve.

SoitHn =1ⁿ6T estF_n−1-mesurable, car{n6T}={T > n−1}, doncH est prévisible borné, donc (H◦M) est une martingale. (H◦M)n =Pn

i=1Hi(Mi−M_i−1)6Pn

i=1Mi−M_i−1=M blablabla il manque un bout là ! ! ! ! !

M_n∧T est une martingale donc E[M_n∧T] = E[M_0∧T] = E[M₀]. Pour n >C, n∧T =T donc E[MT] =E[M0].

Application.(ruine du joueur dans un casino équilibré)

Soient (Xi)i>1 v.a.i.i.d., P(X = 1) = P(X =−1) = ¹₂, représentant le gain lors de la i−ème partie. Un joueur qui commence avec la sommex∈N^∗, s’arrête s’il obtientL∈N> xou s’il est ruiné, i.e. s’il arrive à 0. Sa fortune au tempsnest :

S_n^x=x+X1+. . .+Xn s’il ne s’arrête pas

SoitT_{0,L}= inf{n|Sn= 0ouSn =L}le temps d’arrêt. On veut :

• P(“faire fortune”)

• Combien de temps le jeu dure-t-il ?

Puisquelim supS = +∞etlim infS =−inf p.s., on aT_{0,L}<+∞p.s.

SoitA=“faire fortune”={S_T{0,L}=L}, on sait queS_n∧T^x

{0,L} est une martingale, donc E[ S_n∧T^x _{0,L}

| {z }

−−−−−→p.s.

n→+∞

S_T^x

{0,L}

] =E[S_0∧T^x _{0,L}] =x

et|.|6L. Donc par TCD quandn→+∞, E[S_T^x

{0,L}] =x.

x=E[S_T^x

{0,L}] =E[1AL+1A0] =LP(A)

D’où,P(“faire fortune”) = ^x_L, intuitif car croissant avecx, tend vers 1 pourxs’approchant de L et vers0 pourxs’approchant de 0.

Remarque.On utilise très peu de choses sur S.

Cela reste vrai si on autorise des parisH :M_n =x+ (H◦S)_n, oùH prévisible, entier, |H_n|6 min(M_n, L−M_n), etH prend une infinité de fois des valeurs6= 0 p.s.

Que vautE[T_{0,L}]?

E[(S_n+1^x =S_n^x+Xn+1)²|Fn] =E[(S_n^x)²+ 2Xn+1S^x_n etX_n+1² | Fn]

= (S_n^x)²+ 2E[Xn+1| Fn]S_n^x+ 1

= (S_n^x)²+ 1 SoitY_n = (S_n^x)²−n.

E[Yn+1 | Fn] =E[(S_n+1^x )²| Fn]−n−1 = (S^x_n)²−n=Yn

Y_n∧T{0,l} est une martingale, doncE[Y_0∧T{0,l}] =E[Y_n∧T{0,l}]. Or,

E[Y_0∧T{0,l}] =E[(S₀^x)²−0] =x² et E[Y_n∧T{0,l}] =E[(S_n∧T{0,L})²]−E[n∧T_{0,L}] avec(S_n∧T{0,L})²−−−−−→^p.s.

n→+∞ (S_T^x

{0,L})² etn∧T_{0,L}↑T_{0,L}, T ⊂M. Bilan. x²=E[(S₀^x)²−0]−E[T_{0,L}]6L²par TCD.

4 Convergence de martingales

On veut des hypothèses faibles sous lesquellesMn −−−−−→

n→+∞ M_∞ p.s.,L¹?

4.1 Exemples

1. S_n^x =x+X1+...+Xn avec Xn v.a. indépendantes et P(Xn = 1) = P(Xn =−1) = ¹₂.

|S^x_n+1−S_n^x|= 1p.s. doncS^x_n ne converge pas p.s. Et d’après le TCL : S^x_n

√n

−−−−−→(L)

n→+∞ N(0,1) E[|S_n^x|] =O(√

n)−−−−−→

n→+∞ +∞

2. T_{0,L} = inf{n | S_n^x ∈ {0, L}} x, L entiers 0 < x < L. S_n∧T^x

{0,L} est une martingale.

T_{0,L}<+∞p.s. DoncS_n∧T^x

{0,L}−−−−−→

n→+∞ ST_{0,L}p.s. et dansL¹. On a la convergence dans L¹ par le TCD et|S_n∧T^x

{0,L}|6L.

×

× × ×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

n

3. S_n∧T¹

0 oùT₀= inf{n|S¹_n= 0}<+∞p.s.S_n∧T¹

0

−−−−−→p.s.

n→+∞ S_T¹

0 n’a pas lieu dansL¹car : E[S_n∧T¹ ₀]

| {z }

=

martE[S_0∧T¹

0]=1

6=E[S_T¹₀]

| {z }

=0

On peut donc avoir pour T temps d’arrêt fini p.s. E[M_T]6=E[M₀].

4. PosonsH1= 1 et : H_n=

ß 2H_n−1 siX_n−1=−1

1 siX_n−1= 1 on double la mise si on perd Mn= (H.S)n =Pn

i=1HiXi est une martingale.

Xi = −1 −1 −1 1

H = 1 2 4 8

(H.S) = −1 −3 −7 1 SoitT1= inf{n|Xn = 1}, T1∼ G(1/2),Ti+1−Ti∼ G(1/2).

(H.S)_T1 =−1−2−4...−2^T1−2+ 2^T1−1= 1

Ti+1= inf{n > Ti |Xn= 1} “temps de victoire”. On aura : (H.S)T_i =ip.s. (H.S)T_i −−−−→

i→+∞ +∞p.s.

5. Si (Yi)i>1 sont des v.a. indépendantes et E[Yi] = 0. Alors (Pn

i=1Yi)n>0 martingale. Cas particulier :

Mn= 1 2 +

n

X

i=1

Xi

2ⁱ⁺¹

avecX_i indépendants P(X_i = 1) =P(X_i=−1) = ¹₂. ^Xi₂⁺¹ ∼ B(1/2).M_n −−−−−→^p.s.

n→+∞ M_∞ et Mn

L¹

−−−−−→

n→+∞ M_∞où : M∞= 1

2 +

∞

X

i=1

Xi

2ⁱ⁺¹ =1 2 −

∞

X

i=1

1 2ⁱ⁺¹ +

∞

X

i=1

Xi+ 1 2

1 2ⁱ =

∞

X

i=1

Xi+ 1 2

1

2ⁱ ∼ U([0,1])

6. Supposons queM est une martingaleM_n−−−−−→^L1

n→+∞ M_∞. Mn= E[Mn+k|Fn]

| {z }

L1

−−−−−→

k→+∞ E[M∞|Fn]

∀k∈N

car E[.|B]linéaire, contractante pour L¹ car |E[X|B]| 6E[|X||B] donc continue pour L¹. Donc :

M_n =E[M_∞|Fn]p.s.

Si Z ∈ L¹ et F filtration. Alors M_n = E[Z|Fn] est une martingale. On appelle une telle martingale unemartingale fermée.

Définition 6(martingale fermée)

Remarque.On vient de voir M_n ^L

1

−−−−−→

n→+∞ M_∞ ⇒ M_n fermée.

Preuve.

E[Mn+1|Fn] =E h

E[M_∞|Fn+1] Fn

i

Fn⊆F=n+1E[M_∞|Fn] =Mn p.s.

Exemple.U ∼ U([0,1]).

Fn=σ Å k

2ⁿ 6U < k+ 1 2ⁿ , k∈Z

ã

F= (Fn)_n∈Nest une filtration carFn↑.

SoitMn=E[U|Fn]une martingale fermée.

U =X

i>1

Ui

2ⁱ p.s. avec Ui∼ B Å1

2 ã

indépendantes son développement dyadique.

Mn=E[U|Fn] =E

" _n X

i=1

Ui

2ⁱ

| {z }

mes

U1, ..., Un

# +E

" _∞ X

i=n+1

Ui

2ⁱ

| {z }

idp

U1, ..., Un

#

=

n

X

i=1

U_i 2ⁱ +

∞

X

i=n+1

1 2ⁱ⁺¹ =

n

X

i=1

2U_i−1 2ⁱ⁺¹ +

∞

X

i=1

1 2ⁱ⁺¹

= 1 2+

n

X

i=1

2U_i−1 2ⁱ⁺¹

| {z }

±1avec proba ¹₂

même exemple que la série aléatoire.

4.2 Convergence presque sûre de martingales

• M martingale,ϕconvexe,ϕ(Mn)∈L¹ ∀n⇒(ϕ(Mn))n∈Nsous-martingale

• M sous-martingale, ϕ convexe et croissante, ϕ(M_n) ∈ L¹ ∀n ⇒ (ϕ(M_n))_n∈N sous- martingale

Lemme 2

Preuve.

• E[ϕ(Mn+1)|Fn] >

Jensen

ϕ(E[Mn+1|Fn]) =ϕ(Mn)

• E[ϕ(Mn+1)|Fn] >

Jensen

ϕ(E[Mn+1|Fn])>ϕ(Mn)

Deux obstacles pour qu’une suite(un)_n∈Nne converge pas.

• |un| −−−−−→

n→+∞ +∞,un=n

• elle oscille,un= (−1)ⁿ

Siu= (un)_n∈N∈Rⁿ, on note poura < b :

S¹_a,b(u) = inf{n|un6a}

T_a,b¹ (u) = inf{n > S_a,b¹ (u)|un >b}

S_a,bⁱ⁺¹(u) = inf{n > T_a,bⁱ (u)|un6a}

T_a,bⁱ⁺¹(u) = inf{n > S_a,bⁱ⁺¹(u)|un>b}

Soit :

N_a,bⁿ (u) =“nombre de montées avantn”= sup{i|T_a,bⁱ (u)6n} (une montée[Si, Ti]) On contrôle les oscillations deaàb en regardant :

N_a,b^∞(u) = lim

n→+∞↑ N_a,b^∞(u)

(∀a < b∈Q N_a,b^∞(u)<+∞) ⇔ (un−−−−−→

n→+∞ l pourl∈R∪ {−∞} ∪ {+∞}) Lemme 3

Remarque.On peut remplace Qpar un ensemble dense deR. Preuve.

⇐ : si u_n −−−−−→

n→+∞ l, a 6= l ou b 6= l. Si b 6= l par exemple, b > l alors pour un certain i₀,

∀i>i0, Sⁱ=∞etN_a,bⁿ 6i0<+∞

⇒: siun 6−−−−−→

n→+∞ l alorsua deux points d’accumulationsl1< l2. Prenons(a, b)∈Q² tels que l₁< a < b < l₂. AlorsN_a,bⁿ (u) =∞.

X sous-martingale, a < b.

E[N_a,bⁿ (X)]6 1

b−1E[(Xn−a)+−(X0−a)+] Lemme 4(inégalité des montées de Doob)

Preuve.

Y_n= (X_n−a)₊ sous-martingales car(x−a)₊ convexe, croissante. Soit : H_n=1dans une montée(n) =

∞

X

i=1

1S_a,bⁱ (X)6n<T_a,bⁱ (X)

Par construction,S¹_a,b(X), T_a,b¹ (X), S_a,b² (X), ...est une suite croissante de temps d’arrêt. Et même strictement croissant jusqu’) ce qu’ils valent éventuellement+∞.Hn∈ {0,1}positif et prévisible.

(H.Y)n=

S₁

X

k=1

Hk(Yk−Y_k−1) +

Nⁿ

X

i=1

Ñ Tⁱ

X

k=Sⁱ+1

Hk

|{z}

=1

(Yk−Yk−1) +

Sⁱ⁺¹

X

k=Tⁱ+1

Hk

|{z}

=0

(Yk−Yk−1) é

+

T^Nn

X

k=S^{N n+1}

Hk

|{z}

=1

(Yk−Yk−1) +Rn

=

Nⁿ

X

i=1

Y_Ti

|{z}

>(b−a)+

− Y_Si

|{z}

=0

+Rn

>Nn(b−a) +Rn

Avec :

R_n =reste=

n

X

k=T^{N n+1}

H_k(Y_k−Y_k+1)

=

ß 0 siS_Nn+1>n Pn

k=S_{N n+1}(Y_k−Y_k−1)siS_Nn+1< n

=







0 siSNⁿ+1>n Yn

|{z}

>0

−YS_{N n}

| {z }

=0

sinon >0

DoncRn>0, ainsi :

(H.Y)n >Nⁿ(b−a)

1−H_n borné positif prévisible, donc ((1−H).Y)sous-martingale donc : E[((1−H).Y)_n]>E[((1−H).Y)₀] = 0

E[(H.Y)_n]>(b−a)E[Nⁿ] Ainsi :

E[(1.Y)n]>(b−a)E[Nⁿ] par bilinéarité deX, Y →(X.Y)n

OrE[(1.Y)n] =E[Yn−Yn] =E[(Xn−a)+−(X0−a)+]. D’où le résultat.

SiX est une sous-martingale avecsup_NE[(Xn)+]<+∞. Alors :

∃X_∞v.a.L¹ telle queX_n −−−−−→^p.s.

n→+∞ X_∞ Théorème 3

Remarque.Par forcément convergenceL¹.

Remarque.Une suite croissante bornée est convergente. Une sous-martingale : la version crois- santeE[Mn+1|Fn]>Mn. Il suffit de la bornée par le haut pour la rendre convergente.

Remarque.E[(X_n)₋] =E[(X_n)₊]−E[X_n]6sup_NE[(X_n)₊]−E[X₀]. Donc : E[|Xn|] =E[(X_n)₊] +E[(X_n)₋]62 supE[(X_n)₊]−E[X₀] Donc pourX sous martingale :

supE[(Xn)+]<+∞

m

supE[|Xn|]<+∞

∃X_∞∈L1, Xn

−−−−−→p.s.

n→+∞ X_∞

SiXsur-martingale positive alors∃X_∞∈L¹telle queXn

−−−−−→p.s.

n→+∞ X_∞. (Xpositive⇒E[(Xn)₋] = 0).

On en déduit plein de critères de convergence pour les martingales : bornée dansL¹

SiMmartingale ou majorée alorsM_n−−−−−→^p.s.

n→+∞ M_∞∈L¹ ou positive

Preuve.

SiX sous-martingale avecc= sup_NE[(Xn)+]<+∞. Soienta < brationnels. D’après l’inégalité des montées :

E[N_a,bⁿ (X)]6 1

b−1E[(Xn−a)+−(X0−a)+

| {z }

60

]

6 1

b−a(E[(Xn)+] +|a|) TCM E[N_a,b^∞(X)]6c+|a|

b−a DoncN_a,b^∞ <+∞p.s. donc :

(∀a, b∈Q, N_a,b^∞(X)<+∞)p.s.

car une intersection dénombrable d’événements p.s. est p.s. Ainsi ∃X_∞ ∈ R∪ {+∞} ∪ {−∞}

telle que :

Xn

−−−−−→p.s.

n→+∞ X∞

et,

E[|X∞|] =E[lim inf|Xn|] 6

Fatou

lim infE[|Xn|]<+∞

En particulierX∞<∞p.s.

Application.

ß Z₀= 1

Z_n=X₁ⁿ+...+X_Zⁿ

n−1

et X_i^j v.a. indépendantes de loi µproba surN

Si m = Pkµ({k}) < +∞, alors _m^Znn est une martingale positive donc ∃Y∞ ∈ L¹ telle que Y_n−−−−−→^p.s.

n→+∞ Y∞.

• sim <1 :

m⁻ⁿ

| {z }

→+∞

Zn

−−−−−→p.s.

n→+∞ Y_∞ DoncZn

−−−−−→p.s.

n→+∞ 0et Zn entier doncZn= 0pour nassez grand p.s. Donc extinction p.s.

• sim= 1:

Yn=Zn

−−−−−→p.s.

n→+∞ Y_∞

donc(Z_nconstant pournassez grand) p.s. Impossible sauf si(Z_n = 0pournassez grand) p.s. ou si µ=δ (∼Borel-Cantelli à faire en exo).

• sim >1 :

1 mⁿZn

−−−−−→p.s.

n→+∞ Y_∞ Si P(Y_∞ > 0) > 0, alors sur {Y∞ > 0}, Z_n −−−−−→

n→+∞ +∞. Et donc il y a survie avec probabilité>0. (conditionP(Y_∞>0)>0pas toujours vérifiée, restrictif)

Rappels. Il est très simple pour une martingale de converger p.s. : il faut garantir la non- explosion.

• Pour une sous-martingale (“croissant en moyenne”), il suffit que : – M soit majorée : ∃c, ∀n Mn6cp.s.

– ousupE[|Mn|]<+∞

– ousupE[(M_n)₊]<+∞

• Pour une sous-martingale (“décroissant en moyenne”), il suffit que : – M soit minrée : ∃c, ∀n Mn>cp.s.

– ouM soit positive – ouM bornée dansL¹

• Pour une martingale, n’importe laquelle de ces conditions suffit.

4.3 Convergence dans L

SoitM une martingale.

Mn L¹

−−−−−→

n→+∞ M_∞ ⇒ Mn

−−−−−→p.s.

n→+∞ M_∞ Propriété 5

Remarque.La réciproque est fausse.

Contre-exemple. Soit(S_n¹)la marche aléatoire simple issue de 1.Xi∼Rd(1/2) S_n¹ = 1 +X1+. . .+Xn

On a :

T := inf{n|S_n¹ = 0}<+∞p.s.

Alors la martingale Mn = S_n∧T¹ −−−−−→^p.s.

n→+∞ 0 mais E[Mn] = E[M0] = 1 6−−−−−→

n→+∞ 0 donc pas de convergenceL¹.

Preuve.

SiMn L¹

−−−−−→

n→+∞ M_∞, alors :

E[|Mn|]6E[|Mn−M_∞|] +E[|M∞|]

⇒ supE[|Mn|]6sup

E[|Mn−M_∞|] +E[|M_∞|]

<+∞p.s.

⇒M_n−−−−−→

n→+∞ Z_∞ p.s.

M_n −−−−−→^L1

n→+∞ M_∞M_∞ donc M_n −−−−−→^P

n→+∞ M_∞, et M_n −−−−−→^p.s.

n→+∞ Z_∞ donc M_n −−−−−→^P

n→+∞ Z_∞. Par unicitéM_∞=Z_∞.

Notion pour obtenir la convergenceL¹: UI uniforme intégrabilité.

Rappel. (Xi)est UI si

sup

I E[|Xi|1|Xi|>L]−−−−−→

L→+∞ 0 Intérêt. SiX_n−−−−−→^P

n→+∞ X_∞ alors(X_n)est UI⇔X_n−−−−−→^L1

n→+∞ X_∞

SiX estL¹ et(Bi)_i∈I famille de tribus, alors(E(Xi|Bi))_i∈I est UI.

Lemme 5

Preuve.

X est UI. Si on fixe ε >0,∃δ >0 tel que∀A, P(A)6δ⇒E[|X|1A]< ε. Alors :

P

E[X|Bi] > L

Markov6 E

E[X|Bi]

L 6

E

E h|X|

Bi

i

L = E[|X|]

L SoitL0:=^E[|X|]_δ . Alors∀i, ∀L>L0,P

E[X|Bi] > L

6δ. Calculons : E

h

E[X|Bi]

1|E[X|Bi]|>L₀

i 6E

h E

h

|X| B_ii

1|E[X|Bi]|>L₀

i

=E

|X|1|E[X|Bi]|>L0

par la prop carac

6ε carX est UI

(Mn)n∈N martingale. On a l’équivalence : (i) (M_n)est UI

⇔(ii)∃M_∞∈ L¹ Mn

−−−−−→p.s.

n→+∞ M_∞ etMn L¹

−−−−−→

n→+∞ M_∞

⇔(iii)M martingale fermée, ∃Z∈ L¹ tqMn =E[Z|Fn] Théorème 4

Remarque.Lien entre Z etM_∞:

• Si Mn −−−−−→

n→+∞ M_∞ p.s. etL¹ alorsMn=E[M_∞|Fn]et on peut choisirM_∞=:Z

• Si∀n∈N,M_n =E[Z|Fn]alorsM_n−−−−−→

n→+∞ E[Z|F∞]p.s. et dansL¹avecF∞=σ(∪ ↑ Fn)

Preuve.

• (iii)⇒(i): lemme précédent

• (i) ⇒(ii) : M UI donc supE(|Mn|) <+∞, ainsi ∃M_∞ ∈ L¹ telle que Mn

−−−−−→p.s.

n→+∞ M_∞ doncMn P

−−−−−→

n→+∞ M∞ etM UI alorsMn L¹

−−−−−→

n→+∞ M∞.

• (ii)⇒(iii): On a déjà vuMn =E[Mn+k|Fn] ^L

1

−−−−−→

k→+∞ E[M∞|Fn]par continuité de E[.|Fn] dansL¹. OrMnest constante enkdonc est égale à sa limite :E[M_∞|Fn]. Reste à montrer :

Si M_n=E[Z|F_n] alorsM_n−−−−−→

n→+∞ E[Z|F_∞]p.s. etL¹ Comme(iii)⇒(ii),M_n−−−−−→

n→+∞ M_∞p.s. etL¹. Montrons que M_∞=E[Z|F_∞].

Soita∈ Fn. AlorsA∈ Fk pour k>n. CalculonsE[Z1^A],

∀k>n, E[Z1^A] =E h

E[Z|Fk]1^Ai

=E[Mk1^A] Or |E[Mk1^A]−E[M_∞1^A]|6E[|M_∞−Mk|]−−−−−→

n→+∞ 0carMk L¹

−−−−−→

n→+∞ M_∞. Donc : E[Mk1^A]−−−−−→

k→+∞ E[M_∞1^A]

Or, E[Z1^A] est constante et donc E[Z1^A] = E[M_∞1^A]. Donc ∀A ∈ SFn, E[Z1^A] = E[M_∞1^A]. PosonsC:=S↑ Fn, Cest stable par intersection finie.

M={A|E[Z1^A] =E[M_∞1^A]}est une classe monotone : – 1B\A=1B−1A,

– E[X1S_↑A

n] =

TCDlimE[X1^An]

On vient de voirM ⊇ C ⇒ M ⊇ M(C) =σ(C) =F∞. DoncE[Z1A] =E[M_∞1A]∀A∈ F_∞.M_∞= lim

p.s.M_n est F_∞−mesurable, doncE[Z|F_∞] =M_∞.

Remarque.M borné dansL¹ ⇒convergence p.s.6⇒convergenceL^p. MaisM bornée dansL^p p >1 ⇒convergenceL^p.

Application.(urnes de Polya)

2 populations de bactéries initialementR₀ =r(bactéries rouges) B₀=b(bactéries bleues). De nàn+ 1une bactérie prise au hasard se divise en 2 : elle disparaît et se remplace par 2 bactéries de sa couleur. On se donne(X_i)_i∼ U[0,1], i.i.d.

Rn, Bn étant fixées, la probabilité qu’une bactérie rouge se divise est _R^Bn

n+B_n. Posons :







(R₀, B₀) = (r, b)

R_n+1=R_n+1X_n+16_Rn+Bn^Rn

Bn+1=Bn+1Xn+1> ^Rn

Rn+Bn

F₀={0,Ω}. SiF_n =σ(X₁, . . . , X_n)alorsRet B processus adaptés.

Objectifs. Regarder l’évolution de la proportion de rouges dans la population.

Si on somme les2égalités, on a l’évolution de la population totale.

Rn+1+Bn+1=Rn+Bn+ 1 −→ Rn+Bn=r+b+n Regardons la proportion de rouges dans la population.

Yn= Rn

R_n+B_n = Rn

r+b+n Calculons :

E[Yn+1|Fn] =E

ïRn+1^Xn+16Y_n

r+b+n+ 1 |Fn

ò

Xn+1⊥, Yn mes

= 1

r+b+n+ 1(Rn+E[1^Xn+16Y_n|Fn])

= 1

r+b+n+ 1 Ç

Rn+ Z 1

0

1^x6Y_ndx å

= 1

r+b+n+ 1(Rn+Yn)

= 1

n+b+r+ 1 Å

R_n+ R_n r+b+n

ã

= 1

n+b+r+ 1 Å

1 + 1

r+b+n ã

Rn

= 1

r+b+nRn=Yn

DoncY martingale. Par ailleurs,06Yn61p.s. doncY est UI. DoncYn −−−−−→

n→+∞ Y_∞ p.s. etL¹. Cas particulier :

r=b= 1montrons queR_n∼ U({1, . . . , n+ 1}):

• R0∼δ1 ok

• P(Rn=k) =P

(R_n−1=k−1)∩{un rouge se divise}

+P

{Rn =k}∩{un bleu se divise}

P({R_n−1=k−1} ∩ {un rouge se divise}) =P Å

{R_n−1=k−1} ∩ ß

Xn6 R_n−1 R_n−1+B_n−1

™ã

=P Å

Rn−1=k−1, Xn6 k−1 1 + 1 +n−1

ã

=P

R_n−1=k−1

| {z }

, X_n6 k−1 1 +n

| {z }

=

idp

1 n

k−1

1 +n car HR R_n+1∼ U(1, n)

⇒P(R_n=k) = 1 n

k−1 1 +n+ 1

n Å

1− k 1 +n

ã

= 1 n

Åk−1 +n+ 1−k n+

ã

= 1

n+ 1

Le calcul reste vrai pourk= 1ouk=n+ 1avec les termes nuls. Alors : P(Yn6t) =P(Rn6t(n+ 2)) =bt(n+ 2)c

n+ 1 −−−−−→

n→+∞ t Donc :

F_Y∞(t) =







0 sit60 t si06t61 1 sit>1

doncY_∞∼ U([0,1]) Résulat général :

Yn

L¹et p.s.

−−−−−−→

n→+∞ Y∞∼cr,bx^r−1(1−x)^b−11⁰6x61dx

SiT est un temps d’arrêtΩ→N∪ {∞}et X un processus avecXn

−−−−−→p.s.

n→+∞ X on définit : XT =X

n

Xn1^T=n+X∞1^T=∞

SiM est une martingale UI alors on a :

M_T =E[M_∞|F_T] En particulierE[MT] =E[M0]∀n∈N.

(Mn−−−−−→

n→+∞ M_∞p.s. etL¹et Mn=E[M_∞|Fn]) Théorème 5

Remarque.Ruine du joueur :S_n∧T^x

{0,L}est borné∈[0, L]donc est UI et on a doncE[S_T{0,L}] = E[S₀^x].

Preuve.

MT ∈ L¹ :

E[|MT|] =

+∞

X

n=0

E

|Mn|

| {z }

∗

1^T=n +E

|M_∞|1T=∞

=

+∞

X

n=0

E

E[M∞|Fn] 1^T=n

+E

|M∞|1^T=∞

6

+∞

X

n=0

E h

E

|M_∞| Fn

1^T=n

| {z }

Fn−mesurable carT TA

i +E

|M_∞|1T=∞

6

+∞

X

n=0

E

|M_∞|1T=n

+E

|M_∞|1T=∞

=E

|M_∞|

<+∞

Calculons pourA∈ FT :

E[MT1^A] =

+∞

X

n=0

E[MT1^A1^T=n] +E[MT1^A1^T=∞]

=

+∞

X

n=0

E

E[M_∞|Fn]1A∩(T=n)

| {z }

∗

+E[M_∞1A1T=∞] ∗ ∈ Fn carA∈ Fn et T TA

=

+∞

X

n=0

E

M∞1^A1^T=n

+E[M∞1^A1^T=∞]

=E[M_∞1^A]

MT estFT−mesurable doncMT =E[M_∞|FT]. D’où :

E[MT] =E[M∞] =E[M0] =E[Mn]

4.4 Convergence L

Point délicat.Contrôler la trajection à partir de la loi. PourL¹ c’est l’inégalité des montées.

Ici :

SiX sous-martingale,t >0 alors : tP

Ç sup

06k6n

Xk> t å

6E

îXn1^sup_06k6n^Xk>t

ó6E[(Xn)+] Propriété 6(inégalité maximale)

• Si∃c <+∞tel queS6T < cp.s. oùS et T sont des temps d’arrêt

• SiX est une sous-martingale alorsE[XS]6E[ET] Lemme 6

Preuve.

H_n =1S<n6T prévisible, borné et positif. Donc(H·X)sous-martingale.E[(H·X)_n]croissante doncE[(H·X)0

| {z }

=0

]6E[(H·X)c]. Or,

E[(H·X)c] =E

" _T X

n=s+1

(Xn−X_n−1)

#

=E[XT −XS] ⇒ E[XS]6E[XT]

Preuve.(de la propriété)

PosonsT = inf{n|Xn > t}. AlorsT∧netnsont deux temps d’arrêt bornés ;T∧n6n. D’où : E[XT∧n]6E[Xn]

E[XT

|{z}

>t

1^T6n] +E[Xn1^{T >n}]6E[Xn] DoncE[X_T1T6n]>tP(sup_06k6nX_t> t). Ainsi,

tP Ç

sup

06k6n

Xk> t å

+E[Xn1^{T >n}]6E[Xn]

⇒ tP Ç

sup

06k6n

X_k > t å

6E[X_n1T6n]

p >1,X sous-martingale positive, bornée dansL^p(i.e.supE[|Xn|^p]<+∞). PosonsX˜_n :=

sup_06k6n|X_k|. Alors :

E

|X˜n|^p 6

Å p p−1

ã^p E

|Xn|^p Propriété 7

Preuve.

On sait quetP( ˜Xn> t)6E

îXn1X^˜n>t

óalors : t^p−2tP( ˜Xn> t)6E

îXnt^p−21X^˜n>t

ó

Ainsi,

Z +∞

0

t^p−1P( ˜Xn > t)dt6 Z +∞

0

E

îXnt^p−21X^˜_n>t

ó

Or, on a classiquement queE[X^p] =pR+∞

0 t^p−1P(X > t)dtpuisque : p

Z +∞

0

t^p−1P(X > t)dt=p Z +∞

0

t^p−1E[1^X>t]dt

=

FubiniE ñZ +∞

0

pt^p−11^X>tdt ô

=E ñZ X

0

pt^p−1dt ô

=E[X^p] Ainsi,

E[ ˜X_n^p] p 6E

ñ X_n

Z +∞

0

t^p−21t6X˜_ndt ô

=E ñ

Xn

X˜_n^p−1 p−1 ô

Hölder6 1

p−1E[X_n^p]^1pE h

( ˜Xn)^{(p−1)pn−1} i^p−1_p